平衡辐射场的内能密度随频率和波长的变化

综合性设计性实验实验 8 平衡辐射场的内能密度随频率和波长的变化实验目的：1、弄清平衡辐射场内能密度随频率和波长变化规律2、推导辐射场能量取极大时对应的波长、频率满足的方程3、编程求解上述方程4、编程画出平衡辐射场内能密度随频率和波长变化曲线，理解辐射场能量取极大时对应的波长和频率间的差异实验背景：黑体辐射是量子力学重要的实验基础之一，利用光子假说和玻色统计可以给出黑体辐射的内能密度与光子频率或波长之间的关系光子是玻色子，自旋为 1；光子静止质量为 0；光子的动量、能量、频率、波矢、速度之间的关系为 ,2/pkcurh光子数不守恒， ，化学势为 0这样光子气体的统计分0布为 /1llkTae光子的自旋在传播方向的投影有 两个值，对应于左右两h个偏振光在体积 V 内，动量为 的量子态数为pd:22338Vpdhc在 内的光子数为d: 23/1kTceh乘以每一个光子的能量，则辐射场的内能为(1)32/(,)1kTVUTddceh若取 V=1，则给出了 辐射场的内能密度注意到光的频率与波长间的关系，容易给出内能密度与波长的关系(2)5/81(,)hckTuTdde若令 ，则使(1)式有极大值的 x 满足/xkh(3)3x若令 ，则使(2)式有极大值的 x 满足cxkT(4)5xe实验内容：1、用牛顿法求方程（3）、 （4）的根（1）方程（3）的求根程序 ch8_1 为：module NUMERICAL implicit nonereal, parameter :: zero=0.0001 containsreal function newton(a,f,df)implicit none real :: a real, external :: freal, external :: df real :: b real :: fb b = a-f(a)/df(a)fb= f(b)do while( abs(fb) > zero )a=bb=a-f(a)/df(a)fb=f(b)end donewton=breturnend function newtonreal function func(x)implicit nonereal :: xfunc=x+3*exp(-x)-3returnend function funcreal function dfunc(x) implicit nonereal :: xdfunc=1-3*exp(-x)returnend function dfuncend module NUMERICALprogram main use numericalimplicit nonereal :: a real :: ans write(*,*)read (*,*) aans=newton(a,func,dfunc)write(*,"('x=',F15.8)") ansstopend program根为 x=2.82144022；（2）方程（4）的求根程序 ch8_2 为：module NUMERICAL implicit nonereal, parameter :: zero=0.00001 containsreal function newton(a,f,df)implicit nonereal :: a real, external :: freal, external :: df real :: b real :: fb b = a-f(a)/df(a)fb= f(b)do while( abs(fb) > zero )a=bb=a-f(a)/df(a)fb=f(b)end donewton=breturnend function newtonreal function func(x)implicit nonereal :: xfunc=x+5*exp(-x)-5 returnend function funcreal function dfunc(x)implicit nonereal :: xdfunc=1-5*exp(-x)returnend function dfuncend module NUMERICALprogram main use numericalimplicit nonereal :: a real :: ans write(*,*)read (*,*) aans=newton(a,func,dfunc)write(*,"('x=',F16.8)") ansstopend programx=4.96511412;2、推导内能密度随波长，频率变化的关系式由(1) 、(2)式得：平衡辐 射场的内能密度和波 长、频率有如下关系：(5);  1323, xeckuh其中 kTx(6) 18545, xechu其中 ;kx3、编程计算内能密度随波长、频率的变化关系，并用作图软件严格画出这些关系。

源程序 ch8_3 及图如下：program ch8_3 implicit noneinteger ireal(8) x(1000),dx,p(1000),q(1000)open(1,file="formula1.dat")open(2,file="formula2.dat")p(1)=15q(1)=1dx=0.01x(1)=0.0do i=2,1000x(i)=x(1)+i*(i)=p(1)*(x(i)**3)/(exp(x(i))-1)write(1,*) x(i),p(i)end dodo i=2,1000x(i)=x(1)+i*dxq(i)=q(1)*(x(i)**5)/(exp(x(i))-1)write(2,*) x(i),q(i)end doclose(1)close(2)end根据上述程序计算出的数据画图如下：02468100510152025 u x u(,T) ,4、实验结论图 1、能量密度 u 分别对频率和波长的依赖关系1、在一定温度下，对于不同的自变量，内能密度都有一个峰值2、以波长和频率为自变量的内能密度曲线峰值决定的波长和频率并不按 的对应关系。

c2结论分析：由能量守恒知： （7）dTudwTu),(),(由内能密度的定义，温度为 T 的黑体，分别用频率 和波长表示内能密度如下：（8）dwexckdwTu1),( 323h总（9）Tx8),( 545总由（8）、 （9）知，以波长和频率为自变量时由于 x 的阶不一样，内能密度曲线峰值决定的波长和频率并不按 的对应关系也就c2是单位波长间隔内的内能密度与单位频率间隔内的内能密度是不同的！但是在整个空间内是相等的由于波长和频率的关系为： wc2容易得： （10）dcdw2把（10）代入（8）中可得，上述两式取最大值时自变量 x 有相同的阶此时上述式子可以改写为：dxecTkx13324h这时能量密度取最大值时，对应的 x 有相同值。