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1、即以此功德，庄严佛净土。上报四重恩，下救三道苦。惟愿见闻者，悉发菩提心。在世富贵全，往生极乐国。（一）优化模型的组成优化模型包括以下 3 部分：l Objective Function：目标函数是一个能准确表达所要优化问题的公式。l Variables：Decision variables（决策变量），在模型中所使用的变量。l Constraints：约束条件。（二）Lingo 软件使用的注意事项（1）LINGO 中不区分大小写字母，变量（和行名）可以使用不超过 32 个字符表示，且必须以字母开头。（2）在命令方式下（Command Window 中），必须先输入 MODEL：表示开始输入模型
2、。LINGO 中模型以“MODEL:” 开始，以“END”结束。对简单的模型，这两个语句也可以省略。（3）LINGO 中的语句的顺序是不重要的，因为 LINGO 总是根据“MAX=” 或“MIN=” 语句寻找目标函数，而其它语句都是约束条件（当然注释语句和 TITLE 除外）。（4）LINGO 模型是由一系列语句组成，每个语句以分号“;”结束。（5）LINGO 中以感叹号“!” 开始的是说明语句（说明语句也需要以分号“;”结束）。（6）LINGO 中解优化模型时假定所有变量非负（除非用限定变量取值范围的函数free 或 sub 或 slb 另行说明）。（7）当您要判断表达式输入是否有错误时，也
3、可以使用菜单“Lingo“的”Picture“ 选项。(8) 用命令BND(下界, 变量名, 上界)设置变量的上界和下界(9) 用命令free(x1)取消变量 x1 的非负限制，x1 可以取正实数和负实数(10)一般整数变量可以用GIN(变量名)来标识，0-1 型变量可以用BIN(变量名)来标识（三）Solution Report 各项的含义例 1 将以下模型粘贴到 Lingo 中求解，其中第一行 MODEL 和最后一行 END 在 Lingo Model 窗口下可以不要。MODEL:min = 2*x1 + 3*x2;x1 + x2 = 350;x1 = 100;2*x1 + x2 =中，通
4、常叫过剩变量。如果约束条件是=，则 Slack or Surplus 为 0，该约束是个紧约束(或有效约束)。如果一个约束条件错误，作为一个不可行解，Slack or Surplus 为负数。Slack or Surplus 表示的是：约束离相等还差多少。如果一个约束是矛盾的（模型无可行解），则 Slack or surplus的值是负数。知道这些，可以帮助我们发现在一个不可实行的模型（指没有存在同时满足所有约束条件的变量集合）中的错误的约束条件。第 2 和第 4 行松弛变量均为 0,说明对于最优解来讲, 两个约束( 第 2 和 4 行) 均取等号 ,即都是紧约束.Dual Price (Sh
5、adow price)给出对偶价格的值。表示每增加一个单位(约束右边的常数)，目标值改变的数量（在最大化问题中目标函数值是增加，在最小化问题中目标函数值是减少）。比如，在上一个 Min 模型中第四行的 1，表示 2*x1 + x2 Dual Model 即可生成原线性规划的对偶问题，结果如下MODEL:MIN= 120 * _2 + 50 * _3;X1 4 * _2 + 2 * _3 = 50; ! 我以前不知道X1原来是行号X2 3 * _2 + _3 = 30;END 例 2 某家具公司制造书桌、餐桌和椅子，所用的资源有三种：木料、木工和漆工。生产数据如下表所示：每个书桌 每个餐桌 每个
6、椅子现有资源总数木料 8 单位 6 单位 1 单位 48 单位漆工 4 单位 2 单位 1.5 单位 20 单位木工 2 单位 1.5 单位 0.5 单位 8 单位成品单价 60 单位 30 单位 20 单位 若要求桌子的生产量不超过 5 件，如何安排三种产品的生产可使利润最大？用 DESKS、TABLES 和 CHAIRS 分别表示三种产品的生产量，建立 LP 模型。max=60*desks+30*tables+20*chairs;8*desks+6*tables+chairsoptionsgeneral solverdual computations:prices & rangesok.
7、菜单 lingorange灵敏度分析：如果做敏感性分析，则系统报告当目标函数中的系数和约束右端项在什么范围变化（此时假定其他系数保持不变）时，最优基保持不变。报告中 INFINITY 表示正无穷。1） 如本例目标函数为： max=60*desks+30*tables+20*chairs; 目标函数中DESKS 的变量前面的系数为 60，当它在60 - 4,60 + 20= 56, 80 变化时，最优基保持不变 。2）如本例约束条件为：8*desks+6*tables+chairs = 48;4*desks+2*tables+1.5*chairs = 20;2*desks+1.5*tables+
8、.5*chairs = 8;tables = 5;第一个约束右端项为 48，当它在48 - 24, 48 + INFINITY=24, INFINITY 范围变化时，最优基保持不变 。其他约束的灵敏度分析这里就不再赘述，道理是一样的！灵敏度分析的结果是Ranges in which the basis is unchanged: Objective Coefficient Ranges:Current Allowable AllowableVariable Coefficient Increase DecreaseDESKS 60.00000 20.00000 4.000000TABLES 3
9、0.00000 5.000000 INFINITYCHAIRS 20.00000 2.500000 5.000000Righthand Side Ranges:Current Allowable AllowableRow RHS Increase Decrease2 48.00000 INFINITY 24.000003 20.00000 4.000000 4.0000004 8.000000 2.000000 1.3333335 5.000000 INFINITY 5.000000目标函数中 DESKS 变量原来的费用系数为 60，允许增加（ Allowable Increase）=20、允
10、许减少（Allowable Decrease）=4，说明当它在60-4，60+20 = 56，80范围变化时，最优基保持不变。对 TABLES、CHAIRS 变量，可以类似解释。由于此时约束没有变化（只是目标函数中某个费用系数发生变化），所以最优基保持不变的意思也就是最优解不变（当然，由于目标函数中费用系数发生了变化，所以最优值会变化）。第 2 行约束中右端项（Right Hand Side，简写为 RHS）原来为 48，当它在48-24， 48+ = 24，范围变化时，最优基保持不变。第 3、4、5 行可以类似解释。不过由于此时约束发生变化，最优基即使不变，最优解、最优值也会发生变化。灵敏性
11、分析结果表示的是最优基保持不变的系数范围。由此，也可以进一步确定当目标函数的费用系数和约束右端项发生小的变化时，最优基和最优解、最优值如何变化。下面我们通过求解一个实际问题来进行说明。例 3： 一奶制品加工厂用牛奶生产 A1,A2 两种奶制品，1 桶牛奶可以在甲车间用 12 小时加工成 3 公斤 A1，或者在乙车间用 8 小时加工成 4 公斤 A2。根据市场需求，生产的A1,A2 全部能售出，且每公斤 A1 获利 24 元，每公斤 A2 获利 16 元。现在加工厂每天能得到 50 桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间 480 小时，并且甲车间每天至多能加工 100 公斤 A1，乙车间的加工能
12、力没有限制。试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下 3 个附加问题：1） 若用 35 元可以买到 1 桶牛奶，应否作这项投资？若投资，每天最多购买多少桶牛奶？2） 若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？3） 由于市场需求变化，每公斤 A1 的获利增加到 30 元，应否改变生产计划？ 解：模型代码如下max = 72*x1+64*x2;x1+x2 = 50;12*x1+8*x2 = 480;3*x1 = 100;求解这个模型并做灵敏性分析，结果如下。Global optimal solution found at iteration: 0Obj
13、ective value: 3360.000Variable Value Reduced CostX1 20.00000 0.000000X2 30.00000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 3360.000 1.000000 ! 注意第一行为目标函数，目标函数加 1 则目标值加 12 0.000000 48.000003 0.000000 2.0000004 40.00000 0.000000Ranges in which the basis is unchanged:Objective Coefficient RangesCurrent
14、Allowable AllowableVariable Coefficient Increase DecreaseX1 72.00000 24.00000 8.000000 ! 我以前不知道Coefficient 是目标函数中 X1,X2 之前的系数X2 64.00000 8.000000 16.00000 Righthand Side RangesRow Current Allowable AllowableRHS Increase Decrease2 50.00000 10.00000 6.666667 ! 以前不知道这些是约束条件右手边的值3 480.0000 53.33333 80.000004 100.0000 INFINITY
