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1、- 1 -Math Studio 数理统计操作指南一、数据向量的操作和统计运算（注意：函数名区分大小写！）1、数据向量的输入X= 1,3,6,7,2 1,3,6,7,2X(3) 6 -显示向量 X 第 3 个元素的值（输入 X(3)=11，修改该元素的值）X1=X(2:4) 3,6,7 -取出 X 的部分数据赋值给予 X1X2=X(1,3,5) 1,6,2 -取出 X 的部分数据赋值给予 X2Append(X,100,120) 1,3,6,7,2,100,120 -合并两个向量，用于追加数据Append(X1, X2) 3,6,7,1,6,2 -合并向量 X1 和 X2m=Length(X)
2、5 -向量所含元素的个数赋值给予 mListPlot(X) -画出向量 X 的散点图Y=1:10 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 -输入递增数列Z=List(4) 0,0,0,02、数据向量的运算(1) Z=List(4) 0,0,0,0List(4)+2 2,2,2,2 -向量中每个元素同时加 2（类似可以计算向量同时减一个数）(2) X= 1,3,6,7,2 Y=1,1,2,2,3X+Y 2,4,8,9,5 -两个向量的每个元素对应相加 （类似可计算相减）X*Y 1,3,12,14,6 -两个向量的每个元素对应相乘X/Y 1,3,3,7/2,2/3 -两个向量的每个元素对应相除k
3、X k,3k,6k,7k,2kX+k 1+k,3+k,6+k,7+k,2+k -向量中每个元素同时加 kDot(X,Y) 36 -计算两个向量的点乘（内积，数量积） ，即：两向量对应元素相乘后的和Cross(1,3,6,1,1,2) 0,4,-2 -计算两个三维向量的叉乘（外积，向量积） ，注意：该命令对三维以上向量不能计算，报错。ListPlot(X,Y) -画出 X、Y 的散点图3、数据向量的描述性统计X= 1,3,6,7,2 Y=1,1,2,2,3Min(X) 1 -最小值 Max(X) 7 -最大值Mean(X) 3.8 -求数据的平均值 niiX1Variance(X) 6.7 -求
4、数据的样本方差 niiXS122)(- 2 -StandardDeviation(X) 2.5884-求数据的标准偏差 niiXs12)(n=Length(X) 5 -向量数据个数 n，即：样本容量Sum(X) 19 -求数据的总和 iiX1例 1：用向量的运算方法计算样本方差 。niiXS122)(X= 1,3,6,7,2M=Mean（X ） 3.8 -求 X 的平均值n=Length(X) 5 -向量数据个数 n，即：样本容量Xm=List(n)+M 3.8,3.8,3.8,3.8,3.8 -或者输入 List(5)+3.8S2= Dot（X- Xm,X- Xm）/(n-1) 6.7 -X
5、 的样本方差，6.7 开平方即为2.5884。注意：X- Xm -就是向量 ,21 XXnL二、一元线性回归分析例 2：某城区为研究城镇居民月家庭人均生活费支出和月人均收入的相关关系，随机抽取 10 户进行调查，其结果如下：月人均收入 x/元 月人均生活费 y/元300 255390 324420 335520 360570 450700 520760 580800 600850 6301080 750试预测人均月收入为 1100 元和人均月收入为 1200 元的两个家庭的月人均生活费。解答：1、作出散点分布图由图可知，月人均生活费与人均收入之间具有线性相关关系。以下是 Mathstudio软
6、件作图命令：X=300,390,420,520,570,700,760,800,850,1080Y=255,324,335,360,450,520,580,600,630,750ListPlot(X,Y) -画出 X、Y 的散点图- 3 -2、对于回归方程 ，估计参数baxyba、通过计算可知 -命令：Xm=Mean(X) Ym=Mean(Y)4.80,639， -命令：XX=Dot(X,X) YY=Dot(Y,Y)410102ix2561iy-命令：XY=Dot （X ，Y）375610iiy样本容量 n=10 -命令：n=Length(X)所以 - 命令：b=(XY-n*Xm*Ym)/(X
7、X-n*Xm*Xm)b.659012niiixy- 命令： a=Ym-b*Xm7.8ya所以回归直线方程为 .5169.0x3、用 R 检验法检验线性相关的显著性（类似可以做 F 检验和 t 检验）计算相关系数得 ，9316.0rni niiiiyxyr1122)(-计算相关系数 r 的命令： r=(XY-n*Xm*Ym)/Sqrt（(XX-n*Xm*Xm)*（YY-n*Ym*Ym ）而查表知 ，注意是通过查 F 分布表得到：632.085.0）（r 2),1()2( nFnr-查 F 分布表得到： -输入命令：Sqrt（5.32/(5.32+8)）3.5)8,1(),1(95.0n故月人均收
8、入与月人均生活费之间具有显著相关关系（因为 ） 。936.0r63.085.0）（r4、预测由以上分析可知，我们可以利用回归方程 来作为月生活费的.715869.0xy预报值。将 x1100 代入回归方程得 y784.59 元；将 x1200 代入回归方程得 y850.58元。故预测月人均收入分别为 1100 元和 1200 元的两家庭的月人均生活费分别为784.59 元和 850.58 元。还可以求当 x1100 时，人均生活费 y 的置信度为 95%的置信区间（参见教材 P71第 4、5 行的公式） 。- 4 -置信区间： 其中 ，并由)(),(00x 00xbaniniiexbyS112
9、-得到： niiexnSt 1221 )(2)()(三、单因素方差分析1、方差分析的假设检验：方差分析的零假设：方差分析的判断：（1） 拒绝零假设，即各样本均值有显著性差异；（2） 没有理由拒绝零假设，即各样本均值无显著性差异；2、单因素方差分析（One-Way ANOVA）构造检验 F 统计量（1）水平的均值我们令 为第 i（或 ）水平的样本均值，则ixiA（1）injiix1当各水平的的观察值个数均相等的时候，公式（1）变为：（2）kjiix1（2）全部观察值的总均值我们令 为全部观察值的总均值，则（3）ririnjix1当各水平的的观察值个数均相等的时候，公式（3）变为：（4）rxrkx
10、ririkji11对例 7.1 而言，各 都相等，即 k=5。计算结果见表 7.1。jn（3）离差平方和在单因素方差分析中，离差平方和有三个：（1）总离差平方和（Sum of Squares for Total，简称 SST） ，计算公式为：（5）21)(rinjijixST总离差平方和反映全部观察值的离散状况，是全部观察值与总平均值的离差平方和。（2）误差项离差平方和（Sum of Squares for Error，简称 SSE） ，计算公式为：（6）21)(rinjiijixE误差项离差平方和又称为组内离差平方和，它反映了水平内部观察值的离散情况，即随机因素012:KH0.5(,).5d
11、fbwP或 或- 5 -产生的影响。（3）水平项离差平方和（Sum of Squares for Factor A，简称 SSA） 。计算公式为：（7）21)(xnSArii水平项离差平方和又称组间离差平方和，是各组平均值与总平均值的离差平方和。它既包括随机误差，也包括系统误差。由于各样本的独立性，使得变差具有可分解性，即总离差平方和等于误差项离差平方和加上水平项离差平方和，用公式表达为：SST = SSE + SSA （8）（4）构造检验统计量 FF= 组间方差 / 组内方差= MSA / MSE= （9）)/(1SArnE方差分析表（5）判断与结论在假设条件成立时，F 统计量服从 F 分布
12、，即： 将统计量 F 与给定的显著性水平 的临界值 比较，可以作出拒绝或不能拒绝),1(-rn原假设 的判断：0H若 F ，则拒绝原假设 ，表明均值之间的差异显著，因素 A 对观察值有显著影响；-10H若 F ，故应拒绝24.3)16,(),1(95.0FrnF -1F原假设，推销方式对销售量有影响。四、拟合优度 检验法21、拟合优度 2 检验的基本思想拟合优度检验是根据样本的频率分布检验其总体分布是否符合某给定的理论分布。 值反映2了样本实际频率分布与理论分布的符合程度。2、 2 检验的基本公式大样本时检验统计量kiiTA122)(近似地服从 2 分布，自由度为= k1r （r 为计算 Ti
13、 时利用样本资料估计的未知参数个数）其中，A i 和 Ti 分别为实际观察频数和 成立时的理论频数， k 为频数分布的类别总数。0H例 4：从某幼儿园随机抽取 210 名幼儿，要求从红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种颜色中选择最喜欢的一种颜色，结果如表 11-2 所示。问幼儿的颜色选择是否有倾向性（ ）？05.表 11-2 幼儿颜色偏爱选择颜色 红 橙 黄 绿 青 蓝 紫 合计选择人数 42 38 34 21 20 19 36 210解： 检验步骤为：（1）提出假设： H0：幼儿的颜色选择无倾向性，即幼儿选择七种颜色的概率是一样的H1：幼儿的颜色选择有倾向性（2）计算检验统计量的值及其概率： ki
14、ti kf122 1其中： 表示实际频数， 表示理论频数，k 表示离散型变量的取值个数。iftf显然 ，原假设成立的话，幼儿选择七种颜色的概率相等，210 名幼儿选择每种颜色7k的分布是平均的，即理论频数 。30tf所以 73.1830)6(30)8()422212 L（kitif上面表达式可用 Mathstudio 直接计算，命令是：- 8 -输入： （42-30） 2+(38-30) 2+(34-30) 2+.+(36-30) 2 ）/30 18.7333（3）统计决断：根据检验水平 ，查表得到临界值 ，由于05. 59.1)6()195.02k（，拒绝原假设 H0，认为幼儿的颜色选择有显著的倾向性。921)6(7.1829.2五、矩阵运算1、矩阵输入M= 1,5,6,2,4,5,1,1,7 -输入一个 3 行 3 列的矩阵I=Identity(n) - 创建一个 n 行 n 列的单位矩阵2、矩阵计算Det(M) - 计算矩阵的行列式值Inverse(M) -
