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1、 1 学乐思教育让学习简单而快乐！学乐思数学教研组-二次函数知识点总结及相关典型题目第一部分 基础知识1.直线与抛物线的交点（1） 轴与抛物线 得交点为(0, ).ycbxay2c（2）与 轴平行的直线 与抛物线 有且只有一个交点( , ).hbxay2 hcba2（3）抛物线与 轴的交点x二次函数 的图像与 轴的两个交点的横坐标 、 ，是对应一元二次方程cbay2 1x2的两个实数根 .抛物线与 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：02cxx有两个交点 抛物线与 轴相交；有一个交点（顶点在 轴上） 抛物线与 轴相切；x0x没有交点 抛物线与 轴相离.0（4）平行于 轴的直线
2、与抛物线的交点x同（3）一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是 的两个实数根.kkcbxa2（5）一次函数 的图像 与二次函数 的图像 的交点，由方程组 nkyl 02acbxyG的解的数目来确定： 方程组有两组不同的解时 与 有两个交点; 方程组只cbxa2 l有一组解时 与 只有一个交点；方程组无解时 与 没有交点.lGl（6）抛物线与 轴两交点之间的距离：若抛物线 与 轴两交点为 ，由于cbxay2 021， xBA、 是方程 的两个根，故1x202cbxa21, acbacbxxxxAB 442221212121
3、2 学乐思教育让学习简单而快乐！学乐思数学教研组-第二部分 典型习题1、有一个运算装置，当输入值为 x 时，其输出值为 ，且 是 x 的二次函数，已知y输入值为 ,0, 时, 相应的输出值分别为 5, , 234（1）求此二次函数的解析式；（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值 为y正数时输入值 的取值范围. x2、已知抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C是否存在实数 a，使得4)3(2ayABC 为直角三角形若存在，请求出 a 的值；若不存在，请说明理由3、已知二次函数 的图象经过点（1，1） 求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与 x
4、2 xy轴的交点的个数4、已知抛物线 yx 2mxm2. （1）若抛物线与 x 轴的两个交点 A、B 分别在原点的两侧，并且 AB ，试求 m 的值；5（2）设 C 为抛物线与 y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点 M、N，并且 MNC 的面积等于 27，试求 m 的值.5、已知在平面直角坐标系内，O 为坐标原点，A、B 是 x 轴正半轴上的两点，点 A 在点 B 的左侧，如图二次函数 （a0）的图象经过点 A、B，与 y 轴相交于点 Ccbxay 2（1）a、c 的符号之间有何关系?（2）如果线段 OC 的长度是线段 OA、OB 长度的比例中项，试证 a、c 互为倒数；（3）在（2
5、）的条件下，如果 b4， ，求 a、c 的值34AB6、如图，直线 分别与 x 轴、y 轴交于点 A、B，E 经过原点 O 及3xyA、B 两点（1）C 是E 上一点，连结 BC 交 OA 于点 D，若CODCBO，求点 A、B、C 的坐标；（2）求经过 O、C、A 三点的抛物线的解析式：yO x 3 学乐思教育让学习简单而快乐！学乐思数学教研组-（3）若延长 BC 到 P，使 DP2，连结 AP，试判断直线 PA 与E 的位置关系，并说明理由1、已知：抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C 2yaxbc其中点 A 在 x 轴的负半轴上，点 C 在 y 轴的负半轴上，线段
6、OA、OC 的长（OAOC）是方程 的两个根，且抛物线的对称轴是直线 2540 1x（1）求 A、B、C 三点的坐标；（2）求此抛物线的解析式；（3）若点 D 是线段 AB 上的一个动点（与点 A、B 不重合） ，过点 D 作DEBC 交 AC 于点 E，连结 CD，设 BD 的长为 m，CDE 的面积为 S，求S 与 m 的函数关系式，并写出自变量 m 的取值范围S 是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时 D 点坐标；若不存在，请说明理由2、如图，抛物线经过 三点(40)1(02)ABC， ， ， ， ，（1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过 P 作 轴，垂足为 M，是
7、否存在 P 点，使得x以 A，P，M 为顶点的三角形与 相似？若存在，请求出符合条件的点 POA的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线 AC 上方的抛物线上有一点 D，使得 的面积最大，求出点 D 的坐标CA3、已知，如图抛物线 与 y 轴交于 C 点，与 x 轴交于 A、B 两点，A 点在 B 点左侧。23(0)yaxca点 B 的坐标为(1，0),OC=30B(1)求抛物线的解析式；(2)若点 D 是线段 AC 下方抛物线上的动点，求四边形 ABCD 面积的最大值：(3)若点 E 在 x 轴上，点 P 在抛物线上。是否存在以 A、 C、E、P 为顶点且以 AC 为一边的平行四边形?若存
8、在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由方程：4、已知一元二次方程 的一根为 2 10xpq2 （1）求 关于 的关系式； qp（2）求证：抛物线 与 轴有两个交点； 2yxx（3）设抛物线 的顶点为 M，且与 x 轴相交于 A（ ，0） 、B（ ，0）两点，求使AMB 面q 1x2xyxBDOAECO xyABC412 4 学乐思教育让学习简单而快乐！学乐思数学教研组-积最小时的抛物线的解析式课后习题：1、15、 （09 湖南怀化）如图 11，已知二次函数 22)(mkxy的图象与 x轴相交于两个不同的点(0)Ax，、 2()B， ，与 y轴的交点为 C设 AB 的外接圆的圆心为点 P（1
9、）求 P 与 轴的另一个交点 D 的坐标；（2）如果 恰好为 的直径，且 的面积等于 5，求 m和 k的值 2、(2009 年肇庆市)已知一元二次方程 的一根为 2 2 10xpq（1）求 关于 的关系式； qp（2）求证：抛物线 与 轴有两个交点； 2yxpq（3）设抛物线 的顶点为 M，且与 x 轴相交于 A（ ，0） 、 B（ ，0）两点，求使 AMB 面积 1x2x最小时的抛物线的解析式 3、 （2 009 年 常 德 市 ）已知二次函数过点 A （0， ） ， B（ ，0） ， C（ 5948， ） 21（1）求此二次函数的解析式；（2）判断点 M（1， 2）是否在直线 AC 上？（3）过点 M（1， ）作一条直线 l与二次函数的图象交于 E、 F 两点（不同于 A， B， C 三点） ，请自已给出E 点的坐标，并证明 BEF 是直角三角形图 8 5 学乐思教育让学习简单而快乐！学乐思数学教研组-
