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1、 1 学乐思教育让学习简单而快乐!学乐思数学教研组-二次函数知识点总结及相关典型题目第一部分 基础知识1.直线与抛物线的交点(1) 轴与抛物线 得交点为(0, ).ycbxay2c(2)与 轴平行的直线 与抛物线 有且只有一个交点( , ).hbxay2 hcba2(3)抛物线与 轴的交点x二次函数 的图像与 轴的两个交点的横坐标 、 ,是对应一元二次方程cbay2 1x2的两个实数根 .抛物线与 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:02cxx有两个交点 抛物线与 轴相交;有一个交点(顶点在 轴上) 抛物线与 轴相切;x0x没有交点 抛物线与 轴相离.0(4)平行于 轴的直线
2、与抛物线的交点x同(3)一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为,则横坐标是 的两个实数根.kkcbxa2(5)一次函数 的图像 与二次函数 的图像 的交点,由方程组 nkyl 02acbxyG的解的数目来确定: 方程组有两组不同的解时 与 有两个交点; 方程组只cbxa2 l有一组解时 与 只有一个交点;方程组无解时 与 没有交点.lGl(6)抛物线与 轴两交点之间的距离:若抛物线 与 轴两交点为 ,由于cbxay2 021, xBA、 是方程 的两个根,故1x202cbxa21, acbacbxxxxAB 442221212121
3、2 学乐思教育让学习简单而快乐!学乐思数学教研组-第二部分 典型习题1、有一个运算装置,当输入值为 x 时,其输出值为 ,且 是 x 的二次函数,已知y输入值为 ,0, 时, 相应的输出值分别为 5, , 234(1)求此二次函数的解析式;(2)在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值 为y正数时输入值 的取值范围. x2、已知抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C是否存在实数 a,使得4)3(2ayABC 为直角三角形若存在,请求出 a 的值;若不存在,请说明理由3、已知二次函数 的图象经过点(1,1) 求这个二次函数的解析式,并判断该函数图象与 x
4、2 xy轴的交点的个数4、已知抛物线 yx 2mxm2. (1)若抛物线与 x 轴的两个交点 A、B 分别在原点的两侧,并且 AB ,试求 m 的值;5(2)设 C 为抛物线与 y 轴的交点,若抛物线上存在关于原点对称的两点 M、N,并且 MNC 的面积等于 27,试求 m 的值.5、已知在平面直角坐标系内,O 为坐标原点,A、B 是 x 轴正半轴上的两点,点 A 在点 B 的左侧,如图二次函数 (a0)的图象经过点 A、B,与 y 轴相交于点 Ccbxay 2(1)a、c 的符号之间有何关系?(2)如果线段 OC 的长度是线段 OA、OB 长度的比例中项,试证 a、c 互为倒数;(3)在(2
5、)的条件下,如果 b4, ,求 a、c 的值34AB6、如图,直线 分别与 x 轴、y 轴交于点 A、B,E 经过原点 O 及3xyA、B 两点(1)C 是E 上一点,连结 BC 交 OA 于点 D,若CODCBO,求点 A、B、C 的坐标;(2)求经过 O、C、A 三点的抛物线的解析式:yO x 3 学乐思教育让学习简单而快乐!学乐思数学教研组-(3)若延长 BC 到 P,使 DP2,连结 AP,试判断直线 PA 与E 的位置关系,并说明理由1、已知:抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C 2yaxbc其中点 A 在 x 轴的负半轴上,点 C 在 y 轴的负半轴上,线段
6、OA、OC 的长(OAOC)是方程 的两个根,且抛物线的对称轴是直线 2540 1x(1)求 A、B、C 三点的坐标;(2)求此抛物线的解析式;(3)若点 D 是线段 AB 上的一个动点(与点 A、B 不重合) ,过点 D 作DEBC 交 AC 于点 E,连结 CD,设 BD 的长为 m,CDE 的面积为 S,求S 与 m 的函数关系式,并写出自变量 m 的取值范围S 是否存在最大值?若存在,求出最大值并求此时 D 点坐标;若不存在,请说明理由2、如图,抛物线经过 三点(40)1(02)ABC, , , , ,(1)求出抛物线的解析式;(2)P 是抛物线上一动点,过 P 作 轴,垂足为 M,是
7、否存在 P 点,使得x以 A,P,M 为顶点的三角形与 相似?若存在,请求出符合条件的点 POA的坐标;若不存在,请说明理由;(3)在直线 AC 上方的抛物线上有一点 D,使得 的面积最大,求出点 D 的坐标CA3、已知,如图抛物线 与 y 轴交于 C 点,与 x 轴交于 A、B 两点,A 点在 B 点左侧。23(0)yaxca点 B 的坐标为(1,0),OC=30B(1)求抛物线的解析式;(2)若点 D 是线段 AC 下方抛物线上的动点,求四边形 ABCD 面积的最大值:(3)若点 E 在 x 轴上,点 P 在抛物线上。是否存在以 A、 C、E、P 为顶点且以 AC 为一边的平行四边形?若存
8、在,求点 P 的坐标;若不存在,请说明理由方程:4、已知一元二次方程 的一根为 2 10xpq2 (1)求 关于 的关系式; qp(2)求证:抛物线 与 轴有两个交点; 2yxx(3)设抛物线 的顶点为 M,且与 x 轴相交于 A( ,0) 、B( ,0)两点,求使AMB 面q 1x2xyxBDOAECO xyABC412 4 学乐思教育让学习简单而快乐!学乐思数学教研组-积最小时的抛物线的解析式课后习题:1、15、 (09 湖南怀化)如图 11,已知二次函数 22)(mkxy的图象与 x轴相交于两个不同的点(0)Ax,、 2()B, ,与 y轴的交点为 C设 AB 的外接圆的圆心为点 P(1
9、)求 P 与 轴的另一个交点 D 的坐标;(2)如果 恰好为 的直径,且 的面积等于 5,求 m和 k的值 2、(2009 年肇庆市)已知一元二次方程 的一根为 2 2 10xpq(1)求 关于 的关系式; qp(2)求证:抛物线 与 轴有两个交点; 2yxpq(3)设抛物线 的顶点为 M,且与 x 轴相交于 A( ,0) 、 B( ,0)两点,求使 AMB 面积 1x2x最小时的抛物线的解析式 3、 (2 009 年 常 德 市 )已知二次函数过点 A (0, ) , B( ,0) , C( 5948, ) 21(1)求此二次函数的解析式;(2)判断点 M(1, 2)是否在直线 AC 上?(3)过点 M(1, )作一条直线 l与二次函数的图象交于 E、 F 两点(不同于 A, B, C 三点) ,请自已给出E 点的坐标,并证明 BEF 是直角三角形图 8 5 学乐思教育让学习简单而快乐!学乐思数学教研组-