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1、 第 1 页，共 14 页2010 学年度第二学期普陀区高三年级质量调研数学试卷 一、填空题（本大题满分 56 分）1. 双曲线 的实轴长为 . 21xy2. （理）极坐标平面内一点 的极坐标为 ，则点 到极点 的距离 . A(3,4)AOA（文）不等式 的解集为 .26x3. 二项式 的展开式中的第八项为 . 9(1)4. 已知点 在函数 ， 的图像上，则 的反函数 . ,32()fxa1,x()fx1()fx5. 若行列式 的第三行、第三列元素的代数余子式等于 ，则行列式 的值为 . 12Dx 3D6. 在球心为 ，体积为 的球体表面上两点 、 之间的球面距离为 ，则 的O43AB34AO
2、B大小为 . 7. 已知无穷等比数列 的前 项和 的极限存在，且 ， ，则数列 各项nanS3=4a527Sna的和为 . 8. （理）若直线 （ 为参数）的方向向量与直线 的法向量平行，则常数,321tyx 1kyx. k（文）由若干个棱长为 的正方体组成的几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为 . 主主主主主主第 8 题图-文9.已知一个圆柱的侧面展开图是一个长和宽分别为 和 的矩形，则该圆柱的体积是 . 310.已知数列 na是等差数列， ， ，则过点 和点 的直线的415aS2014,Pa2013,Qa倾斜角是 .（用反三角函数表示结果） 第 2 页，共 14 页11.设抛物线
3、上一点 到该抛物线准线与直线 的距离之和为 ，若 取24yxPl、4360xyd到最小值，则点 的坐标为 . 12. （理）设整数 是从不等式 的整数解的集合 中随机抽取的一个元素，记随m082xS机变量 ，则 的数学期望 . 2E（文）已知集合 ，集合 .在集合 中任取15AxxZ, 10,4xBZA一个元素 ，则事件“ ”发生的概率是 .xB13. （理）已知函数 若满足 ()()fafbc， （ 、 、201sin,1()logxf ab互不相等） ，则 abc的取值范围是 . c（文）在平面直角坐标系 中，设 ， ，动点 同时满足xOy,2M0,1ON(,)Pxy则 的最大值是 .01
4、,OPMNz14. 把正整数排列成如图 1 三角形数阵，然后擦去第偶数行中的所有奇数和第奇数行中的所有偶数，可得到如图 2 的三角形数阵. 现将图 2 中的正整数按从小到大的顺序构成一个数列 ，若na，则 01kak 124579061325284 234567891015623422036 第 14 题图-1 第 14 题图-2二、选择题（本大题满分 20 分）15. 设实数 、 、 满足 ,且 ,那么下列不等式中不一定成立的是 （ abcba0c）A. ； B. ； C. ； D. .()cba()0ac16. 已知方程 ，其中 ，则在复数范围内关于该方程的根的结论正确的是( 20xa）
5、第 3 页，共 14 页A. 该方程一定有一对共轭虚根； B. 该方程可能有两个正实根；C. 该方程两根的实部之和等于-2； D. 若该方程有虚根，则其虚根的模一定小于 1.17. （理） 已知向量 ， ，向量 ，则向量 与 的夹2cos,ina,20,1bab角为 ( ）A. ； B. ； C. ； D. .232（文）对任意的 ，以下与 的值恒相等的式子为 （ Rsin）A. ； B. ； C. ； D. .sin2cos2cos23sin218. 已知函数 的零点 ，且常数 分别满足 ，bxaf)( )1,(0kx(Zba,a，则 （ ）3bkA. ; B. ; C. ; D. .102
6、三、解答题（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.19. （本题满分 12 分）已知复数 满足 （ 为虚数单位） ，复数 ，试确定一个以w4(32)wi5|2|zw为根的实系数一元二次方程.z20. （本题满分 14 分）为了缓解城市道路拥堵的局面，某市拟提高中心城区内占道停车场的收费标准，并实行累进加价收费。已公布的征求意见稿是这么叙述此收费标准的：“ （中心城区占道停车场）收费标准为每小时 10 元，并实行累进加价制度，占道停放 1 小时后，每小时按加价 50%收费。 ”方案公布后，这则“累进加价”的算法却在媒体上引发了争议（可查询
7、2010 年 12 月 14 日的相关国内新闻）.请你用所学的数学知识说明争议的原因，并请按照一辆普通小汽车一天内连续停车 14 小时测算：根据不同的解释，收费各应为多少元？21.（本题满分 14 分）（理）如图， 平面 ，四边形 是正方形，PABCDA，点 、 、 分别为线段 、 和2DEFGPD的中点. C（1）求异面直线 与 所成角的大小；（2）在线段 上是否存在一点 ，使得点 到平面QGFECPA DB Q 第 4 页，共 14 页的距离恰为 ？若存在，求出线段 的长；若不存在，请说明理由.EFQ45CQ（文）已知坐标平面内的一组基向量为 ， ，其中 ，且向量1,sinex20,cos
8、ex0,2.123ae（1）当 和 都为单位向量时，求 ；a（2）若向量 和向量 共线，求向量 和 的夹角.a1,2b1e222.（本题满分 16 分）（理）已知函数 .2)ln()xf（1）试判断 的奇偶性并给予证明；(f（2）求证： 在区间 单调递减；)x0,1（3）右图给出的是与函数 相关的一个程序框图，试构造一个公差不()fx为零的等差数列 ，使得该程序能正常运行且输出的结果恰好为 0.请说na明你的理由.（文）如图，在平面直角坐标系中，方程为 的圆 的内接四边形20xyDEFM的对角线 和 互相垂直，且 和 分别在 轴ABCDBDACBx和 轴上 .y（1）求证： ;0F（2）若四边
9、形 的面积为 8，对角线 的长为 2，且，求 的值；24EF（3）设四边形 的一条边 的中点为 ， 且垂ABCDGOHAB足为 .试用平面解析几何的研究方法判断点 、 、 是否共H线，并说明理由.第 22 题图xyHGOAMCBD 第 5 页，共 14 页23. （本题满分 18 分）（理）如图 1，已知半径为 的圆 的内接四边形 的对角线 和 相互垂直且交点为rMABCDBD.PDBMCAP DBOA CP xy第 23 题图-1 第 23 题图-2（1）若四边形 中的一条对角线 的长度为 （ ） ，试求：四边形 面积ACDAd02rABCD的最大值；（2）试探究：当点 运动到什么位置时，四
10、边形 的面积取得最大值，最大值为多少？PBCD（3）对于之前小题的研究结论，我们可以将其类比到椭圆的情形.如图 2，设平面直角坐标系中，已知椭圆 （ ）的内接四边形 的对角线 和 相互垂直且交于2:1xyab0a点 . 试提出一个由类比获得的猜想，并尝试给予证明或反例否定.【本小题将根据你所提出的猜P想的质量和证明的完整性给予不同的评分】23.（文，同理科 22 题） 第 6 页，共 14 页2010 学年度第二学期普陀区高三质量调研数学试卷参考答案 201104一、填空题（满分 56 分）：1. ； 2. 理：3； 文： ； 3. ； 2,26,214x4. ； 5. ； 6. ； 7. 3
11、2； 1,0,x448. 理：-6；文：5； 9. 或 ； 10. 理： ；11. ；29arctn412(,)9312. 理： ；文： ； 13. 理：（2，2012） ；文： ； 14. 1028.32二、选择题（满分 20 分）： 题号 15 16 17 18答案 C C D A三、解答题： 19.（本题满分 12 分）解法一：因为 ，得 ，(12i)43iw43i21w所以 .5|iz若实系数一元二次方程有虚根 ，则必有共轭虚根 ，i3z i3z因为 ， ，610z故所求的一个一元二次方程可以是 .2610x解法二：设 ，则iwabR)(、234i(42(3)abiai， ，以下解法同
12、解法一.ba1biw20.（本题满分 14 分）解：争议的原因是收费标准中对于“每小时按加价 50%收费”的含义出现了歧义。以下给出三种不同的理解：解释一：第一小时为 10 元，以后每小时都为 15 元.14 小时总收费为：元；105320解释二：第一小时为 10 元，以后每小时都比前一小时增加 5 元.可以理解为等差数列求和，则 14 小时总收费为 元.144013592S 第 7 页，共 14 页解释三：第一小时为 10 元，以后每小时都增加 50%.可以理解为等比数列求和，则 14 个小时的收费为 元.14140.589S【说明】以上三种解释中能任意给出两种即可得满分.21. （本题满分
13、 14 分）（理科）解：（1）以点 为坐标原点，射线A分别为 的正半轴建立空ZADB, 轴轴 、轴 、 zyx间直角坐标系如图示，点 、 、)1,0(E),2(G、 ),20(，则 ，),2( ,.BD设异面直线 与 所成角为EBD,所以异面直线 与 所成角大小为 .Gcos63842EGBD3arcos6（2）假设在线段 上存在一点 满足条件，设点 ，平面 的法向量为CQ)0,2(xEFQ，则有 得到 ，取 ，所以 ，则),(zyxn0EnF0,zy1),01(xn，又 ，解得 ，所以点 即 ，则 .所8.0nEA0x340x),234(Q),32(C32CQ以在线段 上存在一点 满足条件，且长度为 .CDQ（文科）解：(1)由题意，当 时， ，此时 ， 都为单位0xsin0,cos1x1,0e2,1e向量.故 ，所以 .123,aea(2) 由条件 1213,sincos2xFGECPAB DQ第 21 题图xyz 第 8 页，共 14 页因为向量 和向量 共线，所以a1,2b13sincos022x，因为 ，所以 .13sincosi023xx ,x6x于
