《《常微分方程》期末模拟试题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《常微分方程》期末模拟试题（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1常微分方程模拟练习题及参考答案一、填空题（每个空格 4 分，共 80 分）1、n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 n 个。2、一阶微分方程 的通解为 （C 为任意常数） ，方程与通过点（2，3）的特解为 2dyx2yx，与直线 y=2x+3 相切的解是 ，满足条件 的解为 。21yx 430ydx2yx3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 必要 条件。4、对方程 作变换 ，可将其化为变量可分离方程，其通解为 2()dxyuxy。tanyC5、方程21dyx过点)1,(共有 无数 个解。6、方程 的通解为 ，满足初始条件 的特解24212xyCx13|2,|5xxy为
2、 。41964xy7、方程 xd无 奇解。8、微分方程 可化为一阶线性微分方程组 。260ydx 6dyzx9、方程的奇解是 y=0 。10、 是 3 阶常微分方程。352dyx11、方程 满足解得存在唯一性定理条件的区域是 。2y xoy平 面12、微分方程 通解为 ，该方程可化为一阶线性微分方程组 2450dx512xxyCe2。45dyzx13、二阶线性齐次微分方程的两个解 成为其基本解组的充要条件是 线性无关 12(),()yx。14、设 ，则线性微分方程组 有基解矩阵 。1342AdXAt 253()4ttet二、解方程（每个小题 8 分，共 120 分）1、 0d)(yxx答案：方
3、程化为21令 xuy，则 xuyd，代入上式，得ux1d分离变量，积分，通解为 1C 原方程通解为 y22、 yxt4d答案：特征方程为 014EA即 032。特征根为 31， 2对应特征向量应满足 03141ba可确定出 21ba同样可算出 2对应的特征向量为 22 原方程组的通解为ttCyxee231。 33、xy2ed答案：齐次方程的通解为xCy3e令非齐次方程的特解为x)(Cx5e1(代入原方程，确定出原方程的通解为xy3+24、 ；2xyd答案： 是一个变量分离方程xy变量分离得 2yxd两边同时积分得 （其中 c 为任意常数）5、xyed答案： xyxydex)(dxeydyyxy
4、积分：cex21故通解为：021cexxy6、 0)(2dyyy答案： )(2xxd两边同除以 得 ，即 ，2y 021)(dxyarctgd故原方程的解为Cxarctg217、 .2453dxyt4答案：方程组的特征方程为203AE45即 ，即(2)3(4)021特征根为 ，172对应特征向量应满足 ，可得15370ab145ab同样可算出 时，对应特征向量为22 原方程组的通解为72145ttxeCy8、 sinco2xtt答案：线性方程 0x的特征方程 210故特征根 i1()ifti是特征单根，原方程有特解 (cosin)tABt代入原方程 A=- 2B=0 2()sft2不是特征根，
5、原方程有特解 sixtt代入原方程13AB=0 所以原方程的解为 12concos2tt9、 0)()12(dyxdyx答案： 2)(，令 z=x+y，则 dxyz1,11zdxz2所以 z+3ln|z+1|=x+ C， ln3|z=x+z+ 1C即yxey23)(10、 20dxt答案：所给方程是二阶常系数齐线性方程。5其特征方程为 210特征根为 ，13i23i 方程的通解为1313 1()()22 2123(cosin)itit txcecete 11、 312yxd答案： (x-y+1)dx-(x+2+3)dy=0xdx-(ydx+xdy)+dx- ydy-3dy=0 即 21dx-d
6、(xy)+dx-31dy-3dy=0所以Cx3121三、证明题（共 160 分）1、 （12 分）证明如果 Axt/） 是（满足初始条件 )(0t的解，那么 )(t)(0tAe。证明：设 )(t的形式为 )(= Cet（1） （C 为待定的常向量） 则由初始条件得 0= At0又1)(0Ate= 0t 所以 C=1)(0te= 0At代入（1）得 (=)(00tAtA即命题得证。2、 （12 分）设 )(x在区间 ),(上连续试证明方程yxysin)(d的所有解的存在区间必为,(。证明 ：由已知条件，该方程在整个 xoy平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件。显然 1y是方程的两个常数解。任
7、取初值 ),(0x，其中 ),(0x, 10y。记过该点的解为 )(xy，由上面分析可知，一方面 y可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过 1，下方不能穿过 y，否则与惟一性矛盾；故该解的存在区间必为 ),(。63、 （12 分）设 )(1xy， 2是方程 0)(yxqpy的解，且满足 )(01xy= )(02=0，0)(1，这里 )(,qp在 ),上连续， ),试证明：存在常数 C 使得2xy=C 1证明：设 )(， 2xy是方程的两个解，则它们在 ),(上有定义，其朗斯基行列式为 )()(21xyW由已知条件，得0)()(0)()()( 2102010 xyx故这两个解是线性相
8、关的；由线性相关定义，存在不全为零的常数 21， ，使得 )()(21xy， ),(由于 0xy，可知 0否则，若 2，则有 )(1xy，而 0)(1xy，则 1，这与 )(1xy， 2线性相关矛盾故)()(1122 xCy4、 （12 分）叙述一阶微分方程的解的存在唯一性定理的内容，并给出唯一性的证明。定理：设 .00:|,|Rxayb（1） 在 上连续，()f（2） 在 上关于 满足利普希茨条件：,xyy，总有 .120(,),LxR1212|(,)(,)|fxyfLy则初值问题 存在唯一的解 ，定义于区间 上，0(,)dyfx()yx0|xh连续且满足初值条件 ，这里 .0()(,)mi
9、n,a|,)|xyRbhaMf唯一性：设 是积分方程在区间 上的解，则 .()x,x()证明： ， ，0(,)xyfd01(),xnnyfd1,2.7首先估计 .0x，00 0|()|(,)|()xfdMx010| ,|xxf0 020|()|()()!xMLLLdx设 成立，则10|()|()!nnnxx0 0121 0|()|,(,()|()|()!nx x nn n nLffddx 这就证明了对任意的 ，总成立估计式： .110|()|()!()!nnnMLxh因此， 一致收敛于 ，由极限的唯一性，必有 .()nx()x 0),5、 （10 分）求解方程组51yxdt的奇点，并判断奇点的
10、类型及稳定性。解：令 051yx，得32y，即奇点为（2，-3）令 32yYxX，代入原方程组得YXdt，因为01，又由021，解得 2， 为两个相异的实根，所以奇点为不稳定鞍点，零解不稳定。6、 （12 分）求方程组 满足初始条件 的解.31dxyt1(0)8解：方程组的特征方程为 ，231(3)00所以特征根为 （二重） ，对应齐次方程组的基解矩阵 ，331exp()0t tAIEe满足初始条件的特解 0()expexp()ttAtsfd3330110tt tseeeds33311ttt32ttte7、 （10 分）假设 m不是矩阵 A的特征值，试证非齐线性方程组 mtceAx 有一解形如
11、 tpet)(其中 c， p是常数向量。证明：设方程有形如mtet)(的解，则 p是可以确定出来的。事实上，将t代入方程得mtttceA，因为 0mte，所以 cep，cPAE)(（1）又 不是矩阵 的特征值， 0)det(AmE所以1)(m存在，于是由（1）得 cp1)(存在。故方程有一解mttect1)(8、 （12 分）试求方程组 的一个基解矩阵，并计算 ，其中 .xAexpAt21解： ，均为单根，12()det)0,3,pE设 对应的特征向量为 ，则由 ，得 ， .11v11()0Ev1(23)0取 ，同理可得 对应的特征向量为 ，23v129则 ，均为方程组的解，331122(),
12、()t tevev令 ，又 ，12(),()tt1(0)dt()3023w 即为所求基解矩阵 .()t33()()t tt tee9、 （12 分）试证明：对任意 0x及满足条件 10y的 0，方程 21)(dyxy的满足条件0)(yx的解 )(在 ),上存在证明： 21,yxf，22)1()(, yxyyxfy 在全平面上连续 原方程在全平面上满足解的存在唯一性定理及解的延展定理条件又显然 ,0y是方程的两个特解现任取 )(x， )1,0(y，记 )(xy为过 ),0y的解，那么这个解可以唯一地向平面的边界无限延展，又上不能穿越 1，下不能穿越 0y，因此它的存在区间必为 ),(10、 （1
13、0 分）求平面上过原点的曲线方程，该曲线上任一点处的切线与切点和点 的连线相互垂直.(1,0)解：设曲线方程为 ，切点为 ，切点到点 的连线的斜率为 ，()yx(,)xy(1,0)yx则由题意可得如下初值问题：(0)y分离变量，积分并整理后可得 ，221xC代入初始条件可得 ，1C因此得所求曲线为 .2()xy11、 （12 分） 在方程)(dfx中，已知 )(yf， x在 ),(上连续，且 0)1(求10证：对任意 0x和 1y，满足初值条件 0)(yx的解 )(x的存在区间必为 ),(证明：由已知条件可知，该方程在整个 oy平面上满足解的存在惟一及延展定理条件，又存在常数解 L,2,ky 对平面内任一点 )(0yx，若 k0，则过该点的解是 ky，显然是在 ),(上有定义 若 ky0,则 )1(,0k,记过该点的解为 )(x，那么一方面解 )xy可以向平面的无穷远无限延展；另一方面在条形区域 kyx(,()1内 )(xy不能上、下穿过解)1(ky和 ky，否则与解的惟一性矛盾因此解的存在区间必为 ),(12、 （10 分）设 是方程 的任意两个解，求证：
