8线性代数练习题(带解题过程)

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1、线性代数试题一 填空题1 设 为 3 阶方阵且 ，则 ；A2A231【分析】只要与 有关的题，首先要想到公式， ，从中推* E*你要的结论。这里 代入1*AA)(23311 注意： 为什么是 3)(2 设 ，133221, 如 线性相关，则 线性_(相关)3,1如 线性无关，则 线性_(无关)21 32,【分析】对于此类题，最根本的方法是把一个向量组由另一个向量表示的问题转化为矩阵乘法的关系，然后用矩阵的秩加以判明。，记此为10,321321AKB这里 ，)()ArKBr切不可两边取行列式！因为矩阵不一定是方阵！3 设非齐次线性方程 ， ， 是它的三个解，且bxm42)(321,TTT )5,

2、4(4,3,)76,3(221 求该方程组的通解。(答案： ，形式不Tkk)2,1(,)65(1唯一)【分析】对于此类题，首先要知道齐次方程组基础解系中向量的个数（也是解空间的维数）是多少，通解是如何构造的。其次要知道解得性质（齐次线性方程组的任意两解的线性组合仍为方程组的解)。4 当 时， 能由 线性表示k)5,1(k)1,2(),31(（答案 ）8k【分析】一个向量能否用一个向量组表示的问题，可转化为非齐次方程组有无解的问题。你来做：设 ， ， ， ，Tt)2,1(Tt)1,(1Tt)1,(2Tt)1,(3问 为何值时， 不能由 线性表示； 能由 线性表示且表法唯t 32,2一； 能由 线

3、性表示且表法无穷多并写出所有的表示方法。321,注意： 关于含参数的方程组求解，如果系数矩阵是方阵，用行列式的方法往往简单，如果不是方阵只有用初等行变换的方法了。5 设 ，求 使 为正交矩阵T)1,(3132,321,Q【分析】求与一个向量正交的问题，就是解方程组的问题 01xT当然要根据题之要求，还要使用 Schimidt 正交化，单位化过程（答案：详见教材P117例 3，还要再单位化）你写一写正交矩阵的充要条件有哪些，如果给你两个正交向量求一个向量与它们都正交你也应该会！带的题目可以暂时不看！二 选择题1 设 为满足 的两个非零矩阵，则必有BA,0(A) 的列向量组线性相关， 的行向量组线

4、性相关B(B) 的列向量组线性相关， 的列向量组线性相关(C) 的行向量组线性相关， 的行向量组线性相关(D) 的行向量组线性相关， 的列向量组线性相关A【分析】遇到 ，就要想到 以及 的列向量均是线性方程组0pnmBnBrA)(的解。xB 的每一列向量都是方程组 Ax=0 的解向量，解向量组的极大无关组为方程组的基础解系，基础解系中解向量的个数与自由未知量的个数相同，为 n-r；也即解向量中线性无关的解向量最多有 n-r 个，因此，秩（B）=n-r;因此当 时，有0ABnBrA)(另外： 遇到 要想到 的列组都是 的列组的线性组合， 的行组都是 的行组ABCACB的线性组合。从这个角度也可做

5、此题，你来想想。2设 ，则（ ） （多选） 。nmrn)(（） ,OEr （） Amc（）对 ， 必有无穷多解nRbbx（）若 B（） (答案:B,C,D,E)0T【分析】（I） (A)和(B) 是化标准形的问题。这里 是行满秩矩阵，必有 m 阶子式非零，这个Am 阶子式所在的行就是 A 的所有的行，只用列变换可把它所在的 m 列调到前面来,CBm 此时 是非奇异矩阵，可只用列变换化为单位矩阵，然后用此单位矩阵只用列变换B把后面的矩阵 C 消为零。故（B）是对的。 （A）不对。（II） 对于（C）要知道，如果 是行满秩矩阵，则 一定是有解的，这是因Abx为 ),(),()( rbrmnmn至于

6、是否有唯一解还是有无穷多解还要把增广矩阵的秩（即独立方程组的个数）与未知数的个数（即 A 的列数比较） ，由题设 ，故有无穷多解（C）nmAn)(也是对的。（III ） 对于(D) 这是书上定理 只有零矩阵解的充要条件是 是列满矩阵的OX变形 这里 是列满秩,故(D)也是对的。BTT（IV ） 对于（E）要了解形如 的是一个非常重要的矩阵，你必须知道这两个结A论一是 是一个对称半正定的矩阵（这用 是很容易证明的） ，二AT 0)(xAT是 （这是书上的例题） 。用第二个结论立即知 可逆（实际上是)()r T对称正定）的充要条件是 是列满秩。这样就（E）是对的。另外： 对于 型的矩阵，如果 ，一

7、定有 （这是因为mnBn0mnB） ，记忆方法：高的矩阵乘矮的矩阵一定不可逆的Arr)(（如果是方阵的话）3 设 为 阶可逆矩阵 ，交换 的第 1 行与第 2 行得矩阵 ，则（ ）An)2(nAB（）交换 的第列与第列得 （）交换 的第行与第行得*B*（）交换 的第列与第列得 （）交换 的第行与第行得【分析】对于此类题你不仅要熟悉伴随矩阵的运算还要熟悉初等矩阵的性质。交换 A 和第 1行和第 2 行得 B，则有 （左行右列原则） ，从而 ，由此关系AjiE),( B找 与 的关系： *A ),(),(),( *1111 jiEAjiji 由此知(C)是对的。4 设 为方阵， 是齐次线性方程组

8、的两个不同的解向量，则（ ）是21,0x的特征向量A（A） 与 ， （B） ， （C ） ， （D） （A） 、 （B） 、 （C ）都是122121【分析】齐次方程组有有两个不的解，当然必有非零解，从而必有特征值 0，对应的特征向量就是其非零解。这里要选（C）才能保证是非零的。把此题变化一下：设 是齐次线性方程组 的两个不同的解向量， ，21,0Ax 1)(nrm则（ ）是 的基础解系。0x（A） （B） ， （C） ， （D）1221215 与矩阵 相似的矩阵是（ ） （答案：B）（A） ， （ B） ， （C） ， （D）201201201210【分析】首先相似矩阵有相同的特征值，都是

9、1（二重）和 2（单重） ，如有不是的就该排除，这里没有。这就要靠矩阵可对角化的充要条件是任一特征值的重数等于它所对应的无关特征向量的个数（也称几何重数）去判别。即 亦即)(AErnii ，对于单重的不需要考虑（这是为什么？） ，只需考虑多ii nAEr)(重的。这里只需考虑 123?)1(AEr三 计算题1 计算行列式 nDnLMOL232提示 此行列式特点是对角元不等，其余相等。每一行减第一行。你还有更好的方法吗。答案 ）)!2(n评注 关于行列式的计算重点掌握化三角形，以及特殊分块行列式的计算2 解矩阵方程 EAX12)21(1*其中 ，求013A提示 先化简方程为： EAX2)4(答案

10、 2102评注 关于解矩阵方程一定要先化简，变为如下形式之一 CAXBAX,主要考察矩阵的基本运算，矩阵求逆等知识。注意 左乘还右乘的关系，这是同学们最容易错的。3 设向量组 TTTT )7,654(,)654,3(,)543,2(,432,1 求此向量组的一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示。提示 按上课教的方法把向量按列排成矩阵只用行变换化最简阶梯形，参照教材 P94 例11答案 最简阶梯形为 0321T注意 不管给的是行向量还是列向量一定要按列排成矩阵只作行变换，一定要化到最简阶梯形。常见错误是没有化到最简或中途使用了列变换。评注 此题变形为下面的题，做法是一样的下面方程组

11、哪些方程是独立的，哪些是多余的，并把多余方程用独立方程表示出来765432432131xx4 当 何值时，下面方程组有唯一解，无解，有无穷多解，有无穷多解时求通过解。,32141x提示 对于含参数的方程组，如果系数矩阵是方阵往往采用行列式法较简单，这也是首选的方法，但是如果不是方阵只有一种方法就是行变换的方法。步骤是：当 时有唯一解，0A当 时（这时参数已经确定了）可能无解也可能有无穷多解，这要分别讨论如果右端项还有参数，只有用行变换的方法再讨论答案 ，其它你来完成153注意 常见错误：求通解时没有化到最简阶梯形，这样自由变量不好区分，很容易出错。所以要记住，一定要化到最简阶梯形，然后再求解。

12、评注 这类题主要考察学生对方程组解的存在定理掌握如何，并考察求通解的能力。你来回答下面方程组或矩阵方程有解（唯一解等）的充要条件是什么？ OAXBAxbx,0),(5 设实二次型 经正交变换32121321 4) xaxf Qyx化为标准形为 34yby（1）求参数 ；（2）求正交换矩阵ba, Q评注 二次型正交变换化标准的问题实质就是对称矩阵正交对角化的问题，所以要把这类问题转化为矩阵问题来处理。注意 二次型的矩阵我们规定一定是对称的，如果二次型矩阵写不对的话，该题一分不得。提示 二次型的矩阵为 02aA这里标准形告诉你了，就等于告诉你特征值了 411bAQT特征值为 ，为确定参数常用下面方

13、法4,b，解得 。trA2,1ba的特征值为 ，求得其对应的特征向量分别为4,321， ，T)(1T),(T)2,1(3由于特征值互异，它们是正交的，检查一下如果不正交说明你做错了。答案 213Q提醒 如果只是一般的可逆变换 化标准形为 ，这里标准形的Pyx23214ybyf系数不再是特征值了，只有正交矩阵既是相似关系又是合同关系 。AQT1一般不会出这样的题。再注 一般二次型用正交变换化标准形的题，最常见的是教材 P127 例 12，P132 例 11 这种题型，你要好好看看，并完整地做一遍。四 证明题1 设 为 个线性无关的 维列向量， 和 与 都121,nLn12121,nL正交，证明 ， 线性相关。2提示 前面曾经说过，把正交关系看成齐次方程组。由题意 ， 都是方程组12的解，其系数矩阵0,0,121 xxTnTTL的秩为 ，说明 只有一个线性无关的解。nTnA)1(M)(Ar0Ax评注 这只是方法之一，可以说是最简单的。2 证明 )(TTrr提示 第一个等号见教材 P101 例 15。第二个等号绝不是同理可证的关系。因为 与 没有同解的关系，未0AxxT知数的个数不等。应该这样证：利用第一个结论 )()()( rArATTT评注 以上两个证明题都用到齐次方程组解空间的维数定理，望对这个定理予以重视。