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1、平行线与相交线 知识要点 一余角、补角、对顶角 1， 余角：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角 . 2， 补角：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角 . 3， 对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角 . 4， 互为余角的有关性质： 1 2 90，则 1、 2互余 ； 反过来，若 1， 2互余 ， 则 1+ 2 90； 同角或等角的余角相等，如果 l十 2 90， 1+ 3 90，则 2 3. 5， 互为补角的有关性质： 若 A+ B 180， 则 A、 B互补 ； 反过来，若 A、 B互补，则 A+ B 180. 同角或等角的补角相
2、等 .如果 A+ C 180， A+ B 180，则 B C. 6， 对顶角的性质：对顶角相等 . 二 同位角、内错角、同旁内角的认识及平行线的性质 7， 同一平面内两条直线的位置关系是：相交或平行 . 8， “三线八角 ”的识 别 ： 三线八角指的是两条直线被第三条直线所截而成的八个角 . 正确认识这八个角要抓住： 同位角位置相同，即 “同旁 ”和 “同规 ”；内错角要抓住 “内部，两旁 ”；同旁内角要抓住 “内部、同旁 ”. 三 平行线的性质 与 判定 9， 平行线的定义：在同一平面内 ， 不相交的两条直线是平行线 . 10，平行线的性质： 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相
3、等，同旁内角互补 . 11， 过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行 . 12， 两条平行线之间的距离是指在一条直线上任意找一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线之间的距离 . 13， 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行 . 14，平行线的判定： 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；如果内错角相等那么这两条直线平行；如果同旁内角互补，那么 这两条直线平行 . 这三个条件都是由角的数量关系（相等或互补）来确定直线的位置关系（平行）的，因此能否找到两直线平行的条件，关键是能否正确地找到或识别出同位角，内错角或同旁内角 . 15， 常见的
4、几种两条直线平行的结论：（ 1）两条平行线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线平行 ； （ 2）两条平行线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行 . 四尺规作图 16，只用没有 刻度的直尺 和圆规的作图的方法称为尺规作图 .用尺规可以作一条线段 等于 已知线段，也可以作一个角 等于 已知角 .利用这两种两种基本作图可以作出两条线段的 和 或差，也可以作出两个角的 和或差 . 考点例析： 题型一 互余与互补 例 1（内江市）一个角的余角比它的补角的12少 20.则这个角为 （ ） A.30 B.40 C.60 D.75 分析 若设 这个角为 x，则 这个角的余角是 90 x， 补角是
5、180 x，于是构造出方程即可求解 .解 设 这个角为 x，则 这个角的余角是 90 x， 补角是 180 x.则 根据题意，得12(180 x) (90 x) 20.解得： x 40.故应选 B.说明 处理有关互为余角与互为补角的问题，除了要弄清楚它们的概念，通常情况下不要引进未知数，构造方程求解 . 题型二 平行线的性质与判定 例 2（盐城市）已知：如图 1， l1 l2， 1 50，则 2的度数是（ ） A.135 B.130 C.50 D.40 分析 要求 2的度数，由 l1 l2可知 1+ 2 180，于是由 1 50，即可求解 .解 因为 l1 l2，所以 1+ 2 180，又因为
6、1 50，所以 2 180 1 180 50 130.故应选 B.说明 本题是运用两条直线平行，同旁内角互补求解 . 例 3（ 重庆市 ）如图 2，已知直线 l1 l2， 1 40，那么 2 度 . 分析 如图 2，要求 2的大小，只要能求出 3，此时由 直线 l1 l2， 得 3 1即可求解 .解 因为 l1 l2， 1 40，所以 1 3 40.又 因为 2 3，所以 2 40.故应填上 40.说明 本题在求解过程中运用了两条直线平行，同位角相等求解 . 例 4（烟台市）如图 3， 已知 AB CD， 1 30， 2 90，则 3等于（ ） A.60 B.50 C.40 D.30 分析 要
7、求 3的大小，为了能充分运用已知条件，可以过 2的顶点作 EF AB，由有 1 AEF， 3 CEF，再由 1 30， 2 90求解 .解 如图 3，过 2的顶点作 EF AB.所以 1 AEF，又因为 AB CD， 所以 EF CD，所以 3 CEF，而 1 30， 2 90， 所以 3 90 30 60.故应选 A.说明 本题在求解时连续两次运用了两条直线平行，内错角相等求 解 . 例 5（ 南通市 ）如图 4， AB CD ，直线 EF分别交 AB， CD于 E， F两点， BEF的平分线交 CD于点 G，若 EFG 72，则 EGF等于（ ） A.36 B.54 C.72 D.108
8、分析 要求 EGF的大小，由于 AB CD ， 则有 BEF+ EFG 180， EGF BEG，而 EG平分 BEF， EFG 72， 所以可以求得 EGF 54.解 因为 AB CD ， 所以 BEF+ EFG 180， EGF BEG，又因为 EG平分 BEF， EFG 72， 所以 BEG FEG 54 .故应选 B.说明 求解有关平行线中的角度问题，只要能熟练掌握平行线的有关知识，灵活运用对顶角、角平分线等知识就能简洁获解 . 题型三 尺规作图 例 6（杭州市） 已知角 和线段 c如图 5所示 ， 求作等腰三角形 ABC， 使其底角 B ， 腰长 AB c， 要求仅用直尺和圆规作图
9、，写出作法，并保留作图痕迹 . 分析 要作 等腰三角形 ABC， 使其底角 B ， 腰长 AB c，可以先作出底角 B ，再在底角的一边截取 BA c，然后以点 A为圆心，线段 c为半径作弧交 BP于点 C，即得 .作法（ 1）作射线 BP，再作 PBQ ；（ 2）在射线 BQ上截取 BA c；（ 3）以点 A为圆心，线段 c为半径作弧交 BP于点 C；（ 4）连接 AC.则 ABC为所求 .如图 6. 例 7（长沙市）如图 7，已知 AOB和射线 OB，用尺规作图法作 AOB AOB（要求保留作图痕迹） . 图 4 B D G F C A E A O B B O 图 7 A D C D C
10、图 5 c A 图 6 c c B C P 图 2 图 1 F 图3 F 图3 E 分析 只要再过点 O作一条射线 OA，使得 AOB AOB即可 .作法（ 1）以 O为圆心，任意长为半径，画弧，交 OA、 OB于点 C、D；（ 2）以 O为圆心，同样长为半径画弧，交 OB于点 D；（ 3） 以 D为圆心， CD长为半径画弧与前弧交于点 C；（ 4）过点 OC作一条射线 OA.如图 7中的 AOB即为所求作 .说明 在实际答题时，根据题目的要求只要保留作图的痕迹即可了 . 相交线与平行线测试题 一、选择题 （本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分 在每小题所给出的四个选项中，只有一
11、项是符合题目要求的） 1下列说法中，正确的是（ ） A一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫做这个角的平分线 ;B P 是直线 L 外一点， A、 B、C 分别是 L 上的三点，已知 PA=1， PB=2， PC=3，则点 P 到 L 的距离一 定是 1;C相等的角是对顶角 ; D钝角的补角一定是锐角 . 2如图 1，直线 AB、 CD 相交于点 O，过点 O 作射线 OE，则图中的邻补角一共有（ ） A 3 对 B 4 对 C 5 对 D 6 对 (1) (2) (3) 3若 1 与 2 的关系为内错角， 1=40，则 2 等于（ ） A 40 B 140 C 40或 140 D不确定 4如
12、图，哪一个选项的右边图形可 由左边图形平移得到（ ） 5 a， b， c 为平面内不同的三条直线，若要 a b，条件不符合的是（ ） A a b， b c; B a b， b c; C a c， b c; D c 截 a， b 所得的内错角的邻补角相等 6如图 2，直线 a、 b 被直线 c 所截，现给出下列四个条件：（ 1） 1= 5；（ 2） 1= 7；（ 3） 2+ 3=180；（ 4） 4= 7，其中能判定 a b 的条件的序号是（ ） A（ 1）、（ 2） B（ 1）、（ 3） C（ 1）、（ 4） D（ 3）、（ 4） 7如图 3，若 AB CD，则图中相等的内错角是（ ） A 1
13、 与 5， 2 与 6; B 3 与 7， 4 与 8; C 2 与 6， 3 与 7; D 1 与 5， 4 与 8 8如图 4， AB CD，直线 EF 分别交 AB、 CD 于点 E、 F， ED 平分 BEF若 1=72， 则 2 的度数为（ ） A 36 B 54 C 45 D 68 (4) (5) (6) 9已知线段 AB 的长为 10cm，点 A、 B 到直线 L 的距离分别为 6cm 和 4cm， 则符合条件的直线 L 的条数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 10如图 5，四边形 ABCD 中， B=65， C=115， D=100，则 A 的度数为（ ） A 65 B 80 C 100 D 115 11如图 6， AB EF， CD EF， 1= F=45，那么与 FCD 相等的角有（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 12若 A和 B的两边分别平行，且 A比 B的 2倍少 30，则 B的度数为（ ） A 30 B 70 C 30或 70 D 100 二、填空题 （本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分把答案填在题中横线上） 13如图，一个合格的弯形管道，经过两次拐弯后保持平行（即 AB
