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1、1由递推式求通项公式、数列求和方法总结一、叠加法 1适用于： -这是广义的等差数列 累加法是最基1()naf+=本的两个方法之一。若 ，则 相加得 1()nf2n2131() ()naff 11()nnkaf例 1 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na112na， na解：由 得 则2n123212()()()()1()()1nnn 所以数列 的通项公式为 。na2na二、叠乘法 1.适用于： 1()nnf若 ，则1()naf31212()()naafff ， ， ，两边分别相乘得， 1()nnkfa2例 2. 已知数列 满足 ， ，求 。na321nna1解：由条件知 ，分别令 ，代入
2、上式1n )(,得 个等式累乘之，即)(13421naan4321又 ，an131an三、待定系数法 适用于 1()nqf1形如 ,其中 )型0(,1cdn a1（1）若 c=1 时，数列 为等差数列;（2）若 d=0 时，数列 为等比数列;nana（3）若 时，数列 为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构0且dcn造辅助数列来求.待定系数法：设 ,)(1nnac得 ,与题设 比较系数得)(1can ,1dcn,所以 所以有：d)()0(,c )1(1cdaann因此数列 构成以 为首项，以 c 为公比的等比数列，1an 1da所以 即： .1)(nn ccd 1)1(cddann3规律：将
3、递推关系 化为 ,构造成公dcan1)1(1cdacdnn比为 c 的等比数列 从而求得通项公式n)1(11cdadan例 3.已知数列 中， ，求数列 的通项公式。n1,2()nana解： 12(),na1()nn又 是首项为 2，公比为 2 的等比数列1,n，即n2形如： (其中 q 是常数，且 n 0,1) nap1 若 p=1 时，即： ，累加即可.n若 时，即： ，n1求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以 .即： ,令 ，1npnnqpa)(11nab则 ,然后类型 1，累加求通项.nnqpb)(11ii.两边同除以 . 目的是把所求数列构造成等差数列。1即： ,qapqnn1
4、4令 ,则可化为 .然后转化为线性递推来解，nqabqbpnn11iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等比数列设 .通过比较系数，求出 ，转化为等比数列求)(11 nnnn paa通项.注意：应用待定系数法时，要求 p q，否则待定系数法会失效。例 4 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na11243na， na解法一（待定系数法）：设 ，比较系数得12(nn)，12,则数列 是首项为 ，公比为 2 的等比数列，143na 1435a所以 ，即5n1nn解法二（两边同除以 ）：两边同时除以 得： ，解法略1nq13n1243nna解法三（同除以 ）两边同时除以 得： ，解法略1np1
5、2n nn)(21练习. 已知数列 中， , ，求 。na6511)(3nnana解：在 两边乘以 得：1)2(3n 1)(31令 ，则 ,应用例 7 解法得：b1nnbnnb2所以 na)(3形如 (其中 k,b 是常数，且 )kp1 0k通过凑配可转化为 ; 1()(1ynxapyxna5解题基本步骤：1、确定 =kn+b()fn2、设等比数列 ，公比为 pyxabn3、列出关系式 ,即)1()(1ynx1npb4、比较系数求 x,y 5、解得数列 的通项公式6、解得数列 的通项公式na例 5 在数列 中， 求通项 .（逐项相减法）,23,1nanna解： ， 231n时， ，2n)(1a
6、两式相减得 .令 ,则211nn nnab13nb即 251 3511nna再由累加法可得 . 亦可联立 解出235an.12nn四、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例 6 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na112,nana解：求倒数得 为等差数列，首111,22nnnna6项 ，公差为 ，1a212(),1nnaa五、对数变换法 适用于 (其中 p,r 为常数)型 p0， rp1 0na例 7. 设正项数列 满足 ， （n2）.求数列 的通项n21na公式.解：两边取对数得： ， ，设122loglnnaa )1(logl22nnaa，则 是以 2 为公比的等比数列
7、，1log2nab1b， ，11nn 1lnan，l12na21na六、逐差法 2（逐项相减法）1、递推公式中既有 ，又有nSn分析：把已知关系通过 转化为数列 或 的递推关系。1,2nnaSnaS例 8 已知数列 的各项均为正数，且前 n 项和 满足n，且 成等比数列，求数列 的通项公式。1()26nSa249,ana解：对任意 有 N1()6nnS当 n=1 时， ，解得 或11112当 n2 时， ()2nnna-整理得： 各项均为正数，1130na7当 时， ，此时 成立13na1a32n249a当 时， ，此时 不成立，故 舍去2n491数列求和1直接法：即直接用等差、等比数列的求和
8、公式求和。（1）等差数列的求和公式： dnanSn2)1(2)(11（2）等比数列的求和公式 )(1qann2公式法： 1+2+3 +n = 2221 (1)36nk n 如：).3(.)1nsn（）（3错位相减法：比如 , 21的 和求等 比等 差 n babaa例 1已知 ，求数列a n的前 n 项和 Sn.12nn例 2已知数列 ，求前 n 项和。)0()(,5,31思路分析：已知数列各项是等差数列 1，3，5，2n-1 与等比数列对应项积，可用错位相减法求和。解：120,na)2(5312nn aS 238当 nnn aaaSa )12(21)(:21 13nnna )()(2, 21时当21)1(aSnn2,San时4裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。1nknk )12(1)2(nn1na例 3.求和 )12(5342nSn思路分析:分式求和可用裂项相消法求和.解: )12(1)2(1)12()12( kkkkak 12)()()1()53()21 nnnnaSn 5分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。例 4、求和： 1232343565235nnS解： 12362nn 921531345nnn6合并求和法：例 5.求 的和。222978107倒序相加法：例 6.求 的和。sinisin3sin89
