《九、 平面一般力系平衡方程的其他形式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《九、 平面一般力系平衡方程的其他形式（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第九讲内容一、平面一般力系平衡方程的其他形式前面我们通过平面一般力系的平衡条件导出了平面一般力系平衡方程的基本形式，除了这种形式外，还可将平衡方程表示为二力矩形式及三力矩形式。1二力矩形式的平衡方程在力系作用面内任取两点 A、 B 及 X 轴，如图 413 所示，可以证明平面一般力系的平衡方程可改写成两个力矩方程和一个投影方程的形式，即(46)0BAMX式中 X 轴不与 A、B 两点的连线垂直。证明：首先将平面一般力系向 A 点简化，一般可得到过 A 点的一个力和一个力偶。若 成立，则力系只能简化为通过 A 点的合力 R 或成0平衡状态。如果 又成立，说明 R 必通过 B。可见合力 R 的作用
2、B线必为 AB 连线。又因 成立，则 ，即合力 R 在 X 轴0X0X上的投影为零，因 AB 连线不垂直 X 轴，合力 R 亦不垂直于 X 轴，由可推得 。可见满足方程（46）的平面一般力系，若将其向0XRA 点简化，其主矩和主矢都等于零，从而力系必为平衡力系。2三力矩形式的平衡方程在力系作用面内任意取三个不在一直线上的点 A、B、C，如图 414所示，则力系的平衡方程可写为三个力矩方程形式，即（47）0CBAM式中，A、B、C 三点不在同一直线上。同上面讨论一样，若 和 成立，则力系合成结果只A0BM能是通过 A、B 两点的一个力（图 414）或者平衡。如果 也成0C立，则合力必然通过 C
3、点，而一个力不可能同时通过不在一直线上的三点，除非合力为零， 才能成立。因此，力系必然是平衡力系。0M综上所述，平面一般力系共有三种不同形式的平衡方程，即式（45） 、式（46） 、式（47） ，在解题时可以根据具体情况选取某一种形式。无论采用哪种形式，都只能写出三个独立的平衡方程，求解三个未知数。任何第四个方程都不是独立的，但可以利用这个方程来校核计算的结果。【例 47】 某屋架如图 415（a）所示，设左屋架及盖瓦共重，右屋架受到风力及荷载作用，其合力 ， 与 BC 夹角kN31P kN72P2为 ，试求 A、B 支座的反力。80【解】 取整个屋架为研究对象，画其受力图，并选取坐标轴 X
4、轴和Y 轴，如图 415（b）所示，列出三个平衡方程 kN39.24.07cos 02APX 03tan470cos1in1621BA PYMkN34.51657.0342.794.072tancossin142BPPY 03tancossin1 6 022AB PPYMkN24.16t704i221校核 094.0734.52.sin21BAPY说明计算无误。【例 48】 梁 AC 用三根支座链杆连接，受一力 作用，kN50P如图 416（a ）所示。不计梁及链杆的自重，试求每根支座链杆的反力。【解】 取 AC 梁为研究对象，画其受力图，如图 416（b）所示。列平衡方程时，为避免解联立方程
5、组，最好所列的方程中只有一个未知力，因此，取 和 的交点 O 为矩心列平衡方程ARBkN2.37 68.054.026sin40co sinco CCO1 PRPM取 与 的交点 O2 为矩心列平衡方程BC 026sin460cos45cs0AO2 PRMkN9.21 7.)8.5.(6)0incos4(APR取 06cos45scs 0BA PRX kN37.17.5.09.2145o6 B PR校核0 86.052.30.137.921sin4sinsi CAPRRYB说明计算无误。3平面力系的特殊情况平面一般力系是平面力系的一般情况。除前面讲的平面汇交力系，平面力偶系外，还有平面平行力系
6、都可以看为平面一般力系的特殊情况，它们的平衡方程都可以从平面一般力系的平衡方程得到，现讨论如下。（1）平面汇交力系对于平面汇交力系，可取力系的汇交点作为坐标的原点，图 417(a)所示，因各力的作用线均通过坐标原点 O，各力对 O 点的矩必为零，即恒有。因此，只剩下两个投影方程0OM0 0YX即为平面汇交力系的平衡方程。（2）平面力偶系平面力偶系如图 417(b)所示，因构成力偶的两个力在任何轴上的投影必为零，则恒有 和 ，只剩下第三个力矩方程，但因为0Y力偶对某点的矩等于力偶矩，则力矩方程可改写为 0Om即平面力偶系的平衡方程。（3）平面平行力系平面平行力系是指其各力作用线在同一平面上并相互
7、平行的力系，如图 417（）所示，选 OY 轴与力系中的各力平行，则各力在 X 轴上的投影恒为零，则平衡方程只剩下两个独立的方程（48）0OMY若采用二力矩式（46） ，可得（49）0BA式中 A、B 两点的连线不与各力作用线平行。平面平行力系只有两个独立的平衡方程，只能求解两个未知量。【例 49】 图 418 所示为塔式起重机。已知轨距 ，机身重mb，其作用线到右轨的距离kN260G，起重机平衡重 ，其5.1ekN80Q作用线到左轨的距离 ，荷载 P 的作6a用线到右轨的距离 ， （1）试证明空2l载时（ 时）起重机时否会向左倾倒？0P（2）求出起重机不向右倾倒的最大荷载P。【解】 以起重机
8、为研究对象，作用于起重机上的力有主动力G、P、Q 及约束力 和 ，它们组成一个平行力系（图 418） 。ANB（1） 使起重机不向左倒的条件是 ，当空载时，取 ，0BN0P列平衡方程 )( 0AbeGaQM0kN5.23768)41(6BbeG所以起重机不会向左倾倒（2） 使起重机不向右倾倒的条件是 ，列平衡方程0AlPeGbaQNM)(1 0AB欲使 ，则需00)(lPebakN17.345.126)(8021GQlP当荷载 时，起重机是稳定的。二、物体系统的平衡前面研究了平面力系单个物体的平衡问题。但是在工程结构中往往是由若干个物体通过一定的约束来组成一个系统。这种系统称为物体系统。例如，
9、图示 419（a）所示的组合梁，就是由梁 AC 和梁 CD 通过铰 C 连接，并支承在 A、B、D 支座而组成的一个物体系统。在一个物体系统中，一个物体的受力与其他物体是紧密相关的；整体受力又与局部紧密相关的。物体系统的平衡是指组成系统的每一个物体及系统的整体都处于平衡状态。在研究物体系统的平衡问题时，不仅要知道外界物体对这个系统的作用力，同时还应分析系统内部物体之间的相互作用力。通常将系统以外的物体对这个系统的作用力称为外力，系统内各物体之间的相互作用力称为内力。例如图 419（b）的组合梁的受力图，荷载及 A、 B、D 支座的反力就是外力，而在铰 C 处左右两段梁之间的互相作用的力就是内力
10、。应当注意，外力和内力是相对的概念，是对一定的考察对象而言的，例如图 419 组合梁在铰 C 处两段梁的相互作用力，对组合梁的整体来说，就是内力，而对左段梁或右段梁来说，就成为外力了。当物体系统平衡时，组成该系统的每个物体都处于平衡状态，因而，对于每一个物体一般可写出三个独立的平衡方程。如果该物体系统有 个n物体，而每个物体又都在平面一般力系作用下，则就有 个独立的平衡方3程，可以求出 个未知量。但是，如果系统中的物体受平面汇交力系或平n3面平行力系的作用，则独立的平衡方程将相应减少，而所能求的未知量数目也相应减少。当整个系统中未知量的数目不超过独立的平衡方程数目，则未知量可由平衡方程全部求出
11、，这样的问题称为静定问题。当未知量的数目超过了独立平衡方程数目，则未知量由平衡方程就不能全部求出，这样的问题，则称为超静定问题，在静力学中，我们不考虑超静定问题。在解答物体系统的平衡问题时，可以选取整个物体系统作为研究对象，也可以选取物体系统中某部分物体（一个物体或几个物体组合）作为研究对象，以建立平衡方程。由于物体系统的未知量较多，应尽量避免从总体的联立方程组中解出，通常可选取整个系统为研究对象，看能否从中解出一或两个未知量，然后再分析每个物体的受力情况，判断选取哪个物体为研究对象，使之建立的平衡方程中包含的未知量少，以简化计算。下面举例说明求解物体系统平衡问题的方法。【例 410】 组合梁
12、受荷载如图 420(a) 所示。已知 kN,16P， ，梁自重不计，求支座 A、C 的反力。kN20Pm8【解】 组合梁由两段梁AB 和 BC 组成，作用于每一个物体的力系都是平面一般力系，共有 6 个独立的平衡方程；而约束力的未知数也是 6（A 处有三个，B 处有两个，C 处有 1 个）。首先取整个梁为研究对象，受力图如图 420（b）所示。 kN106cos 02APX其余三个未知数 、AY和 ，无论怎样选取投影轴和矩心，都无法求出其中任何一个，因此，AmCR必须将 AB 梁和 BC 梁分开考虑，现取 BC 梁为研究对象，受力图如图420（c）所示。 kN106cos 02BPX.8in
13、2CRMkN6.0si 02CBPY再回到受图 420（b） k98.65260sin4 050C12A ACmRmRMN.4si C21ACPY校核：对整个组合梁，列出0 86.28.016.24398.65sin- C21AB mRPYmM可见计算无误。【例 411】 钢筋混凝土三铰刚架受荷载如图 421（ a）所示，已知 ， ，求支座 A、B 和铰 C 的约束反力。kN/m16qk2P【解】 三铰刚架由左右两半刚架组成，受到平面一般力系的作用，可以列出六个独立的平衡方程。分析整个三铰刚架和左、右两半刚架的受力，画出受力图，如图（b） 、 （c） 、 （d）所示，可见，系统的未知量总计为六
14、个，可用六个平衡方程求解出六个未知量。（1）取整个三铰刚架为研究对象，受力图如图 421（b）所示kN7104816 60BBA PqYYM562 AA(a) 00BAXX（2）取左半刚架为研究对象，受力图如图 421（c）所示kN4181 00AC qYXM23 CYkN41 00ACXX将 值代入（a） ，可得AAB校核：考虑右半刚架的平衡，受力图如图 421（d）所示 01BCX084724BXYPM023-CBY可见计算无误。【412】 图 422（a）所示，在支架上悬挂着重 的重物，kN4PB、E 、D 为铰接，A 为固定端支座，滑轮直径为 300mm，轴承 C 是光滑的，其余尺寸如
15、图示。各杆和滑轮、绳子重量不计，求 A、B、C、D、E各处的反力。【解】：本结构中，DE 为二力杆，因此 D、E 处铰链反力有 1 个未知量；A 为固定端支座有 3 个未知的约束反力； B、C 处铰链反力各有 2 个未知量；滑轮两边的绳子拉力各有 1 个未知量；共 10 个未知量。考虑到AB、BC 和滑轮三个构件处于平衡，其可写 9 个平衡方程；再加上重物在二力作用下处于平衡，可有 1 个平衡方程。平衡方程的数目恰好等于未知量的数目。取整个结构为研究对象， （图 422（b） ）列平衡方程0 AXkN4 0PYA6.815.2 0AmM考虑重物的平衡（图 422（e） ）根据二力平衡公理知kN1PT考虑滑轮的平衡（图 422（d） ） ，列平衡方程 k4 015.0012CTM可见，在不计轴承摩擦的情况下，滑轮处于平衡时，其两边绳子的拉力相等。 kN83.245cos 002CTX.6sin 21CY再考虑 BC 杆的平衡
