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1、典型例题一例 1讨论 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征19252kyx分析：由于 ， ，则 的取值范围为 ， ， ，分别9k25k进行讨论解：（1）当 时， ， ，所给方程表示椭圆，此时 ，k0k9ka25， ，这些椭圆有共同的焦点（4，0） ， （4，0） b92 1622bac（2）当 时， ， ，所给方程表示双曲线，此时，5， ， ，这些双曲线也有共同的焦点（4，0） ， ）ka5k92 1622bac（4，0） （3） ， ， 时，所给方程没有轨迹说明：将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系，不妨取一些 值，k画出其图形，体会一下几何图形所带给人们的美感典型例题二例 2
2、根据下列条件，求双曲线的标准方程（1）过点 ， 且焦点在坐标轴上4153，P536，Q（2） ，经过点（5，2） ，焦点在 轴上6cx（3）与双曲线 有相同焦点，且经过点14yx23，解：（1）设双曲线方程为2nm 、 两点在双曲线上，PQ 解得12596nm96所求双曲线方程为 1962yx说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的（2）焦点在 轴上， ，x6c设所求双曲线方程为： （其中 ）12y60双曲线经过点（5，2） ， 645 或 （舍去）30所求双曲线方程是 152yx说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉（3）设所求双曲线方程为： 16041622
3、yx双曲线过点 ，23， 8 或 （舍）4所求双曲线方程为 182yx说明：（1）注意到了与双曲线 有公共焦点的双曲线系方程为462后，便有了以上巧妙的设法4622yx（2）寻找一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面典型例题三例 3 已知双曲线 的右焦点分别为 、 ，点 在双曲线上的左支上且1692yx1F2P，求 的大小21PF21PF分析：一般地，求一个角的大小，通常要解这个角所在的三角形解：点 在双曲线的左支上 621 3621PFPF 10221PF 422bac o91说明：（1）巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中，使问题得以简单化（
4、2）题目的“点 在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若P将这一条件改为“点 在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索典型例题四例 4 已知 、 是双曲线 的两个焦点，点 在双曲线上且满足1F2142yxP，求 的面积o9021PF21P分析：利用双曲线的定义及 中的勾股定理可求 的面积21 21F解： 为双曲线 上的一个点且 、 为焦点42yx12 ,21aPF521c o90在 中，21Rt201221FP 62FP 6021 12211PFSPF说明：双曲线定义的应用在解题中起了关键性的作用典型例题五例 5已知两点 、 ，求与它们的距离差的绝对值是 6 的点的轨迹051，
5、F2，分析：问题的条件符合双曲线的定义，可利用双曲线定义直接求出动点轨迹解：根据双曲线定义，可知所求点的轨迹是双曲线 ，5c3a 164222b所求方程 为动点的轨迹方程，且轨迹是双曲线169yx说明：（1）若清楚了轨迹类型，则用定义直接求出其轨迹方程可避免用坐标法所带来的繁琐运算（2）如遇到动点到两个定点距离之差的问题，一般可采用定义去解典型例题六例 6在 中， ，且 ，求点 的轨迹ABC2ABCsin21isn分析：要求点 的轨迹，需借助其轨迹方程，这就要涉及建立坐标系问题，如何建系呢？解：以 所在直线为 轴，线段 的中垂线为 轴建立平面直角坐标系，则xy， 01，B，C设 ，由 及正弦定
6、理可得：yxA， ABsin21isn21 BC点 在以 、 为焦点的双曲线右支上设双曲线方程为：012babyx， ， c ， 4322ab所求双曲线方程为 12yx 01ACB 2x点 的轨迹是双曲线的一支上挖去了顶点的部分典型例题七例 7求下列动圆圆心 的轨迹方程：M（1）与 内切，且过点22yxC： 02，A（2）与 和 都外切11： 412yxC：（3）与 外切，且与 内切932yx： 322：分析：这是圆与圆相切的问题，解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键线段，即半径与圆心距离如果相切的 、 的半径为 、 且 ，则当它们外切时，121r221r；当它们内切时， 解题中要注意灵活运
7、用双曲线的定义求212rO1O出轨迹方程解：设动圆 的半径为Mr（1） 与 内切，点 在 外1CAC ， ，2rr2M点 的轨迹是以 、 为焦点的双曲线的左支，且有：， ，2ac272acb双曲线方程为 12xyx（2） 与 、 都外切M1C2 ， ，1rr2点 的轨迹是以 、 为焦点的双曲线的上支，且有：2C1， ，21ac43acb所求的双曲线的方程为： 342yxy（3） 与 外切，且与 内切M1C2 ， ，31rMC12r421MC点 的轨迹是以 、 为焦点的双曲线的右支，且有：1C， ，2a3c522acb所求双曲线方程为： 1542xyx说明：（1） “定义法”求动点轨迹是解析几何
8、中解决点轨迹问题常用而重要的方法（2）巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减小，提高了解题的速度与质量（3）通过以上题目的分析，我们体会到了，灵活准确地选择适当的方法解决问题是我们无休止的追求目标典型例题八例 8在周长为 48 的直角三角形 中， ， ，求以MPN9043tanPMN、 为焦点，且过点 的双曲线方程MN分析：首先应建立适当的坐标系由于 、 为焦点，所以如图建立直角坐标系，可知双曲线方程为标准方程由双曲线定义可知 ， ，所以利2c用条件确定 的边长是关键P解： 的周长为 48，且 ，MPN43tanPMN设 ， ，则 k3k4k5由 ，得 854 ， ， 12620以 所在直线为
9、轴，以 的中点为原点建立直角坐标系，设所求双曲线方程NxN为 2byax)0,(ba由 ，得 ， ， 4PM2a42由 ，得 ， 20MNc10由 ，得所求双曲线方程为 96ab 19642yx说明：坐标系的选取不同，则又曲线的方程不同，但双曲线的形状不会变解题中，注意合理选取坐标系，这样能使求曲线的方程更简捷典型例题九例 9 是双曲线 上一点， 、 是双曲线的两个焦点，且 ，P13642yx1F2 17PF求 的值2F分析：利用双曲线的定义求解解：在双曲线 中， ， ，故 13642yx8a6b10c由 是双曲线上一点，得 P21PF 或 12F2又 ，得 ac32说明：本题容易忽视 这一条
10、件，而得出错误的结论acPF或 12PF32典型例题十例 10若椭圆 和双曲线 有相同的焦点12nymx)0(12tysx)0,(ts和 ，而 是这两条曲线的一个交点，则 的值是( ) 1F2P21PFA B C Ds)(2s2ssm分析：椭圆和双曲线有共同焦点， 在椭圆上又在双曲线上，可根据定义得到 和1PF的关系式，再变形得结果2PF解：因为 在椭圆上，所以 PmPF21又 在双曲线上，所以 s2两式平方相减，得 ，故 选(A)(441 sPF21说明：(1)本题的方法是根据定义找 与 的关系(2)注意方程的形式， ，1PF2 m是 ， ， 是 s2ant2b典型例题十一例 11 若一个动
11、点 到两个定点 、 的距离之差的绝对值为定),(yxP)0,1(A),(1值 ，讨论点 的轨迹a)0(分析：本题的关键在于讨论 因 ，讨论的依据是以 0 和 2 为分界点，应讨a21论以下四种情况： ， ， ， ),0(a解： 21A(1)当 时，轨迹是线段 的垂直平分线，即 轴，方程为 0a1Ay0x(2)当 时，轨迹是以 、 为焦点的双曲线，其方程为 21 1422ay(3)当 时，轨迹是两条射线 或 a)(0xy)1(0xy(4)当 时无轨迹2说明：(1)本题容易出现的失误是对参变量 的取值范围划分不准确，而造成讨论不全面a(2)轨迹和轨迹方程是不同的，轨迹是图形，因此应指出所求轨迹是何
12、种曲线典型例题十二例 12如图，圆 与 轴的两个交点分别为 、 ，以 、 为焦点，坐42yxAB标轴为对称轴的双曲线与圆在 轴左方的交点分别为 、 ，当梯形 的周长最大CDC时，求此双曲线的方程分析：求双曲线的方程，即需确定 、 的值，而 ，又 ，所以只ab42c22ba需确定其中的一个量由双曲线定义 ，又 为直角三角形，故只需BCAA在梯形 的周长最大时，确定 的值即可ABCD解：设双曲线的方程为 ( )， ( ， )，12bxay0,b),0yx0y( )tB20连结 ，则 AC90B作 于 ，则有 EABEC2 ，即 4)2(0yt 40t梯形 的周长ABD02ytl即 1)(821tl
13、当 时， 最大tl此时， ， BC3A又 在双曲线的上支上，且 、 分别为上、下两焦点，B ，即 a22 ，即 13a34 22cb所求双曲线方程为 1324xy说明：解答本题易忽视 的取值范围，应引起注意BC典型例题十三例 13 、 、 是我方三个炮兵阵地， 和 正东 6 千米， 在 正北偏西 30，ABCABCB相距 4 千米， 为敌炮阵地，某时刻 处发现敌炮阵地的某种信号，由于 、 两地比P距 地远，因此 后， 、 才同时发现这一信号，此信号的传播速度为 1 ，s4 skm若炮击 地，求炮击的方位角分析：点 到 、 距离相等，因此点 在线段 的垂直平分线上又P，因此 在以 、 为焦点的双曲线的右支上由交轨法可求 的坐标，PABBAP进而求炮击的方位角解：如图，以直线 为 轴，线段 的中垂线为 轴建立坐标系，则BAxBAy、 、 )0,3(B),()32,5(C因为 ，所以点 在线段 的垂直平分线上P因为 ， 中点 ，所以直线BCk),4(D)(31xyD：又 ，故 在以 、 为焦点的双曲线右支上4PAAB设 ，则双曲线方程为 ),(yx1542yx)0(x联立、式，得 ， 所以 因此833,8P385PAk故炮击的方位角为北偏东 0说明：空间物体的定位，一般先利用声音传播的时间差建立双曲线方程，然后借助曲线的交轨来确定这是解析几何的一个重要应用
