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1、余弦定理的推广与证明张建云（数学与计算机信息技术学院 07 数转本班）摘要 本文首先从多种角度研究余弦定理的证法，然后 再利用初等几何、高等几何和三角函数的方法，把余弦定理推广到四边形、四面体、多边形和多面体中去，得到了有意义的结果；以空间解析几何中的矢量为工具，通过简单的计算就可以把上述的结果作进一步的推广。关键词 余弦定理；单位向量；三角形的外接圆；三角形的高线；三角形的面积；两角和的余弦公式；矢量的混合积；拉格朗日恒等式一、余弦定理的证明1、利用向量证明如图（1） ABCQ2)(22即 2 )180cos(caCab变形后得 bos22同理可证BacbAas222、利用复数证明如图（2）
2、,建立平面直角坐标系.在复平面内,过点 A 作 BC 的平行线,过点 C 作 AB 的平行线,交于点 D. 22 222)cos()sins( ii()cs)s()oincobCAac bCaciaACDBQ即 Bb同理可证 abcAcos223、利用ABC 的高线证明(I)如图（3）,在ABC 中,过点 B 作 BD AC,垂足为 D.bDCAaBc22Q解上面方程组得 bcacbaBDc224422 ccAcos 22即 Abaos22同理可证 CacBc224.利用两角和的余弦公式证明(I)如图（3）,在ABC 中,过点 B 作 BD AC,垂足为 D.caDCABCBDACADBC2
3、sinsicoss)(cos把方法 3 中求出的 AD、DC、BD 分别代入上式,得acbcabcabcbABC2 2242cos 442 即 Bbos2同理可证 CabcAcaos225、利用两角和的余弦公式证明(II)如图（3）,在ABC 中,过点 B 作 BD AC,垂足为 D.caDCABCBDACADBC2 sinsicoss)(cosDDCABA 2 )()()( 2222QcabABCbacAC2cos 222即 Bbos2同理可证 CabcAc226、利用ABC 的高线证明(II)如图（3）,在ABC 中,过点 B 作 BD AC,垂足为 D.caCDABBCAABC2sinc
4、os)(180cos以下过程,用方法 4 的后半部分或方法 5 的后半部分都行.7、利用ABC 的高线证明(III)如图（3）,在ABC 中,过点 B 作 BD AC,垂足为 D.cbDCAABDCB22)(cos DCB 2 )()()( 2222Q222abcBCADCA即cba2cosAacos同理可证 CbBcos22本题中,当计算得到 时,还可以把方法 3 中得到的结论代入.化简后cDAcos可得 同样可以证明出余弦定理.baA2cos研究数学问题,在许多情况下,入手角度灵活多样,相应的解决方法也是丰富多彩.正弦定理和余弦定理的证明过程,就最能体现出数学方法的灵活性和多样性.二、余弦
5、定理在四边形中的推广在ABC 中,设内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,余弦定理(1)acbB2cos是我们所熟悉的.笔者在文1中给出了余弦定理在四面体的推广,注意到文2-3中给出了余弦定理在四边形的推广,本文试给出余弦定理在四边形的另一新颖推广,使得三角形的余弦定理成为该推广式极限情形的一个特例.定理记凸四边形 ABCD的四边长依次为 AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,两对角线长 AC=p,BD=q,则(2) abcdpqDB2)()(cos( 2证明如图,设两对角线交角为,p,q 分别由 p1,p2与 q 1,q2组成.由余弦定理得cdpBbaos22两式相减得（）Dcdabo
6、s122设四边形面积为 S,则（）sinD cdiB abs(3)(4)两式平方和得（5）)cos(2)()(412222 DBabdac同时,由四边形面积公式 sin pq=则 （6）22i)(4由三角形余弦定理 cos2112qpba两式相减得 1212a同理 cos22pqcd上两式相加得 s22ab即 （）22cos)(41pqcd由(6)(7)相加得（8）2222 )(abs综合式(5)(8)即得 )cos()()(222 DBbdcpq整理即得式(2)成立.定理证毕. 特别地,类似直角三角形,我们在四边形中取 B+D为 或 这一特殊值,得23推论 1在四边形 ABCD中,若 ，则有
7、23或DB（）222)()(pqbdac式(9)形式上类似直角三角形的勾股定理.取 ，注意到此时四边形为圆内接四边形,得DB推论 2在圆内接四边形 ABCD中,两对角线之积等于两组对边积的和,即（10）pqbdac注意到 ，于是由式(3)推得1)os(推论 3在四边形 ABCD中有不等式 （11）pqbdac当且仅当 ，即四边形 ABCD为圆内接四边形时式(11)中等号成立.DB图5图qdc baDC BA最后,我们证明式(1)是(2)取 D点在 A C上这一极限情形(如图（5）所示,四边形蜕化为三角形)的特例.当 D点在 AC上时, 则,ADBdcpcos22qcbda上两式分别乘 c,d后
8、相加得 )(22dda即 cbcq2代入式(2)有 abcdcdacB2)()()cos( 22 化简(12)BCAabdcB2)(cos22即为三角形的余弦定理式(1).三、余弦定理在四面体中的推广余弦定理在ABC 中,设内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,则 (1)Bacbos22文1给出了余弦定理在四面体的一个推广如下:定理 1在任意四面体中,它的一个面的面积的平方,等于其他三个面的面积的平方和,减去这三个面中每个面的面积与它们所夹二面角的余弦的积的和的两部.文2给出了余弦定理在四边形的一个推广如下:定理 2设凸四边形 ABCD的四边长依次为 AB=a,BC=b,CD=c,DA=d
9、,两对角线长 AC=p,BD=q,则(2)cos(2)()(2 DBabdacpq本文给出余弦定理在四面体的一个有别于定理 1的推广,使得定理 2为该推广的一个特例.定理 3对任意四面体 ABCD,记 AB=a, BC=b,CD=c,DA=d,AC=p,BD=q,二面角 D-AC-B为 , ABC=u, CDA=v 则(3)cosinsco(2)()(22 vuabdacpq为证明定理 3,先给出如下引理引理在三面角 中,三个面角 ,记二面角1CBAS 111,SBACSB为 ,则 . (4)11Bsincocos1图(6) C1B1A1RQPS引理的证明如图（6）,在 上任取一点 P, 过点
10、 P 作 的垂面分别交 , 与 R,Q 点, 1SA1SA1SBC连结 RQ, 为二面角 为二面角角, ,在RQP, SRQ 中应RPQ1CRQ用余弦定理,并注意到SRP, SQP,为直角三角形,有sincococos2coscos2221PQRSSPQRSRSP(4)式得证.图(7)DCBA定理 3的证明如图（7）,应用引理,有 CABDAsinsicoccos即.cossinsiCABDB对上式左边应用余弦定理,右边应用正弦定理,得,i222 2vupbcapdcadq整理得(5)cosins4)(2222222vuabcd dbcadqp 分别在ABC 和ADC 中应用余弦定理,有 vc
11、ps22于是,即)(sin4 222222 pdcbapdbcdauabcd (6)vuabcdcbdacpdcbap sin4)( 222222 将(6)式代入(5)式,整理得.)osinso()()(222 vubq(3)式得证.若 ABCD是平面凸四边形,此时,B,D 在 AC所在的直线的异侧,视二面角 D-AC-B的平面角为 ,代入(3)式,有. (7)cos(2)()(22 vuabdacpq(7)式即为(2)式,故定理 2 是定理 3 的极限情形的一个特例,又余弦定理是定理 2 的一个特例,所以定理 3 是余弦定理的推广.仔细观察(3)式,我们得到下列有趣的推论. 应用定理 3,显
12、然有推论 1 对空间中四点 A,B,C,D,记号同定理 3,则.)cos(2)cos(2222 vuabdcafevuabdca 推论 2 对空间中四点 A,B,C,D,记号同定理 3,则 A,B,C,D 在一个平面上,当且仅当)(2fe或 )cos(222 vuabdcaf 推论 3(托勒密不等式)对空间中四点 A, B,C,D,记号同定理 3,有 bdacefbdac四、余弦定理在 n（n 5）边形中的推广1 提出凸 n 边形(n 5) 余弦定理图8图1 A3A2A1 a3a 2a1我们知道,三角形余弦定理描述的结论是:已知 的两条边 = 、 = ，321A21a32A它们的夹角为 (图（
13、8）)，则第三条边 的平方 = + -2 cos .13aa2a42 A4图9图1 A3A2A1 a3a 2a1将此结论类比到凸四边形,我们便有凸四边形余弦定理如下(参见1): 已知四边形的三条边依次为 = , = , = ,它们所夹的两个内角依次为 ,4321 21a324A3a1(如图（9）), 则第四条边 = + + -2 cos -2 cos +2 cos( +4121221a3).2 n-2an AnAn-1An-2an-1an-22A4图10图1A3A2A1 a3a 2a1将上述结论类比到凸 n 边形(n5),可猜想有凸 n 边形(n5) 余弦定理如下:已知凸 n 边形(n5) 的
14、 n-1 条边依次为 = , = , = , = , n.321 21a32A43aA11a且知道它们所夹的 n-2 个内角依次为 , , , (图（10）),则第 n 条边 的平方n. 1 11122 ).cos()(nji jiijijni aa 2 证明凸 n 边形(n5)余弦定理在图(10)的基础上将凸 n 边形(n5) 的各边都看成平面向量,显然 ,121aA , , 而 与 的夹角232aA 11 nAa 1iA 1jA).()() ,., 11 1132221111 jii ji AAAj jjjiiiiji 其中 1ijn-1.于是,由向量求和的多边形法则,得 11 112112222 ).cos()( ) ,cos)( ).)( 11111 11132211ni nji jiijijiiji jiijii AAAni njiAAi jiAAAAn aaa jijii jii nn 五、余弦定理子 n 面体中的推广（凸多面体的余弦定理
