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1、1解析几何高考试题的特点及复习策略解析几何是高中数学教学的重要内容，也是历年高考考查的重点内容之一，这部分内容共有 19 个知识点，它充分体现了解析几何在数与形相互转化的数学思想，展示了解析几何在计算方法上的特点和技巧，表现出辩证思维的丰富内涵。近几年来，高考解析几何试题一直稳定在三（或二）个选择题，一个填空题，一个解答题上，分值约为 30 分左右， 占总分值的 20%左右。而有关圆锥曲线的试题占解析几何总分值的三分之二，约占全卷总分的 13%，这部分试题重在考查圆锥曲线中的基本知识和基本方法，同时也有一定的综合性和灵活性，一般是以圆锥曲线中有关的知识和方法为主线，结合解析几何中其它部分的知识
2、、平面几何及平面向量、函数与方程、不等式、数列、三角函数等有关知识和方法的综合问题.一、高考内容及要求：（摘自 2004 年高考考试说明 ）直线和圆的方程考试内容：直线的倾斜角和斜率、直线方程的点斜式和两点式、直线方程一般式、两条直线平行与垂直的条件、两条直线的交角、点到直线的距离、用二元一次不等式表示平面区域、简单的线性规划问题、曲线与方程的概念、由已知条件列出曲线方程、圆的标准方程和一般方程、圆的参数方程。考试要求：（1）理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程；（2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的
3、角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系；（3）了解二元一次不等式表示平面区域；2（4）了解线性规划的意义，并会简单的应用；（5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法；（6）掌握圆的标准方程和一般方程，理解圆的参数方程。圆锥曲线方程考试内容：椭圆及其标准方程、椭圆的简单几何性质、椭圆的参数方程、双曲线及其标准方程、双曲线的简单几何性质、抛物线及其标准方程、抛物线的简单几何性质。考试要求：（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程；（2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质；（3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质；（4
4、）了解圆锥曲线的初步应用。二、近四年高考试题的特点（以理工类新课程版数学试题为例）1、知识点与题型的对照：选择题 填空题 解答题类 别年份题 号 知识点分 值题 号 知识点分 值题 号 知识点分 值题 号 知识点分 值题 号 知识点分 值2000天津卷8抛物线方程（5 分）10圆的切线方程（5 分）11直线与抛物线的交点问题（ 5 分）14椭圆的性质、余弦定理、不等式（求参数范围）（4 分）22坐标法、双曲线的概念、性质、定比分点、平面几何比例的性质，函数、方程及不等式的综合（14 分）2001天津卷3圆的方程 6直线方程10直线与抛物线的交点(向量的数量积)21 坐标法、双曲线方程和解方程组
5、、积分 12 分22 坐标法、曲线的交点和三角函数性质等基础知识 （14 分）3（5 分） （5 分） （5 分）2002天津卷1圆的参数方程（5 分）10向量与直线方程（5 分）14椭圆方程，焦点坐标（4 分）21向量、求轨迹方程，三角函数求值（12 分）2002江苏卷2圆心到直线的距离（5 分）10圆和直线的极坐标方程、图像（5 分）13椭圆方程（4 分）20双曲线、直线方程、平面几何的四点共圆（12 分）2003江苏卷2抛物线的准线方程（5 分）5平面向量、动点轨迹（5 分）10直线与双曲线（5 分）11解析几何、三角、不等式知识的应用（5 分）20向量、求轨迹的方法、椭圆方程及性质、利
6、用方程判定曲线的性质、曲线与方程的关系 (12分)2003安徽卷4平面向量、动点轨迹（5 分）7曲线的切线、直线的斜率与倾斜角（5 分）9直线与双曲线（5 分）10解析几何、三角、不等式知识的应用（5 分）21 向量、求轨迹的方法、椭圆方程及性质、利用方程判定曲线的性质、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力（探索性问题）(12 分)2、试题的特点（1）要求全面，重点突出：考试说明中解析几何部分原有 33 个知识点，现缩为 19 个知识点，一般考查的知识点超过 50。如 2003 年文科试题考查了 10 个知识点，理科试题考查了 11 个知识点，其中对直线、圆、圆锥曲线知识的考查几
7、乎4没有遗漏，通过对知识的重新组合，考查时既注意全面，更注意突出重点， 对支撑解析几何知识体系的主干知识，考查时保证较高的比例并保持必要的深度。近四年新课程版高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几种类型： 求曲线方程或动点轨迹（类型确定或类型未定） ； 直线与圆锥曲线的交点问题（含切线问题） ；与曲线有关的最（极）值问题； 与曲线有关的几何证明(对称性或求对称曲线、平行、垂直)；探求曲线方程中几何量及参数间的数量特征。（2）能力立意，灵活考查：高考数学科提出“以能力立意命题” 、 “有利于从不同层面对理性思维能力进行全面而又灵活的考查” ，综观近几年新课程高考数学试卷解析几何部分试题，不难看
8、出在突出知识主干的同时，加大考查数学理性思维能力的力度。如 2000 年天津卷第（22）题，以梯形为背景，将双曲线的概念、性质与坐标法、定比分点的坐标公式、离心率等知识融为一体，有很强的综合性，重点考查了解析几何的基本思想和基本方法；再如 2003 年安徽卷理科选择题中的第（4）题和第（10）题，看似平常，实际上是以考查分析、处理和解决问题的综合能力，如果只机械地依靠知识，则会被纠缠住，百思不得其解或得出错误答案而不觉。也正因为像这些虽是常见的基本题型，但思维量增大、综合性加大，灵活性较大的题目较早地出现在选择题和填空题中，影响了考生的情绪和耗去了过多时间，使许多学生难以有充分的时间去完成试卷
9、，不无遗憾。而如果对问题理解较好并把握住问题的实质，灵活地运用数学思想方法就可以很快地确定答案。（3）题型新颖，位置不定：近几年解析几何试题的难度虽有所下降，且解答题未必处于压轴题的位置，计算量有所减少（有时未必） ，但思维量增大、综合性增强，加大与相关知识的联系与整合（如向量、函数、方程、不等式、导数等） ，同时试题的情景设置新颖、设问独特，凸现教材中研究性学习的能力要求，加大探索性题型的份量。如 2003 安徽卷理第（21）题具有较强的综合性，而且综合自然，陈述简明流畅，内涵丰富，形态鲜活，为历年高考试题所未见，在试题的设计上，采用“以能力立意”的命题思想，创设了新颖的情景，提出探索的问题
10、，强化能力考查，着重考查知识和技能应用的迁移潜质。53、试题的启示（1）立足基础，突出能力：这是多年来数学高考命题的基本思路，也是高中数学教学的基本原则，解析几何以坐标法为基础，建立用代数方法研究几何问题的知识体系，各种数学思想和方法在解析几何中都有集中和深刻的体现，也是数学高考的考查重点。例 1 【2001 天津（3） 】过点 A（1，1） 、 B（1，1）且圆心在直线 x+y 2=0 上的圆的方程是（A） （B）41224322yx（C） （D）本题答案为（C） ，得到正确选项的方法多种多样，可以通过圆的标准方程或一般方程利用待定系数法，但是如果注意到圆上两点的坐标并结合圆的几何性质，可得
11、圆心又在直线 y=x上，从而立即得解，这也是我们在平时训练中要注意加强的。（2）强化应用意识，倡导理性思维：普通高中数学教学大纲指出：“高中数学对于培养学生的创新意识和应用意识，认识数学的科学和文化价值，形成理性思维有积极作用。 ”并且把数学的学科能力归纳为：数学地提出问题、分析问题和解决问题的能力，数学探究能力，数学建模能力，数学交流能力，数学实践能力，数学思维能力。教育部考试中心也指出：数学是思维学科，主要是理性思维，包括：从数和形的角度观察事物，提出有数学特点的问题（如存在性、唯一性、不变性、充要性等）例 2 【2003 全国 21】 （本小题满分 14 分）已知常数 ，在矩形 ABCD
12、 中，AB=4，0aBC=4 ，O 为 AB 的中点，点 E、F、G 分别在 BC、CD、DA 上移动，且 ，P 为 GE 与 OF 的交点DACB（如图） ，问是否存在两个定点，使 P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由。分析: 题中点 E、F、G、P 都在运动， 其中点 P 是由于点E、F、G 的运动而生成， 通过设立定比比值为 ， 求出动点E、F、G、P 的坐标，消去参数 ， 就可以得到动点 P 的轨迹方P D C O A B E G F 6程。 例 3 【2003 安徽 21】 （本小题满分 12 分）已知常数 0a，向量 ， 。经过原点
13、O 以 为方向向量的直线与),0(acr)0,1(ir icr经过定点 以 为方向向量的直线相交于点 P,其中 。Acr2 R试问：是否存在两个定点 E、F 使得 为定值。若存PF在，求出 E、F 的坐标，若不存在，说明理由。分析：根据题设条件，首先求出点 P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点 P 到两定点距离的和为定值这两道题的主体是相同的，以存在性和不变性为主要内容，区别在于情景设置和称述方式。题目中都有“动点到两个定点距离之和为定值”的明确提示，从而为考生的思考提供了有利条件，既考查了基础知识，又具有一定的探索性，试题所倡导理性思维的意向是很明确的，值得我们在教学中予以关
14、注。（3）高考考查不回避解析几何的重点问题和热点问题热点之一：圆锥曲线的定义 圆锥曲线定义是其一切几何性质的“根”与“源” ，是建立曲线方程的基础，揭示了圆锥曲线上的点与焦点及准线间的关系，是解几综合题的重要背景。热点之二：函数与方程的思想 函数与方程的思想是贯穿于解析几何的一条主线，很多解几综合题往往都是以最值问题或圆锥曲线的基本量的求解为依托，通过转化，运用函数与方程的思想加以解决。 热点之三：与圆锥曲线有关的轨迹问题 解析几何的核心就是用方程的思想研究曲线，用曲线的性质研究方程。轨迹问题正是体现这一思想的重要形式。如理（21） （文（22） ）题在考查了平面向量的概念和计算的基础上，重点
15、考查了求轨迹的方法以及曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力。 三、2004 年高考复习建议与策略（一）复习中要充分注意课本的基础作用和示范作用高考试题年年变，但“命题应更加注重开发教材，研究教材，挖掘知识的考查价值和功能，更充分地发挥教材的功能，7支持课程教材的改革” ，命题的依据是考试说明这一考纲，要以此为根本，弄清高考的知识点及对基础知识与能力的要求，这中间实质性的工作就是钻研大纲和教材。综观近四年的高考数学试卷，相当数量的基本题都来源于教材，选择题与填空题一般直接来源于课本，往往是课本的原题或变式题，解答题的生长点也是课本，往往是解析几何基础知识的加工、整合与发展，充分表现
16、出教材的基础作用和示范作用。所以在复习阶段应把各个知识点按照一定的规律和方法加以整理，形成知识体系；要熟悉教材并精通课本，注意提炼重要例题和习题所反应的相关数学知识的本质属性以及蕴含着的数学思维方法和思想精髓，并对这类数学问题进行类比、延伸、迁移、拓广，提出新的问题并加以解决；要把握住“变”中的“不变” ，切实贯彻“源于课本，高于课本”的原则，发挥教材的扩张效应。（二）复习中要突出“曲线与方程”这一重点内容解析几何有两个主要问题：一是由曲线求方程，二是由方程研究曲线，复习时要突出这两个主题。1、要掌握求曲线方程的思路和方法求曲线方程的方法有多种，但其思路的实质都是根据曲线上点适合的共同条件找出动点的坐标 x 和 y 之间的关系式。常见的求曲线方程的类型有两种：一种是曲线形状明确且便于用标准形式表示，这时可用待定系数法求其方程；一种是曲线形状不明确或不便
