1第一篇结构的力学计算模型 2几 何 组 成 分 析【 内 容 提 要 】本 章 简 要 介 绍 刚 片 、自 由 度 与 约 束 等 基 本 概 念 ，重 点 介 绍 几 何 不 变 体 系 的基 本 组 成 规 则 体 系 的 几 何 组 成 分 析 是 判 定 体 系 能 否 作 为 建 筑 结 构 使 用 的 依 据 ，又 是 结 构 计 算 的 前 提 条 件 通 过 几 何 组 成 分 析 可 以 确 定 静 定 结 构 计 算 途 径 ，也可 以 确 定 超 静 定 结 构 的 多 余 约 束 数 目 等 学 习 目 标 】1. 理解几何不变体系和几何可变体系的概念，了解几何 组 成分析的目的2. 了解刚片、自由度与约束的概念3. 掌握几何不变体系的基本组成规则，并能熟 练运用二刚 片规则、三刚片规则以及二元体规则对结构几何组成进行分析4. 理解体系的几何组成与静定性的关系，能正确区分静定 结构与超静定结构5. 掌握梁、刚架、桁架、组合结构和拱等平面杆件结构的受力特点§1 概述1－1 分析几何组成的目的（a） （b）图 1-60建筑结构是由杆件通过一定的连接方式组成的体系，在荷载作用下，只要不发生破坏，它的形状和位置是不能改变的。
那么杆系怎样的连接方式才能成为结构？杆系通过不同的连接方式可以组成的体系可分为两类一类是几何不变体系，即体系受到任意荷载作用后，能维持其几何形状和位置不变的，则这样的体系称为几何不变体系如图 1-60（a）所示的体系就是一个几何不变体系，因为在所示荷载作用下，只要不发生破坏，它的形状和位置是不会改变的；另一类是由于缺少必要的杆件或杆件布置的不合理，在任意荷载作用下，它的形状和位置是可以改变的，这样的体系则称为几何可变体系，如图 1-60（b）所示因为在所示荷载作用下，不管 P 值多么小，它都不能维持平衡，而发生了形状改变结构是用来承受荷载的体系，如果它承受荷载很小时结构就倒塌了或发生了很大变形，就会造成工程事故故结构必须是几何不变体系，而不能是几何可变体 3系我们在对结构进行计算时，必须首先对结构体系的几何组成进行分析研究，考察体系的几何不变性，这种分析称为几何组成分析或几何构造分析对体系进行几何组成分析的目的：（1）检查给定体系是否是几何不变体系，以决定其是否可以作为结构，或设法保证结构是几何不变的体系2）在结构计算时，还可根据体系的几何组成规律，确定结构是静定的还是超静定的结构，以便选择相应的计算方法。
1－2 平面体系的自由度及约束判断一个体系是否几何不变，需要先了解体系运动的自由度，了解刚片和约束的概念一、刚片所谓刚片，是指可以看作刚体的物体，即物体的几何形状和尺寸是不变的因此，在平面体系中，当不考虑材料变形时，就可以把一根梁，一根链杆或者在体系中已经肯定为几何不变的某个部分都看作是一个刚片同样，支承结构的地基也可看作一个刚片，如图 1-61 所示图 1-61二、自由度在进行几何组成分析时，涉及到平面体系运动的自由度所谓平面体系的自由度，是指该体系运动时可以独立变化的几何参数的数目，即确定体系的位置所需的独立坐标的数目图 1-62 （1）一个动点在平面内的位置，可用在选定的坐标系中的两个独立坐标 x 和 y 来确定所以其自由度是 2如图 1-62（a）中 A 点在参考坐标系中的位置需要 x 和 y 两个坐 4标确定2）一个不受约束的刚片，要确定其在平面上的位置，只要确定刚片上任意一点 A的位置以及刚片上过 A 点的任一直线 AB 的位置，确定 A 点的位置需要两个坐标 x、 y，确定线段 AB 的方位还需要一个坐标口因此，总共需要三个独立坐标，即刚片的自由度是 3，如图 1-62（b）。
一般说来，一个体系如果有几个独立的运动方式，就说这个体系有几个自由度工程结构必须都是几何不变体系，故其自由度应该等于零或小于零凡是自由度大于零的体系都是几何可变体系三、约束使非自由体在某一方向不能自由运动的限制装置称为约束实际结构体系中各构件之间及体系与基础之间是通过一些装置互相连接在一起这些对刚片运动起限制作用的连接装置也统称为约束约束的作用是使体系的自由度减小不同的连接装置对体系自由度的影响不同常用的约束有链杆、铰和刚结点这三类约束对一个具有自由度的刚片，当加入某些约束装置时，它的自由度将减少凡能减少一个自由度的装置称为一个约束1、链杆约束 如图 1-63 所示，用一链杆将一刚片与基础相连，刚片将不能沿链杆方向移动，因而减少了一个自由度，所以一根链杆相当于一个约束2、铰（1）单铰：联结两个刚片的圆柱铰称为单铰如图 1-64 所示，用一单铰将刚片I、Ⅱ在 A 点联结起来，对于刚片 I，其位置可由三个坐标来确定，对于刚片 Ⅱ，因为它与刚片 I 联结，所以除了能保存独立的转角外，只能随着刚片 I 移动，也就是说，已经丧失了自由移动的可能，因而减少了两个自由度所以一个单铰相当于两个约束也可这样分析，两个独立的刚片在平面内共有 6 个自由度，连接以后，自由度减为 4 个。
因此我们可先用三个坐标确定刚片 I 的位置，然后再用一个转角就可确定刚片Ⅱ的位置由此可见，一个单铰可以使自由度减少两个，即一个单铰相当于两个约束2）复铰：联结三个或三个以上刚片的圆柱铰称为复铰图 1-65 所示的复铰联结三个刚片，它的联结过程可想象为：先有刚片 I，然后用单铰将刚片Ⅱ与刚片 I 联结，再以单铰将刚片Ⅲ与刚片 I 联结这样，联结三个刚片的复铰相当于两个单铰．同理，联结n 个刚片的复铰相当于 n-1 个单铰，也相当于 2（n-1 ）个约束 5图 1-63 图 1-64 图 1-65 （3）虚铰：一如果两个刚片用两根链杆联结，如图 1-65a 所示，则这两根链杆的作用就和一个位于两杆交点的铰的作用完全相同我们常称联结两个刚片的两根链杆的交点为虚铰如果联结两个刚片的两根链杆并没有相交，则虚铰在这两根链杆延长线的交点上，如图 1-66b 所示若这两根链杆是平行的，则认为虚铰的位置在沿链杆方向的无穷远处，如图 1-66 c 所示3、刚性联结 如图 1-67a 所示，刚片 I、Ⅱ 在 A 处刚性联结成一个整体，原来两个刚片在平面内具有 6 个自由度，现刚性联结成整体后减少了 3 个自由度，所以，一个刚性联结相当于三个约束。
同理，一个固定端的支座相当刚性联结，或者说固定端支座相当三个约束，如图 1-67b三种类型约束之间的关系：一个单铰的约束相当于两根链杆；一个单刚结的约束作用相当于三根链杆图 1-66 a） b）图 1-67 为保持体系几何不变必须有的约束叫必要约束；为保持体系几何不变并不需要的约束叫多余约束一个平面体系，通常都是由若干个构件加入一定约束组成的加入约束的目的是为了减少体系的自由度如果在体系中增加一个约束，而体系的自由度并不因此而减少，则该约束被称为多余约束多余约束只说明为保持体系几何不变是多余的，在几何体系中增设多余约束，可改善结构的受力状况，并非真是多余例如，平面内一个自由点 A 原来有两个自由度，如果用两根不共线的链杆 1 和 2 把A 点与基础相连，如图 1-68a 所示，则 A 点即被固定，因此减少了两个自由度如果用三根不共线的链杆把 A 点与基础相连，如图 1-68b 所示，实际上仍只是减少 6了两个自由度，有一根是多余约束（可把三根链杆中的任何一根视为多余约束）a） （b）图 1-68 又如图 12—7a 表示动点 A 加一根水平的支座链杆 1，还有一个竖向运动的自由度。
由于约束数目不够，是几何可变体系图 12—7b 是用两根不在一直线上的支座链杆 1 和 2，把 A 点联结在基础上，点 A 上下、左右的移动自由度全被限制住了，不能发生移动故图 12—7b 是约束数目恰好够的几何不变体系，叫无多余约束的几何不变体系图 12—7c 是在图 12—7b 上又增加一根水平的支座链杆 3，这第三根链杆，就保持几何不变而言，是多余的故图 12—7c 是有一个多余约束的几何不变体系图 12—7 §2 几何不变体系的基本组成规则2－1 二元体规则所谓二元体是指由两根不在同一直线上的链杆联结一个新结点的装置，如图 12—9b中的 BAC 部分由于在平面内新增加一个点就会增加两个自由度，而新增加的两根不共线的链杆,恰能减去新结点 A 的两个自由度，故对原体系来说，自由度的数目没有变化因此，在一个已知体系上增加一个二元体不会影响原体系的几何不变性或可变性同理，若在已知体系中拆除一个二元体，也不会影响体系的几何不变性或可变性利用二元体规则，可以得到更为一般的几何不变体系图 12—9a 所示为一个三角形铰结体系，假如链杆 I 固定不动，那么通过前面的讲解，我们已知它是一个几何不变体系。
将图 12—9a 中的链杆 I 看作一个刚片，成为图 12—9b 所示的体系从而得出：规则 1（二元体规则）：一个点与一个刚片用两根不共线的链杆相连，则组成无多余 7约束的几何不变体系推论 1：在一个平面杆件体系上增加或减少若干个二元体，都不会改变原体系的几何组成性质图 1-68 如图 12—9c 所示的桁架，就是在铰接三角形 ABC 的基础上，依次增加二元体而形成的一个无多余约束的几何不变体系同样，我们也可以对该桁架从 H 点起依次拆除二元体而成为铰接三角形 ABC2－2 两刚片规则将图 12—9a 中的链杆 I 和链杆Ⅱ都看作是刚片，成为图 12—10a 所示的体系从而得出：规则 2（两刚片规则）：两刚片用不在一条直线上的一铰（B 铰）、一链杆（AC 链杆）连接，则组成无多余约束的几何不变体系如果将图 12—10a 中连接两刚片的铰 B 用虚铰代替，即用两根不共线、不平行的链杆 a、b 来代替，成为图 12—10b 所示体系，则有：推论 2：两刚片用不完全平行也不交于一点的三根链杆连接，则组成无多余约束的几何不变体系图 1-69 2－3 三刚片规则将图 12—9a 中的链杆 I、链杆Ⅱ和链杆Ⅲ都看作是刚片，成为图 12-11a 所示的体系。
8从而得出：规则 3（三刚片规则）：三刚片用不在一条直线上的三个铰两两连接，则组成无多余约束的几何不变体系如果将图中连接三刚片之间的铰 A、B、C 全部用虚铰代替，即都用两根不共线、不平行的链杆来代替，成为图 12—11b 所示体系，则有：推论 3：三刚片分别用不完全平行也不共线的二根链杆两两连接，且所形成的三个虚铰不在同一条直线上，则组成无多余约束的几何不变体系图 1-68 从以上叙述可知，这三个规则及其推论，实际上都是三角形规律的不同表达方式，即三个不共线的铰，可以组成无多余约束的三角形铰结体系规则 1(及推论 1)给出了固定一个节点的装配格式，如图 12—9b 所示的体系中，A 点通过不共线的链杆Ⅱ和链杆Ⅲ固定在基本刚片 I 上；规则 2(及推论 2)给出了固定一个刚片的装配格式，如图 12—10a、b 所示的体系中，用不在一条直线上的 B 铰、链杆Ⅲ，或者用不交于一点的三根链杆将刚片Ⅱ固定在刚片 I 上；规则 3(及推论 3)给出了固定两个刚片的装配格式，如图12—11a、b 所示的体系中，通过不共线的三个铰 A、B、C 将刚片Ⅱ、刚片Ⅲ固定在刚片Ⅰ上在上述组成规则中，对刚片间的联结方式都提出了一些限制条件，如联结三刚片的三个铰不能在同一直线上；联结两刚片的三根链杆不能全交于一点也不能全平行等。
如果不满足这些条件，将会出现下面所述的情况如图 1-72 所示的三个刚片，它们之间用位于同一直线上的三个铰两两相连此时，点 A 位于以 BA 和 CA 为。