《电动力学常用数学公式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《电动力学常用数学公式（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数学准备知识1 矢量代数一矢量定义（单位矢量）,AArrr在坐标系中 直角系 31ier zyziAjkrr方向余弦：cos,cs,cos,coscosxyzAxyAzeerr3122213()ir二矢量运算 加法： 交换律ABrr结合律()()Cr满足平行四边形法则31iiier标量积：31cosiABAr交换律r分配律()Crr矢量积： 123sineABABr分配律()rrr不满足交换律混合积： 123()AABCABC双重矢积： ()()()()ABCABCABrrrrr（点 3 乘 2，点 2 乘 3） 三矢量微分 dAdttr()BABttrr()dAdttrr四并矢与张量并矢：
2、(一般 )，有九个分量。BrAr若某个量有九个分量，它被称为张量为单位并矢，张量的九个基。33,1,ijijijTAeTertrrijr矢量与张量的矩阵表示： 或123,iAAer123(,)A1 31232121(,) iBBAABArTrt12133T单位张量： 1ijetrl 01l张量运算： ,()iijjjiTVetr与矢量点乘： ABCACBr rrrABABAC rrrrr与矢量叉乘：Crr并 矢并 矢两并矢点乘： (并矢)ABDABCDABrr两并矢二次点乘： 标量:Cr与单位张量点乘： ttrll:ABtrl课堂练习（15-20 分钟）1 计算 2BAr2 求证， 与矢量 垂
3、直。 （求 ） 。MbacrrCMr3 计算下列各式： ()r()()jikr()ij（0， ， 1， 1）2br4 证明下列各式： ()()()abcdadabcrrr 0cr证： ()()acbdadrr ()brr()()0cr2. 场的概念和标量场的梯度一、 场的概念：描述一定空间中连续分布的物质对象的物理量。或说：若在一定空间中的每一点，都对应着某个物理量的确定值，就说在这空间中确定了该物理的场。 如：强度场、速度场、引力场、电磁场。描述场用一个空间中和时间坐标的函数： (,)(,)xyztxtArr标 量 场矢 量 场当 与 无关时称为稳恒场（稳定场、静场） ，有关则称为变化场（时
4、,rt变场） 。当已知场函数则可以了解场的各种性质：如 随时空的变化,Ar关系（梯、散、旋度） 。同样已知梯、散、旋度场函数可以确定场函数（以后主要讨论的问题） 。二、标量场的梯度在 两点全微分：,Mdxdyzxyzdeerrlxyzdrrll（ ， 方向上的单位矢量）lderl lrrl（ 为 与 之间的夹角） cosdl在 点方向上导致有无穷多个，其中有一个最大，即M, 定义梯度 max0,dl gra意义：空间某点上标量场函数的最大变化率，刻画了标量场的空间分布特征。已知梯度即可求出 沿任一方向的方向导致。等值面： 常数的曲面称为等值面。()xr 梯度与等值面的关系：梯度 等值面。证：
5、对等值面上一点，沿等值的方向导数为零。即 的 为 ，所以 与等值面垂直。cos2三、 矢量微分算子 （直角坐标系中的表示形式）具有矢量性质，分量是微分符号。xyzeerr， ，不能互换xyzrr它可以作用在矢量上，可以作点乘、叉乘。 yxzxyzxyzAAeeAerrrry yx xz zx rrrxyzxyzeA四、举例（1）求半径 的数值 的梯度。r1222rxyz此例中 点均可变动。一般称 为源点（一后电场中电荷所在点） 。,P P为场点（观测点） 。解：固有两个变量 和 我们可求 和,xyz,zr而12()rxrQ,yzxyzreer（2）求 。()解： ， ，()xxQ()yyzz(
6、)xyzxyzeee rrrr3. 高斯定理与矢量场的散度一、 矢量场的通量1 矢量族：在矢量场中对于给定的一点，有一个方向，它沿某一曲线的切线方向，这条曲线形成一条矢量线，又叫场线（对静电场称为电力线） ，无穷多条这样的曲线构成一个矢量族。2 通量： 称为 通过面元 的通量，记作 ，记作AdsrrdsrdAsr，有限面积 ，通量上 ，闭合曲面 ，通量上dSSAS， 方向，由面内指向面外。Ssrr， 场线进入的少，穿出得多，称 面内有源。0， 场线进入的与穿出得同样多，称 面内无源。=S， 场线进入的少，穿出得少，称 面内有负源。0, 有源；=0,无源，0， 场线进入的与穿出得同样多，称 面内
7、无源。=S， 场线进入的少，穿出得少，称 面内有负源。0, 有源；=0,无源，0,负0limSVAdsrr r源） 。有时表示成 （divergence） 。若空间各点处处 ，则ivr 0Ar称 为无源场。Ar例题：1. 求 ，其中rxyzeerrr3L2. 求 ，3r1222(0)xyzr3333rrrzr3440xyxyrrr L3. 求证： 。AAr证： xyzryxzxyz Ar4 斯托克斯公式与矢量场的旋度二、 矢量场的环量（环流）矢量 沿任一闭合曲线 的积分ArLLAdlr表明在区域内无涡旋状态，不闭合，0表明在区域内有涡旋状态存在，闭合，意义：用来刻画矢量场在空间某一范围内是否有
8、涡旋存在，具有局域性质。二、斯托克斯公式（定理）（证明略）LSAdldrr三、矢量场的旋度当 无限缩小，它用的面积化为 时，S， L ndl Arr，nA， 为法线上单位矢。0limLnSdlrrSnr定义 为矢量场的旋度，它在 法线方向上的分量为单位面A积上的环量。刻画矢量场场线在空间某点上的环流特征。若空间各点，则 称为无旋场。0rr例：1. 3解： 它的 分量为x33zyyrr3351zzzyr 335yyzzrr，同理， 30xr330yzrr2. 证明 AAr证： zyxyrzzyzzyxAAyrxxArrxyzxeeeer Lrr5. 常用的运算公式一、 复合函数的“三度”运算公式
9、， ， dffudAurrdAurr二、 积分变换公式高斯公式： SVVsrrr斯托克斯公式： LSSAdldAr格林公式： 第一公式 2VSr第二公式 dVdS一般规则 VSSLdlrr其他规则TVSVSdArrttTVLSLddSAlrrrrttddrSddl一般变换规则证明：1. VSArr证： 任取常矢量 点乘上式两端C左 用VVddACrrABBr用混合积公式SSrr2. LddlA证： 左 SSCAC rrrrLLldl三 算符常用公式 1. 2. AArr3. r4. BB5. rr6. ABrr7. ABABABrrrr8. 219. 10. 0,0r证：6 微分运算CCABA
10、Br r去掉角标。r7 A rr利用 abcabcrr微分运算Cr用 代替 ， 代替 ， 代替CABr矢量运算CCBArrr同样 CCABAr rr BABr6. 有关矢量场的一些定理一、关于散度旋度的四个定理5.标量场的梯度必为无旋场， 即 =06.矢量场的旋度必为无散场， 即 Ar7.无旋场必可以表示为某一标量场的梯度。即若 ，则 ， 称为无旋场 的标势函数。0Arr8.无源场必可表示为某个矢量场的旋度。即若 ，则 ， 称为无源场 的矢量势函数。BrArBr二、亥姆霍兹定理任意的矢量场（ ）均可以分解为无旋场 和无源0,Frr 1Fr场 之和，即 ， 。 又称为 的2Fr12Fr120,F
11、rr1rFr横场部分，可引入标势 ， 。 又称为 的纵场部分，可引入矢势 ， 。A2三、一个矢量场被唯一确定的条件唯一性定理定理： 在空间某一区域内给定场的散度和旋度以及矢量场在区域边界上的法线分量，则该矢量场在区域内是唯一确定的。 ()nSAxfr在 V内在 面 上证明： 假定有两个矢量场 均满足上述条件12Fr即 1 12,Frrr()()nnffS则 212,n引入 ，1r则 120, 0Frrr ，引入 ， ，0F（在 面上） 。212,nnr S根据格林第一公式（含 ）22VSdVdr得 （在 面上 ）nF0nF由于被积函数 ，故上式成立，必有 ，即20。120,Frr注：方程组若有
12、解，则该解在上述条件下不必唯一，但该方程组是否有解与 和 有关，只有当它们满足下述条件时才有解存在，,()fS由 及 0ArVSAdrr得： ,Sf7. “三度”在各种坐标系中得表示式一、 矢量微分算子（哈密顿算子） 直角坐标 xyzeerr柱坐标 rz球坐标 1sinreer二、柱坐标、球坐标与直角坐标的关系1. 柱坐标与直角坐标 2cosinxrrxyyzztgcosinirxyzeer ,00r zrrzrzeezr2. 球坐标与直角坐标 221sincocosxyxrzyrztgxsincosincsiniorxyzxyeeerrr ,0sin,cos,sincosrrrzr reeeee e r三、 “三度”在三种坐标系中的表示形式1直角坐标系： 222xyzxyzy yx xz z zxyzeeAe AAe
