二元一次方程（组）及其应用

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1、二元一次方程( 组)及其应用一、选择题1.（2016广东茂名）我国古代数学名著孙子算经中记载了一道题，大意是：求 100匹马恰好拉了 100 片瓦，已知 1 匹大马能拉 3 片瓦，3 匹小马能拉 1 片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有 x 匹，小马有 y 匹，那么可列方程组为（）A BC D【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组【分析】设有 x 匹大马，y 匹小马，根据 100 匹马恰好拉了 100 片瓦，已知一匹大马能拉3 片瓦，3 匹小马能拉 1 片瓦，列方程组即可【解答】解：设有 x 匹大马，y 匹小马，根据题意得，故选 C【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是弄清

2、题意，合适的等量关系，列出方程组2. （2016 年浙江省温州市）已知甲、乙两数的和是 7，甲数是乙数的 2 倍设甲数为 x，乙数为 y，根据题意，列方程组正确的是（）A B C D【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组【分析】根据题意可得等量关系：甲数+ 乙数=7，甲数 =乙数2，根据等量关系列出方程组即可【解答】解：设甲数为 x，乙数为 y，根据题意，可列方程组，得： ，故选：A3 （ 2016.山 东 省 临 沂 市 ， 3 分 ） 为 了 绿 化 校 园 ， 30 名 学 生 共 种 78 棵 树苗 其 中 男 生 每 人 种 3 棵 ， 女 生 每 人 种 2 棵 ， 该 班 男 生

3、 有 x 人 ， 女 生 有 y人 根 据 题 意 ， 所 列 方 程 组 正 确 的 是 （ ）【 考 点 】 由 实 际 问 题 抽 象 出 二 元 一 次 方 程 组 【 分 析 】 根 据 题 意 可 得 等 量 关 系 ： 男 生 人 数 +女 生 人 数 =30； 男 生 种 树 的总 棵 树 +女 生 种 树 的 总 棵 树 =78 棵 ， 根 据 等 量 关 系 列 出 方 程 组 即 可 【 解 答 】 解 ： 该 班 男 生 有 x 人 ， 女 生 有 y 人 根 据 题 意 得 ： ，故 选 ： D【 点 评 】 此 题 主 要 考 查 了 由 实 际 问 题 抽 象 出

4、 二 元 一 次 方 程 组 ， 关 键 是 正 确 理 解 题意 ， 找 出 题 目 中 的 等 量 关 系 ， 然 后 再 列 出 方 程 组 4. (2016 兰州，9,4 分)公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图） ，原空地一边减少了 1m，另一边减少了 2m，剩余空地的面积为 18 ，求原正方形空地的边长。设原正方形的空地的边长为 xm,则可列方程为（）【答案】：C【解析】：设原正方形边长为 xcm，则剩余空地的长为( x1)cm，宽为 (x2 )cm。面积为 (x1)(x 2)18【考点】：正方形面积的计算公式 二、填空题1. （2016四川成都5 分

5、）已知 是方程组 的解，则代数式（a+b）（ab）的值为8【考点】二元一次方程组的解【分析】把 x 与 y 的值代入方程组求出 a 与 b 的值，代入原式计算即可得到结果【解答】解：把 代入方程组得： ，3+2 得： 5a=5，即 a=1，把 a=1 代入得：b= 3，则原式=a 2b2=19=8，故答案为：82. （2016 年浙江省温州市）方程组 的解是 【考点】二元一次方程组的解【分析】由于 y 的系数互为相反数，直接用加减法解答即可【解答】解：解方程组 ，+，得：4x=12，解得：x=3，将 x=3 代入，得：3+2y=5，解得：y=1， ，故答案为： 3（2016江苏省扬州）以方程组

6、 的解为坐标的点（x，y）在第二象限【考点】二元一次方程组的解；点的坐标【分析】先求出 x、y 的值，再根据各象限内点的坐标特点即可得出结论【解答】解： ，得，3x+1=0，解得 x= ，把 x 的值代入得，y= +1= ，点（x，y）的坐标为：（ ， ） ，此点在第二象限故答案为：二三、解答题1. (2016四 川 资 阳 )某 大 型 企 业 为 了 保 护 环 境 ， 准 备 购 买 A、 B 两 种 型 号 的 污水 处 理 设 备 共 8 台 ， 用 于 同 时 治 理 不 同 成 分 的 污 水 ， 若 购 买 A 型 2 台 、 B型 3 台 需 54 万 ， 购 买 A 型 4

7、 台 、 B 型 2 台 需 68 万 元 （ 1） 求 出 A 型 、 B 型 污 水 处 理 设 备 的 单 价 ；（ 2） 经 核 实 ， 一 台 A 型 设 备 一 个 月 可 处 理 污 水 220 吨 ， 一 台 B 型 设 备 一 个月 可 处 理 污 水 190 吨 ， 如 果 该 企 业 每 月 的 污 水 处 理 量 不 低 于 1565 吨 ， 请 你 为该 企 业 设 计 一 种 最 省 钱 的 购 买 方 案 【 考 点 】 一 元 一 次 不 等 式 的 应 用 ； 二 元 一 次 方 程 组 的 应 用 【 分 析 】 （ 1） 根 据 题 意 结 合 购 买 A

8、 型 2 台 、 B 型 3 台 需 54 万 ， 购 买 A 型 4台 、 B 型 2 台 需 68 万 元 分 别 得 出 等 式 求 出 答 案 ；（ 2） 利 用 该 企 业 每 月 的 污 水 处 理 量 不 低 于 1565 吨 ， 得 出 不 等 式 求 出 答 案 【 解 答 】 解 ： （ 1） 设 A 型 污 水 处 理 设 备 的 单 价 为 x 万 元 ， B 型 污 水 处 理 设 备的 单 价 为 y 万 元 ， 根 据 题 意 可 得 ：，解 得 ： 答 ： A 型 污 水 处 理 设 备 的 单 价 为 12 万 元 ， B 型 污 水 处 理 设 备 的 单

9、价 为 10 万元 ；（ 2） 设 购 进 a 台 A 型 污 水 处 理 器 ， 根 据 题 意 可 得 ：220a+190（ 8a） 1565，解 得 ： a1.5，A 型 污 水 处 理 设 备 单 价 比 B 型 污 水 处 理 设 备 单 价 高 ，A 型 污 水 处 理 设 备 买 越 少 ， 越 省 钱 ，购 进 2 台 A 型 污 水 处 理 设 备 ， 购 进 6 台 B 型 污 水 处 理 设 备 最 省 钱 2. (2016云 南 )食品安全是关乎民生的重要问题，在食品中添加过量的添加剂对人体健康有害，但适量的添加剂对人体健康无害而且有利于食品的储存和运输为提高质量，做进

10、一步研究，某饮料加工厂需生产 A、B 两种饮料共 100 瓶，需加入同种添加剂 270 克，其中 A 饮料每瓶需加添加剂 2 克，B 饮料每瓶需加添加剂 3 克，饮料加工厂生产了 A、B两种饮料各多少克？【考点】二元一次方程组的应用【分析】设 A 种饮料生产了 x 瓶，B 种饮料生产了 y 瓶，根据：A 种饮料瓶数+B 种饮料瓶数=100，A 种饮料添加剂的总质量+B 种饮料的总质量=270 ，列出方程组求解可得【解答】解：设 A 种饮料生产了 x 瓶，B 种饮料生产了 y 瓶，根据题意，得： ，解得： ，答：A 种饮料生产了 30 瓶， B 种饮料生产了 70 瓶【点评】本题主要考查二元一次

11、方程组的应用能力，在解题时要能根据题意得出等量关系，列出方程组是本题的关键3. (2016云 南 )解方程组 【考点】解二元一次方程组【专题】计算题；一次方程（组）及应用【分析】方程组利用加减消元法求出解即可【解答】解： ，由，得 y=3，把 y=3 代入，得 x+3=2，解得：x= 1则原方程组的解是 【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法4. （2016四川达州6 分）已知 x，y 满足方程组 ，求代数式（xy）2（x+2y） （x2y）的值【考点】代数式求值；解二元一次方程组【分析】求出方程组的解得到 x 与 y 的值，原式利用平方差公

12、式，完全平方公式化简，去括号合并后代入计算即可求出值【解答】解：原式=x 22xy+y 2x 2+4y2=2xy+5y 2，+得：3x=3，即 x= 1，把 x=1 代入得：y= ，则原式= + = 5. （2016四川广安8 分）某水果积极计划装运甲、乙、丙三种水果到外地销售（每辆汽车规定满载，并且只装一种水果） 如表为装运甲、乙、丙三种水果的重量及利润甲 乙 丙 每辆汽车能装的数量（吨） 4 2 3 每吨水果可获利润（千元） 5 7 4（1）用 8 辆汽车装运乙、丙两种水果共 22 吨到 A 地销售，问装运乙、丙两种水果的汽车各多少辆？（2）水果基地计划用 20 辆汽车装运甲、乙、丙三种水

13、果共 72 吨到 B 地销售（每种水果不少于一车） ，假设装运甲水果的汽车为 m 辆，则装运乙、丙两种水果的汽车各多少辆？（结果用 m 表示）（3）在（2）问的基础上，如何安排装运可使水果基地获得最大利润？最大利润是多少？【考点】二元一次方程组的应用【分析】 （1）根据“8 辆汽车装运乙、丙两种水果共 22 吨到 A 地销售”列出方程组，即可解答；（2）设装运乙、丙水果的车分别为 a 辆，b 辆，列出方程组 ，即可解答；（3）设总利润为 w 千元，表示出 w=10m+216列出不等式组 ，确定 m 的取值范围 13m15.5，结合一次函数的性质，即可解答【解答】解：（1）设装运乙、丙水果的车分

14、别为 x 辆，y 辆，得：，解得： 答：装运乙种水果的车有 2 辆、丙种水果的汽车有 6 辆（2）设装运乙、丙水果的车分别为 a 辆，b 辆，得：，解得 答：装运乙种水果的汽车是（m 12）辆，丙种水果的汽车是（322m ）辆（3）设总利润为 w 千元，w=45m+27（m12）=43 （322m ）=10m+216 ，13m15.5，m 为正整数，m=13，14， 15，在 w=10m+216 中，w 随 x 的增大而增大，当 m=15 时， W 最大 =366（千元） ，答：当运甲水果的车 15 辆，运乙水果的车 3 辆，运丙水果的车 2 辆，利润最大，最大利润为 366 元6. （201

15、6四川凉山州8 分）为了更好的保护美丽图画的邛海湿地，西昌市污水处理厂决定先购买 A、B 两型污水处理设备共 20 台，对邛海湿地周边污水进行处理，每台 A 型污水处理设备 12 万元，每台 B 型污水处理设备 10 万元已知 1 台 A 型污水处理设备和 2台 B 型污水处理设备每周可以处理污水 640 吨，2 台 A 型污水处理设备和 3 台 B 型污水处理设备每周可以处理污水 1080 吨（1）求 A、B 两型污水处理设备每周分别可以处理污水多少吨？（2）经预算，市污水处理厂购买设备的资金不超过 230 万元，每周处理污水的量不低于4500 吨，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少？【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用【分析】 （1）根据 1 台 A 型污水处理设备和 2 台 B 型污水处理设备每周可以处理污水 640吨，2 台 A 型污水处理设备和 3 台 B 型污水处理设备每周可以处理污水 1080 吨，可以列出相应的二元一次方程组，从而解答本题；（2）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以得到购买方案，从而可以算出每种方案购买资金，从而可以解答本题【解答】解：（1）设 A 型污水处理设备每周每台可以处理污水 x 吨，B 型污水处理设备每周每台可以处理污水 y 吨，解得，即 A