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1、 第 943 页 共 13 页10 用 Mathematica 求偏导数与多元函数的极值10.1 用 Mathematica 作三维函数图在多元函数微积分中，作图可以使得问题更为直观，易于理解。这里首先给大家介绍“用 Mathematica 作三维函数图” 。1 常用的三维绘图函数Plot3Dfx,y,x,a,b,y,c,d,可选项: 作 的图形。),(yxfParametricPlot3Dxu,v,yu,v,zu,v,u,a,bv,c,d: 作三维参数方程的图形。Showf1,f2,f3,: 将多个图形组合重新显示。2 常用的可选项Plot3D 函数有许多可选项可以用来修饰三维图形的外观。可
2、以借助于可选项改变图形的外观，以便于观察。表 10-1 常用的可选项可选项 默认值 说明Axes True 是否绘制坐标轴Axeslable None 坐标轴的名称。zlabel 为 z 轴的 label,即 z 轴的标注，labelxlabel,ylabel,zlabel分别为轴， 轴, 轴的标注xyzAspectRatio 1 作图高、宽比例，可以说明为任意值Boxed True 绘制外框。定义 False 则不绘制外框Displayfunction $Displayfunction 显示图形模式，定义 Identity 不显示图形PlotRange Automatic 方向的绘图范围zS
3、hading True 表面不上色或留白ViewPoint 1.3,-2.4,2 观测点(眼睛观测的位置)选择合适的观测点在也有助于观察图形，下面是典型的 ViewPoint 值： 第 944 页 共 13 页表 10-2 典型的 ViewPoint 值ViewPoint 值 观测点的位置1.3,-2.4,2 默认观测点0,-2,0 从前方看0,0,2 从上往下看0,-2,2 从前方上面往下看0,-2,-2 从前方下面往上看-2,-2,0 从左前方看2,-2,0 从右前方看例 10.1 画出函数 图形，并使图形表面不上色。2sinyxz解 In1:= Plot3DSinSqrtx2+y2,x,
4、0,2Pi,y,0,2Pi0246 0246-1-0.500.51Out1= -SurfaceGraphics-In2:= Show%,Shading-False 第 945 页 共 13 页0246 0246-1-0.500.51Out2= -SurfaceGraphics-例 10.2 画出函数 图形，并使调整图形观测点观察图形是否对称。yxzcosin解 In1:= Plot3DSinx*y,x,0,2Pi,y,0,2Pi,AxesLabel-“x”, “y”, “z”0246x0246y-1-0.500.51zOut1= -SurfaceGraphics-In2:= Show%,Vie
5、wPoint-1,-1,2 第 946 页 共 13 页0246x0246y-1-0.500.51zOut2= -SurfaceGraphics-例 10.3 画一单位双曲面。解 首先，写出单位双曲面的参数方程x=Coshu*Cosvy=Coshu*Sinvz=uIn1:=ParametricPlot3DCoshu*Cosv,Coshu*Sinv,u,u,0,Pi,v,-Pi,Pi,AxesLabel-“x”, “y”, “z”-202x-202y-2-1012zOut1= -Graphics3D-例 10.4 画出函数 图形。163422zyx 第 947 页 共 13 页解 In1:=Pa
6、rametricPlot3D2Sinu*Cosv,3Sinu*Sinv,4Cosu,u,0,Pi,v,-Pi,Pi,AxesLabel-x, y, z-2 -1 01 2x-202y-4-2024zOut1= -Graphics3D-In2=: Show%,ViewVertical-1,0,0-2-1012x-202y-4-2024 zOut2=-Graphics3D-例 10.5 画出由 与 所围的立体图形。0yx1)(2yx解 In1:= a1=Plot3Dx+2y,x,0,2,y,0,2,DisplayFunction-Identity;a2=ParametricPlot3D1+Cosu
7、,Sinu,v,u,0,2Pi,v,0,3.5,DisplayFunction-Identity;a3=Plot3D0,x,-1,2,y,-1,2,DisplayFunction-Identity;Showa1,a2,a3,AxesLabel-x, y,AspectRatio-Automatic,PlotRange-0,4,DisplayFunction-$DisplayFunction 第 948 页 共 13 页-1012x-1012y01234zOut1= -Graphics3D-9.2 用 Mathematica 求偏导数与多元函数的极值函数 实际上给出了偏导数，在这个表达式中，假设
8、n 个不是 x 的函数，xnDt,在 Mathematica 中，它有一个函数 ，它代表的是全微分，在这个函数中，所以的变Dt量都有联系。在 Mathematica 的说明中， 代表了 ，而 则代表了 。xf,ffDt,dxf可以认为 表示了“全微分” 。t例如：1. 下面给出了一个全微分，其中 n 是 x 的函数， 则代表了 。xft,dxf)log,(1:xnDtxOutInn2. 下面是一个全微分。其中 代表了 。xft,d)log(2:nDtxtOutInn注：在 Mathematica 中，还是有些微分函数用于直接计算的，如下表所示：表 10-3 部分的微分函数 第 949 页 共
9、13 页函数及其表达式 函数功能说明xfD,关于 的偏微分x或12,LL,21xft关于 等的混合偏微分2,1或()fxnn,关于 的 阶偏微分xnDt函数的全微分xf,关于变量 的全微分x例 10.6 求下列函数对 x 的偏导数1. ； 2. ；2lnyu xyarctgu13. ； 4. u= 。xyesin z解 In1:= DLogx+Sqrtx2+y2 ,x;Simplify% (*通常 Mathematica 不自动化简微分结果，要借助于 Simplify 函数*)Out1= 21yx 第 950 页 共 13 页In2: = DArcTanh(x+y)/(1-x*y),x;Sim
10、plify%Out2= )221(41yxyIn3: = DESiny/x,x;Simplify%Out3= 2xyCoseySinIn4: = D(x/y)z,x;Simplify%Out4= xzy例 10.7 设 ，求 ， ， ， 。xzsini33yz1,yx2z36yx解 In1:= Clearz,x,y;zx,y:=x3*Siny+y3Sinx; /*定义二元函数.*/Dzx,y,yOut1= 323xSinyCosxIn2:= Dzx,y,y/.x-1,y-1 /*给函数的变量赋值.*/Out2= 1isIn3:= Dzx,y,x,2Out3= 63yxSiniyIn4:= Dz
11、x,y,x,3,y,3Out4= Cos例 10.8 设 ，求 ， ， 。vuyxz23,ln2zv2z解 In1:= xu_,v_:=u/v; 第 951 页 共 13 页yu_,v_:=3u-2v;zx_,y_:=xu,v2*Logyu,v;Dzx,y,u;Simplify%Out1= 2)33(vvuLoguIn2:= Dzx,y,v;Simplify%Out2= 3)(2vvuoguIn3:= Dzx,y,v,2;Simplify% Out3= 422)()23)56(vuvuLog例 10.9 设 ，其中函数 二阶可导， 具有,)xygxfz()ft(,)guv二阶连续的偏导数，求
12、， ， 。2z解 In1:= Df2x-y+gx,x*y,xOut1= ,2)10()10( xygxygyxf In2:= Df2x-y+gx,x*y,x,2Out2= ,),(,24 )0,2()1()2,0)1( xygxygxygyxygxf In3:= Df2x-y+gx,x*y,x,yOut3= ), )1()2,0()10(f其中 ，ugvg为,)0,1(， ， ， 。u为,)10( v为,)1( 2)0,2(ugvg为 2)2,0(vg为例 10.10 已知函数 ，证明 。)(xyFzxyzxz 第 952 页 共 13 页解 In1:= z=x*y+x*Fy/x;Dz,x*x
13、+y*Dz,y-z-x*y;Simplify%Out1= 0例 10.11 求由下列方程所确定的隐函数和导数或偏导数：1 ， 求 。xyarctgx2lndx2 ，求 ， ， ， 。uvvusin,oyuxvy解 In1:= eq1=LogSqrtx2+yx2= = ArcTanhyx/x;Deq1,x;Solve%,y x;Simplify%Out1= 3223 xyxyxyIn2:= Dx=ux*Cosvx/ux,y=ux*Sinvx/ux,x;SimplifySolve%,u x,vxOut2= , xuvCosxvSinxvuCosxIn3:= Dx=uy*Cosvy/uy,y=uy*Sinvy/uy,y;SimplifySolve%,u y,vyOut3= , yuvSinyvCosyvxuSiny例 10.12 求下列极值问题：1函数 .yxyxyf 1253),( 第 953 页 共 13 页2求函数 ，在 上的最大最小值.yyxf 162),(2
