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1、1用轴对称求最短距离、作图盱眙县第一中学 张翼例 1、(中国古代数学问题牧童饮马问题)如图,牧童在 A 处放牧,其家在 B 处,A、B 到河岸的距离分别为 AC、BD,牧童从 A 处将马牵到河边饮水后再回家,试问在何处饮水,所走路程最短?ABC D例 2、(湖北 荆门卷)一次函数 y=kx b 的图象与 x、 y 轴分别交于点 A(2,0),B(0,4)(1)求该函数的解析式;(2)O 为坐标原点,设 OA、 AB 的中点分别为 C、 D, P 为 OB 上一动点,求 PC PD 的最小值,并求取得最小值时 P 点的坐标 第 24题 图 OxyBDACP例 3、(福建 龙岩卷)如图, AB、
2、CD 是半径为 5 的 O 的两条弦, AB = 8, CD = 6, MN 是直径, AB MN 于点 E, CD MN 于点 F, P 为 EF 上的任意一点,则 PA+PC 的最小值为 2417217817E OM NAB CDPF例 4、(湖北 孝感卷)在平面直角坐标系中,有 A(3,2), B(4,2)两点,现另取一点 C(1, n),当 n = 时, AC + BC 的值最小例 5、(湖北 鄂州卷)已知直角梯形 ABCD 中,ADBC,ABBC,AD=2,BC=DC=5,点 P 在 BC上移动,则当 PAPD 取最小值时,APD 中边 AP 上的高为( )A B C D3AB CD
3、P例 6、(四川 达州卷)如图,在边长为 2的正方形 ABCD 中,点 Q 为 BC 边的中点,点 P 为对角线 AC 上一动点,连接 PB、PQ,则PBQ 周长的最小值为 (结果不取近似值).QB CA DP26(2010 年淮安)(1)观察发现如题 26(a)图,若点 A,B 在直线 同侧,在直线 上找一点 P,使 AP+BP 的值最小ll做法如下:作点 B 关于直线 的对称点 ,连接 ,与直线 的交点就是所求的点 PABl再如题 26(b)图,在等边三角形 ABC 中,AB=2,点 E 是 AB 的中点,AD 是高,在 AD 上3找一点 P,使 BP+PE 的值最小做法如下:作点 B 关
4、于 AD 的对称点,恰好与点 C 重合,连接 CE 交 AD 于一点,则这点就是所求的点 P,故 BP+PE 的最小值为 题 26(a)图 题 26(b)图 (2)实践运用如题 26(c)图,已知O 的直径 CD 为 4,AD 的度数为 60,点 B 是 的中点,在直AD径 CD 上找一点 P,使 BP+AP 的值最小,并求 BP+AP 的最小值题 26(c)图 题 26(d)图(3)拓展延伸 如题 26(d)图,在四边形 ABCD 的对角线 AC 上找一点 P,使APB=APD保留作图痕迹,不必写出作法 例 7、(四川 遂宁卷)如图,二次函数的图象经过点 D(0, ),且顶点 C 的横坐标为
5、 4,该图象在 x 轴上截得的线段 AB 的长为 6.求二次函数的解析式;在该抛物线的对称轴上找一点 P,使 PA+PD 最小,求出点 P 的坐标;2在平面直角坐标系中,矩形 OACB 的顶点 O 在坐标原点,顶点 A、 B 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上, OA3, OB4, D 为边 OB 的中点(1)若 E 为边 OA 上的一个动点,当 CDE 的周长最小时,求点 E 的坐标;(2)若 E、 F 为边 OA 上的两个动点,且 EF2,当四边形 CDEF 的周长最小时,求点 E、 FO ABxyCDO ABxyCDED (备用图)4的坐标例 8、(浙江 衢州卷)如图,已知点 A(-4,
6、8)和点 B(2, n)在抛物线 y=ax2 上(1)求 a 的值及点 B 关于 x 轴对称点 P 的坐标,并在 x 轴上找一点 Q,使得 AQ+QB 最短,求出点 Q 的坐标;(2)平移抛物线 y=ax2 ,记平移后点 A 的对应点为 A,点 B 的对应点为B,点 C(-2,0)和点 D(-4,0)是 x 轴上的两个定点当抛物线向左平移到某个位置时, A C+CB最短,求此时抛物线的函数解析式;当抛物线向左或向右平移时,是否存在某个位置,使四边形 A B CD 的周长最短?若存在,求出此时抛物线的函数解析式;若不存在,请说明理由解:(1) 将点 A(-4,8)的坐标代入 2yax,解得 1将
7、点 B(2, n)的坐标代入 2yx,求得点 B 的坐标为(2,2),则点 B 关于 x 轴对称点 P 的坐标为(2,-2) 直线 AP 的解析式是 543yx 令 y=0,得 4x即所求点 Q 的坐标是( 5,0)(2)解法 1: CQ=-2- 4= 1, 故将抛物线 2yx向左平移 5个单位时, A C+CB最短,此时抛物线的函数解析式为 214()yx解法 2:设将抛物线 2向左平移 m 个单位,则平移后A, B的坐标分别为 A(-4- m,8)和 B(2- m,2),点 A关于x 轴对称点的坐标为 A(-4- m,-8)直线 A B的解析式为 543yx(第 24 题(1)4 x22A
8、 8-2O-2-4y6BCD-44QP(第 24 题(2)4 x22A 8-2O-2-4y6BCD-44A5要使 A C+CB最短,点 C 应在直线 A B上,将点 C(-2,0)代入直线 A B的解析式,解得 145m故将抛物线 21yx向左平移 145个单位时 A C+CB最短,此时抛物线的函数解析式为 2()yx左右平移抛物线 21,因为线段 A B和 CD 的长是定值,所以要使四边形 A B CD 的周长最短,只要使 A D+CB最短;第一种情况:如果将抛物线向右平移,显然有A D+CB AD+CB,因此不存在某个位置,使四边形 A B CD 的周长最短第二种情况:设抛物线向左平移了
9、b 个单位,则点 A和点 B的坐标分别为 A(-4- b,8)和B(2- b,2)因为 CD=2,因此将点 B向左平移 2 个单位得 B(- b,2),要使 A D+CB最短,只要使 A D+DB最短点 A关于 x 轴对称点的坐标为 A(-4- b,-8),直线 A B的解析式为 52yx要使 A D+DB最短,点 D 应在直线 A B上,将点 D(-4,0)代入直线A B的解析式,解得 165b故将抛物线向左平移时,存在某个位置,使四边形 A B CD 的周长最短,此时抛物线的函数解析式为 2()yx例 9、(陕西卷)如图,在锐角ABC 中,AB4,BAC45,BAC 的平分线交 BC于点
10、D,M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点,则 BM+MN 的最小值是 25(2010 绵阳市)如图,抛物线 y = ax2 + bx + 4 与 x 轴的两个交点分别为 A(4,0) 、B(2,0) ,与 y 轴交于点 C,顶点为 DE(1,2)为线段 BC 的中点,BC 的垂直平分线与 x 轴、y 轴分别交于 F、G(1)求抛物线的函数解析式,并写出顶点 D 的坐标;(第 24 题(2)4 x22A 8-2O-2-4y6BCD-44ABCEDGAxyO BF6(2)在直线 EF 上求一点 H,使CDH 的周长最小,并求出最小周长;(3)若点 K 在 x 轴上方的抛物线上运动,当 K 运动到什么位置时,EFK 的面积最大?并求出最大面积24 (芜湖市 本小题满分 14 分)如图,在平面直角坐标系中放置一矩形 ABCO,其顶点为A(0,1) 、B(3 ,1) 、 C(3 ,0) 、O (0,0) 将此矩形沿着过3 3E( ,1) 、F( ,0)的直线 EF 向右下方翻折, B、C 的对应点分别为3433B、C(1)求折痕所在直线 EF 的解析式;(2)一抛物线经过 B、E、B三点,求此二次函数解析式;(3)能否在直线 EF 上求一点 P,使得PBC 周长最小?如能,求出点 P 的坐标;若不能,说明理由