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1、1用轴对称求最短距离、作图盱眙县第一中学 张翼例 1、（中国古代数学问题牧童饮马问题）如图，牧童在 A 处放牧，其家在 B 处，A、B 到河岸的距离分别为 AC、BD，牧童从 A 处将马牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？ABC D例 2、（湖北 荆门卷）一次函数 y=kx b 的图象与 x、 y 轴分别交于点 A(2，0)，B(0，4)(1)求该函数的解析式；(2)O 为坐标原点，设 OA、 AB 的中点分别为 C、 D， P 为 OB 上一动点，求 PC PD 的最小值，并求取得最小值时 P 点的坐标 第 24题 图 OxyBDACP例 3、(福建 龙岩卷）如图， AB、
2、CD 是半径为 5 的 O 的两条弦， AB = 8， CD = 6， MN 是直径， AB MN 于点 E， CD MN 于点 F， P 为 EF 上的任意一点，则 PA+PC 的最小值为 2417217817E OM NAB CDPF例 4、(湖北 孝感卷）在平面直角坐标系中，有 A（3，2）， B（4，2）两点，现另取一点 C（1， n），当 n = 时， AC + BC 的值最小例 5、（湖北 鄂州卷）已知直角梯形 ABCD 中，ADBC,ABBC,AD=2,BC=DC=5,点 P 在 BC上移动，则当 PAPD 取最小值时，APD 中边 AP 上的高为（ ）A B C D3AB CD
3、P例 6、(四川 达州卷）如图，在边长为 2的正方形 ABCD 中，点 Q 为 BC 边的中点，点 P 为对角线 AC 上一动点，连接 PB、PQ，则PBQ 周长的最小值为 （结果不取近似值）.QB CA DP26(2010 年淮安)(1)观察发现如题 26(a)图，若点 A，B 在直线 同侧，在直线 上找一点 P，使 AP+BP 的值最小ll做法如下：作点 B 关于直线 的对称点 ，连接 ，与直线 的交点就是所求的点 PABl再如题 26(b)图，在等边三角形 ABC 中，AB=2，点 E 是 AB 的中点，AD 是高，在 AD 上3找一点 P，使 BP+PE 的值最小做法如下：作点 B 关
4、于 AD 的对称点，恰好与点 C 重合，连接 CE 交 AD 于一点，则这点就是所求的点 P，故 BP+PE 的最小值为 题 26(a)图 题 26(b)图 (2)实践运用如题 26(c)图，已知O 的直径 CD 为 4，AD 的度数为 60，点 B 是 的中点，在直AD径 CD 上找一点 P，使 BP+AP 的值最小，并求 BP+AP 的最小值题 26(c)图 题 26(d)图(3)拓展延伸 如题 26(d)图，在四边形 ABCD 的对角线 AC 上找一点 P，使APB=APD保留作图痕迹，不必写出作法 例 7、(四川 遂宁卷）如图，二次函数的图象经过点 D(0， )，且顶点 C 的横坐标为
5、 4，该图象在 x 轴上截得的线段 AB 的长为 6.求二次函数的解析式；在该抛物线的对称轴上找一点 P，使 PA+PD 最小，求出点 P 的坐标；2在平面直角坐标系中，矩形 OACB 的顶点 O 在坐标原点，顶点 A、 B 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上， OA3， OB4， D 为边 OB 的中点（1）若 E 为边 OA 上的一个动点，当 CDE 的周长最小时，求点 E 的坐标；（2）若 E、 F 为边 OA 上的两个动点，且 EF2，当四边形 CDEF 的周长最小时，求点 E、 FO ABxyCDO ABxyCDED （备用图）4的坐标例 8、（浙江 衢州卷）如图，已知点 A(-4，
6、8)和点 B(2， n)在抛物线 y=ax2 上(1)求 a 的值及点 B 关于 x 轴对称点 P 的坐标，并在 x 轴上找一点 Q，使得 AQ+QB 最短，求出点 Q 的坐标；(2)平移抛物线 y=ax2 ，记平移后点 A 的对应点为 A，点 B 的对应点为B，点 C(-2，0)和点 D(-4，0)是 x 轴上的两个定点当抛物线向左平移到某个位置时， A C+CB最短，求此时抛物线的函数解析式；当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形 A B CD 的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由解：(1) 将点 A(-4，8)的坐标代入 2yax，解得 1将
7、点 B(2， n)的坐标代入 2yx，求得点 B 的坐标为(2，2)，则点 B 关于 x 轴对称点 P 的坐标为(2，-2) 直线 AP 的解析式是 543yx 令 y=0，得 4x即所求点 Q 的坐标是( 5，0)(2)解法 1： CQ=-2- 4= 1， 故将抛物线 2yx向左平移 5个单位时， A C+CB最短，此时抛物线的函数解析式为 214()yx解法 2：设将抛物线 2向左平移 m 个单位，则平移后A， B的坐标分别为 A(-4- m，8)和 B(2- m，2)，点 A关于x 轴对称点的坐标为 A(-4- m，-8)直线 A B的解析式为 543yx(第 24 题(1)4 x22A
8、 8-2O-2-4y6BCD-44QP(第 24 题(2)4 x22A 8-2O-2-4y6BCD-44A5要使 A C+CB最短，点 C 应在直线 A B上，将点 C(-2，0)代入直线 A B的解析式，解得 145m故将抛物线 21yx向左平移 145个单位时 A C+CB最短，此时抛物线的函数解析式为 2()yx左右平移抛物线 21，因为线段 A B和 CD 的长是定值，所以要使四边形 A B CD 的周长最短，只要使 A D+CB最短；第一种情况：如果将抛物线向右平移，显然有A D+CB AD+CB，因此不存在某个位置，使四边形 A B CD 的周长最短第二种情况：设抛物线向左平移了
9、b 个单位，则点 A和点 B的坐标分别为 A(-4- b，8)和B(2- b，2)因为 CD=2，因此将点 B向左平移 2 个单位得 B(- b，2)，要使 A D+CB最短，只要使 A D+DB最短点 A关于 x 轴对称点的坐标为 A(-4- b，-8)，直线 A B的解析式为 52yx要使 A D+DB最短，点 D 应在直线 A B上，将点 D(-4，0)代入直线A B的解析式，解得 165b故将抛物线向左平移时，存在某个位置，使四边形 A B CD 的周长最短，此时抛物线的函数解析式为 2()yx例 9、（陕西卷）如图，在锐角ABC 中，AB4，BAC45，BAC 的平分线交 BC于点
10、D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是 25(2010 绵阳市)如图，抛物线 y = ax2 + bx + 4 与 x 轴的两个交点分别为 A（4，0） 、B（2，0） ，与 y 轴交于点 C，顶点为 DE（1，2）为线段 BC 的中点，BC 的垂直平分线与 x 轴、y 轴分别交于 F、G（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点 D 的坐标；(第 24 题(2)4 x22A 8-2O-2-4y6BCD-44ABCEDGAxyO BF6（2）在直线 EF 上求一点 H，使CDH 的周长最小，并求出最小周长；（3）若点 K 在 x 轴上方的抛物线上运动，当 K 运动到什么位置时，EFK 的面积最大？并求出最大面积24 （芜湖市 本小题满分 14 分）如图，在平面直角坐标系中放置一矩形 ABCO，其顶点为A（0，1） 、B（3 ，1） 、 C（3 ，0） 、O （0，0） 将此矩形沿着过3 3E（ ，1） 、F（ ，0）的直线 EF 向右下方翻折， B、C 的对应点分别为3433B、C（1）求折痕所在直线 EF 的解析式；（2）一抛物线经过 B、E、B三点，求此二次函数解析式；（3）能否在直线 EF 上求一点 P，使得PBC 周长最小？如能，求出点 P 的坐标；若不能，说明理由
