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1、12-1 解：当摩擦系数 足够大时，平台 ABf相对地面无滑动，此时摩擦力 NfF取整体为研究对象，受力如图，系统的动量： r2vpm将其在 轴上投影可得：xbtmvx2r根据动量定理有： gfFtN)(d212即：当摩擦系数 时，平台 AB 的加速度为零。gmbf)(21当摩擦系数 时，平台 AB 将向左滑动，此时系统的动量为：f)(21vp1r将上式在 轴投影有：x vmbtvmx )()()( 2121r2 根据动量定理有： gfFabt Nd 21212由此解得平台的加速度为： （方向向左）fgma212-2 取弹簧未变形时滑块 A 的位置为 x 坐标原点，取整体为研究对象，受力如图所
2、示,其中 为作用在滑块 A 上的弹簧拉力。系统的动量为：F)(r11vvpm将上式在 x 轴投影： )cos(1lx&根据动量定理有： kxFlmtpx sin)(d21系统的运动微分方程为： tlmsin)(211&NFgm1x vrvrvNFg1m2x224 取提起部分为研究对象，受力如图(a)所示，提起部分的质量为 ，提起部vtm分的速度为 ，根据点的复合运动可知质点并入的相对速度为 ，方向向下，大小为v rv（如图 a 所示） 。（a） (b)根据变质量质点动力学方程有： vttmtmrr )(d)(dgFvgFv 将上式在 y 轴上投影有： )()( 2r tttt 由于 ，所以由上
3、式可求得： 。0dtv (2vg再取地面上的部分为研究对象，由于地面上的物体没有运动，并起与提起部分没有相互作用力，因此地面的支撑力就是未提起部分自身的重力，即： gvtlFN)(35 将船视为变质量质点，取其为研究对象，受力如图。根据变质量质点动力学方程有： NtmtmFvgFvddr船的质量为： ，水的阻力为q0 vf将其代入上式可得： Nftvgvr0d)(将上式在 x 轴投影： 。应用分离变量法可求得)(d)(r0vqftqmctmfvlnln(0rvrgm)(tFy NFgmNvx3由初始条件确定积分常数 ，并代入上式可得：0ln)l(mqfvcrqftf)(10r2-8 图 a 所
4、示水平方板可绕铅垂轴 z 转动，板对转轴的转动惯量为 ，质量为 的质点Jm沿半径为 的圆周运动，其相对方板的速度大小为 （常量） 。圆盘中心到转轴的距离为 。Rul质点在方板上的位置由 确定。初始时， ，方板的角速度为零，求方板的角速度与0角的关系。图 a 图 b解：取方板和质点为研究对象，作用在研究对象上的外力对转轴 z 的力矩为零，因此系统对 z 轴的动量矩守恒。下面分别计算方板和质点对转轴的动量矩。设方板对转轴的动量矩为 ，其角速度为 ，于是有1LJL1设质点 M 对转轴的动量矩为 ，取方板为动系，质点 M 为动点，其牵连速度和相对速度分2别为 。相对速度沿相对轨迹的切线方向，牵连速度垂
5、直于 OM 连线。质点 M 相对惯性re,v参考系的绝对速度 。它对转轴的动量矩为reav)()()(r2e2a2 vmLmL其中： )sin()co()( 222e2 Rlrv rrrsvvRL系统对 z 轴的动量矩为 。初始时， ，此时系统对 z 轴的动21 ur,0zulRog o lrveM4量矩为 uRlmL)(0当系统运动到图 8-12 位置时，系统对 z 轴的动量矩为 ullRlJ umRlmL )cos()cos2( sincosin2 22 由于系统对转轴的动量矩守恒。所以有 ，因此可得：0LuRlmllJul )cos()cs2()(2 由上式可计算出方板的角速度为 )cs
6、(o12lRlJu211 取链条和圆盘为研究对象，受力如图（链条重力未画） ，设圆盘的角速度为 ，则系统对 O 轴的动量矩为： 2)(raJLl根据动量矩定理有： grxagrxatlllO)()(d2&整理上式可得： JllO)2()2(2由运动学关系可知： ，因此有： 。上式可表示成：xr&xr&xgraJllO22)(令 ，上述微分方程可表示成： ，该方程的通解为：22)(raJglO 02ttecx21根据初始条件： 可以确定积分常数 ，于是方程的解为：0,xt&201xtxch0系统的动量在 x 轴上的投影为： xrrplllx &dsin2系统的动量在 y 轴上的投影为： xaa
7、lllly 2)()( yOFOxP5根据动量定理： graPFplyx)2(0&由上式解得： ，trxFlOxch220 t)ch(240xllo214 取整体为研究对象，系统的动能为： 221CAvmT其中： 分别是 AB 杆的速度和楔块 C 的速度。CAv,若 是 AB 杆上的 A 点相对楔块 C 的速度，则根据r复合运动速度合成定理可知： ，tanAv因此系统的动能可表示为： ，系统在222 )cot(1cot1ACACvmvmT能够过程中，AB 杆的重力作功。根据动能定理的微分形式有： ，系统的动力学WTd方程可表示成： tgvvvmAACAC)cot()cot(21d22由上式解得
8、： ，2tCAgtvatAa217 质量为 的均质物块上有一半径为 的半圆槽，放在光滑的水平面上如图 A 所示。0mR质量为 光滑小球可在槽内运动，初始时，系统静止，小球在 A 处。求小球运)3(动到 B 处 时相对物块的速度、物块的速度、槽对小球的约束力和地面对物块的约0束力。图 A 图 BgmCvAvrRABRABrvevgm0NF6解：取小球和物块为研究对象，受力如图 B 所示，由于作用在系统上的主动力均为有势力，水平方向无外力，因此系统的机械能守恒，水平动量守恒。设小球为动点，物块为动系，设小球相对物块的速度为 ，物块的速度为 ，则系统的动能为rvev)cos()sin(2121 2r
9、2r0ae0 vmmT 设 为势能零点，则系统的势能为sigRV根据机械能守恒定理和初始条件有 ，即0Tsin)cos()sin(2132r2ree mgRvvmv 系统水平方向的动量为： )sin(ree0vpx根据系统水平动量守恒和初始条件有 0)i(3reemv由此求出 ，将这个结果代入上面的机械能守恒式,且 最后求得：sin41rev 03152,154er gRvgv下面求作用在小球上的约束力和地面对物块的约束力。分别以小球和物块为研究对象，受力如图 C，D 所示。设小球的相对物块的加速度为 ，物块的加速度为 ，对于小球有动raea力学方程（a）gFaamm)(trne图 C 图 D
10、RABgnratrea RABFeag0N7对于物块，由于它是平移，根据质心运动动力学方程有（b）NFga0e0m将方程（a）在小球相对运动轨迹的法线方向投影，可得 sin)cos(enr g其中相对加速度为已知量， 。将方程（b）在水平方向和铅垂方向投影，可得Rva2rnsin0co0eFgmN领 ，联立求解三个投影可求出03 mgggaN627.3,7594,153472e 218 取小球为研究对象，两个小球对称下滑，设圆环的半径为 R。每个小球应用动能定理有：（a）)cos1()(12mg&将上式对时间 求导并简化可得：t(b )sinR每个小球的加速度为 jia )cossin()sn
11、co( 22nt &Rm取圆环与两个小球为研究对象，应用质心运动定理 iiFC将上式在 y 轴上投影可得：gmFRmN020 2)cossin(2&将(a),(b)两式代入上式化简后得 )in3(20gFN时对应的 值就是圆环跳起的临界值，此时上式可表示成02cos32mtmangNF08上述方程的解为：， )231(cos0m圆环脱离地面时的 值为 arcs01而 也是方程的解，但是 时圆环已脱离地面，因此23arcos02 1不是圆环脱离地面时的值。2219 取圆柱、细管和小球为研究对象。作用于系统上的外力或平行于铅垂轴或其作用线通过铅垂轴。根据受力分析可知：系统对铅垂轴的动量矩守恒。设小
12、球相对圆柱的速度为，牵连速度为 系统对 z 轴的动量矩守恒，有：rvev0cosre20 mvrLz 其中： ，则上式可表示成：ve rvrmcs)(r20由此解得： o)(r0r其中： ，m0rh2tan根据动能定理积分式，有： 211WTmgnhvrT21a2021,其中： ，将其代入动能定理的积分式，可得：rre2a )sin()cos(vvvm)si(c 2r2r20将 代入上式，可求得：rvcs 2rco1ghn由 可求得：2r2re2a )sin()os(v 21ra cos)(vz evrv9220 取链条为研究对象，设链条单位长度的质量为 应用动量矩定理，链条对 O 轴的动量矩为：&3rLO外力对 O 轴的矩为： sindcos202grrMri23rLO&Q因为： ，所以上式可表示成：ddvrtvt&singvrd)i(d积分上式可得： crgv)os21由初始条件确定积分常数 ，最后得：c 21/)cos2(grvsdggr
