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1、夔府学堂 伴你成长夔府学堂 伴你成长第一章集合及简易逻辑第一讲基础知识点复习：一集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，如（1）设 P、Q 为两个非空实数集合，定义集合 P+Q= ，若|,abPQ， ，则 P+Q 中元素的有_个。0,256,21（答：8）（2）非空集合 ，且满足“若 ，则 ”，这样的 共有_543SSS6个（答：7）二遇到 时，你是否注意到“极端”情况： 或 ；同样当ABI AB时，你是否忘记 的情形？要注意到 是任何集合的子集，是任何非空A集合的真子集。如集合 ， ，且 ，则实数 _.|10xa2|30BxUa（答： ）10,2三对
2、于含有 个元素的有限集合 ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依nM次为 如，2，1，n.2满足 集合 M 有_个。,345（答：7）四集合的运算性质： ；ABAU ；I ；u ；B ；u ；()UCAIUC .I如：设全集 ，若 ， ，5,43212AI 4)(BACUI，则 A_，B_.,)()(BUI（答： ， ）2,3,4五研究集合问题，一定要理解集合的意义抓住集合的代表元素。如：函数的定义域； 函数的值域； 函数图象xylg|xylg| xyxlg|),(上的点集，如（1）设集合 ，集合 N ，则 _|2Mx2|,yMNI（答： ） ；4,)（2）设集合 ， ，|(1,)3,
3、4aRr |(,3)5ar，则 _RNI（答： ）)2,(六数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和夔府学堂 伴你成长空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如：已知函数 在区间 上至少存在一个实数 ，12)(4)(2 pxpxf ,c使 ，求实数 的取值范围。0)(cf（答： ）3(,)2练习： 1 （2006 年安徽卷）设集合 ， ，则2,AxxR2|,1Byx等于（ ）RCABIA B C D,0解： ， ，所以 ，故选 B。0,24,0RRI2( 2006 年重庆卷)已知集合 U=1,2,3,4,5,6,7, A=2,4,
4、5,7,B=3,4,5,则( uA)( uB)= ( D)(A)1,6 (B)4,5(C)1,2,3,4,5,7 (D)1,2,3,6,73. （2006 年上海春卷）若集合 ，则13 1,2,0yxyxAB 等于( B )（A） . （ B） . （C） . （D） .1,4 （2006 年全国卷 II）已知集合 Mx |x3 ，N x |log2x1 ，则 MN ( D )（A） （B） x|0 x3（C ） x |1x3 （D） x|2x3第二讲:命题七.复合命题真假的判断。 “或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假” ；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真” ；“非命题”的真假
5、特点是“真假相反” 。如：在下列说法中：“ 且 ”为真是“ 或 ”为真的充分不必要条件；pqpq“ 且 ”为假是“ 或 ”为真的充分不必要条件；“ 或 ”为真是“非 ”为假的必要不充分条件；“非 ”为真是“ 且 ”为假的必要不充分条件。其中正确的是_（答：）八四种命题及其相互关系。若原命题是“若 p 则 q”，则逆命题为“若 q 则 p”；否命题为“若p 则q” ；逆否命题为“若q 则p” 。提醒：（1）互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等价；（2）在写出一个含有“或” 、 “且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非
6、且即或” ；（3）要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定；（4）对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“ ”判AB断其真假，这也是反证法的理论依据。（5）哪些命题宜用反证法？如：） ；夔府学堂 伴你成长（1）已知函数 ，证明方程 没有负数根。2(),1xfa0)(xf九充要条件。关键是分清条件和结论（划主谓宾） ，由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。从集合角度解释，若 ，则 A 是 B 的充分条件；若 ，则 A 是 B 的必要条件；若 A=B，则BA 是 B
7、的充要条件。如：（1）给出下列命题： 实数 是直线 与 平行的充要条件；0a12yx32yax 若 是 成立的充要条件；,bRb 已知 ， “若 ，则 或 ”的逆否命题是“若00或 则 ”；xy“若 和 都是偶数，则 是偶数”的否命题是假命题 。aa其中正确命题的序号是_（答：） ；（2）设命题 p： ；命题 q: 。若p 是q 的|43|1x0)1()2(axx必要而不充分的条件，则实数 a 的取值范围是 （答： ）1,2练习：1 （2006 年全国卷 I）设集合 ， ，则20Mx2NxA BNI MIC DURU集合 M 写成区间形式为（ 0，1） ，集合 N 写成区间形式为（ 2，2）
8、，M 是 N 的真子集。故 B 成立。虽然是第一个小题儿，但是出成这个样子也是让人诧异的。2 （2006 年江苏卷）若 A、 B、C 为三个集合， ，则一定有CA（A） （B） （C） （D）A解：由 知， ，故选（A）I,BU点评：本题主要考查集合间关系的运算3 （2006 年江西卷）已知集合 Mx| ，Ny|y3x 21，x R ，则3x01（ ）M N（ C ）A B. x|x 1 C.x|x 1 D. x| x 1 或 x 0解：Mx|x 1 或 x 0 ，Ny|y 1故选 C4 （2006 年辽宁卷）设集合 ,则满足 的集合 B 的个数是（ ）2A,2AB(A)1 (B)3 (C)4
9、 (D)8【解析】 ， ，则集合 B 中必含有元素 3，即此题可转化为求集,23B合 的子集个数问题，所以满足题目条件的集合 B 共有 个。故选择答案24C。【点评】本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题，同时考查了等价转化思想。第三讲十一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为夔府学堂 伴你成长的形式，若 ,则 ；若 ,则 ；若 ,则当 时，axb0abx0abx0ab；当 时， 。如R已知关于 的不等式 的解集为 ，则关于 的不等式x)32()()31,(x的解集为_0)2()3(aba（答： ）|3十一一元二次不等式的解集（联系图象） 。尤其当 和 时的解集你
10、会正确表示0吗？设 , 是方程 的两实根，且 ，则其解集如下表：12x2axbc12x20abc2abc0abxc0或1|x2x或1|x12|x12|aR |xaR R 如解关于 的不等式： 。x01)(2x（答：当 时， ；当 时， 或 ；当 时， ；当0a1axa01xa时， ；当 时， ）1十二对于方程 有实数解的问题。首先要讨论最高次项系数 是否为 0，02cbx其次若 ，则一定有 。对于多项式方程、不等式、函数的最a042c高次项中含有参数时，你是否注意到同样的情形？如：（1） 对一切 恒成立，则 的取值范围是_21Rxa（答： ）；(1,2十三一元二次方程根的分布理论。方程 在 上
11、有两2()0()fabc)k根、在 上有两根、在 和 上各有一,mn,根的充 要条件分别是什么？ （0()2fkba、 、 ） 。根的分布理论成0()2fnbma()0fk立的前提是开区间，若在闭区间 讨论方程 有实数解的情况，可先利用在开,)(xf区间 上实根分布的情况，得出结果，再令 和 检查端点的情况),(nmn如实系数方程 的一根大于 0 且小于 1，另一根大于 1 且小于 2，则2xb的取值范围是_1ab（答：（ ，1） ）4十四二次方程、二次不等式、二次函数几个二次之间的联系你了解了吗？二次方程y (a0) O k x1 x2 x 夔府学堂 伴你成长的两个根即为二次不等式 的解集的
12、端点值，也20axbc20()axbc是二次函数 的图象与 轴的交点的横坐标。2yaxbc练习：（1）不等式 的解集是 ，则 =_32xa(4,)ba（答： ） ；18（2）不等式 对 恒成立，则实数 的取值范围是_2310xb1,2xb（答： ） 。第四讲：专题“三步法”解一元二次不等式利用一元二次不等式、二次函数、一元二次方程之间的关系，三步可求出一元二次不等式的解集，且简便快捷。第一步求出一元二次不等式对应的一元二次方程的根，第二步作出一元二次不等式对应的二次函数图象，第三步根据图象写出不等式的解集。例 1 解不等式 06x2。解析：方程 的解为 3x21， 。函数 6xy2的图象如图1
13、。因不等式 2的解为抛物线 6y在 x 轴下方对应点的横坐标，所以可得不等式 的解集为 |。点评：作相关二次函数的图象时，可不必作出 y 轴，因为求解一元二次不等式，只需找出抛物线在 x 轴上（或下）方对应点的横坐标，与 y 轴的位置并无关系。例 2 解关于 x 的不等式0a2。解析：原不等式等价于 )x(。方程 0)ax(2的根为 x=a 或ax，抛物线 )(y开口向上。当 a=0 或 a=1 时， 2a，如图 3，原不等式的解集为 。夔府学堂 伴你成长当 1a0时， 2a，如图 4，原不等式的解集为 ax|2。当 a1 或 a1增函数x0 时y1； 00 且a 1）叫 指 数函 数00 时01无 最 值a1Oyx 增函数x1 时y0； 00 且a 1）叫 对 数函 数 01 时 y0无 最 值夔府学堂 伴你成长函 数 y ax 与 y a x （ a0 且 a 1） 关 于 y 轴 对 称 ； 函 数 y ax与 y logax 关 于 y x 对 称对 称 性函 数 y logax 与 y1loga（ a0 且 a 1） 关 于 x 轴 对 称2. 记住常见指数函数的图形及相互关系以及常见对数函数的图形及相互关系
