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1、1乡土教材浅谈初中数学的列方程解应用题2目录一、问题的背景：二列方程的步骤、三、列方程中的“设元”四、应用题中的相等关系五、列方程的一般规律：3一、问题的背景：应用性试题，是指有实际背景或实际意义的数学问题。随着课程改革的不断深入，应用性试题所涉及的知识领域越来越广，除了传统的行程、工程、测量、浓度等问题外，还包括具有时代气息的营销决策，生产计划安排，银行存款，租船租车，旅游方案，国民 总产值和人口增长率等问题，题目取材于现实生活，情景新颖，立意独特，包含大量的数学知识。它也是今后中考命题的一个热点问题。应用题常见的题型有：方程型应题、不等式型应用题、函数型应用题、统计型应用题、几何型 应用题
2、。而方程应用题是学习其他应用题的基础，学生必须学会列方程解应题。二列方程的步骤、1、认真审题：弄清题意和题中的数量关系，用字母表示题目中的一个未知数；2、找相等关系：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系；3、列方程：根据找出的相等关系列出需要的代数式，从而列出方程；4、解方程：解所列出的方程，求出未知数的值；5、答：根据问题的实际意义，写出答案（包括单位名称）三、列方程中的“设元”设元是学生必须掌握的一种技能，也是列方程解应用题的关键步骤之一。恰当地设元，往往能收到事半功倍的神奇效果。如何设元，需要根据具体问题的条件确定。下面通过具体例题简要说明列方程解应用题中常见的四种设元方法。4（一）
3、、直接设元直接设元，就是将题目中要求的量设为未知元，即问什么设什么。、 1、 一件夹克按成本价提高 50%后标价，后因季节关系按标价的 8折出售，每件以 60 元卖出，这批夹克每件的成本价是多少元？解、设这批夹克每件的成本价是 x 元，根据题意得，（1+50%）80%x=60 解得 x=50 答：略。（二）、间接设元所设的量不是所求的，但容易找出符合题意的数量关系，这种把题中要求的量以外的其他量设为未知元的方法，称之为间接设元。例 2 甲，乙二人分别后，甲沿着铁轨方向反向而行。此时，一列火车均速地向甲应面驶来，列车在甲旁驶过，用了 15 秒；然后在乙身旁开过，用了17 秒。已知两人的步行速度都
4、是 3.6 千米/时 ，这列火车有多长？解 设这列火车的速度为 X 米/秒，根据题 意，得(X+1)15=(X-1)17 (注：3.6 千米 /时1 米/秒) 解得 X16所以（16+1）15255(米) 答：略（三）、辅助设元辅助设元，也叫设而不求。有些应用题中隐含一些未知的量，这些量对于求解无直接关系，但如果不知指明这些量的存在，则难以求解。因此需把这些未知的量设为未知元，以便建立等量关系，称之为辅助设元.、 3 某音乐厅月初决定在暑假期间举办学生专长音乐会。入场券分为团体票和零售票，其中团体票占总票数的 23。若提前购票，则给予不同程5度的优惠，在五月份内，团体票每张 12 元，公售出团
5、体票数 3/5，零售票每张 16 元，共售出零售票数的一半。如果在六月份内，团体票按每张 16 元出售。那么零售票应按每张多少元定价才能使则两个月的票款收入持平？解 设总票数为 A 张，六月份零售票应按每 张 X 元定价，依题意，得2/3 A3/512+1/3A1/216=2/3A2/516+1/3A1/2X解得 X19.2答：略、 4 山脚下有一池塘，山泉以固定的流量（即单位时间内流入池塘的水量相同）不停地向池塘中流淌。现池塘中有一定深度地水，若是一台 A 型抽水机则 1 小时后正好把池塘中地水抽完，若用两台 A 型抽水机则 20 分钟正好把池塘中地水抽完，若用 3 台 A 型抽水机同 时抽
6、，则需要多长时间恰好能把池塘中水抽完？解：设泉水每分钟流进池塘里地水 X 立方米，每台抽水机每分 钟抽水Y 立方米，池塘中原存水 Z 立方米，三台抽水机抽完池塘中水需要 T 分钟，根据题意得：60X=Z 60Y-220Y-20X=Z 3TY-TX=Z - 得 2 12 4将 代入 得 Z=60X 4 1 5将 代入 得 Z=1245 36即用三台 A 型抽水机同时抽，需要 12 分钟 可把池塘中的水抽完。（四）、整体设元有些应用题未知量太多，而已知关系又太少，如果某一部分未知量存在一个整体关系，则可设这一部分为一个未知元，这样就减少了设元的个数，称为整体设元。例 5、有一个六位数，后三位数是
7、857，将 这个六位数乘以 6 以后，恰好前三位数与后三位数互换位置，求原六位数。解：设前三位数为 x , 则原六位数为 1000x+857，根据题意得， 6（1000x+857）=8571000+x解这个方程得，x=142原六位数=1000 142+857=142857答：略。例 6、古希腊数学家帕普斯是丢番图最得意的一个学生，他很小的时候就跟丢番图学习数学，有一天他向老师请教一个问题：有四个数，把其中每三个相加，其和分别为 22、24、27、20。求这 个四位数。解：设这个四位数之和为 x，那么这四个数就分别为 X22，x-24，x-27，x20，依据题意得x=(x-22)+(x-24)+
8、(x-27)+(x-20)解得 x=31 所以这个四位数是 9、7、4、11。四、应用题中的相等关系(一) 、从关 键词语中找等量关系：在应用题中，等量关系往往通过一定的词语表现出来，所以在审题时，说先要留意描述它的语句。这种语句，一般7含有“是”、 “一共”、 “比多”、 “比少”、 “是几倍”、 “比几倍多几”、 “增加了”、“减少了”、 “增加到”、 “减少到”等词语，很容易找到。(二) 、从各种公式中找等量关系。如几何形体的周长、面积、体积等公式的本身就表达了等量关系，列方程时经常要用到它。(三) 、从 线段图中找等量关系。有些比较复杂的应用题，不易立即看出等量关系，可以画出线段图帮助
9、寻找。(四) 、从基本数量关系中找等量关系。有的应用题等量关系比较隐蔽，必须熟悉基本的数量关系才能找到。(五) 、列方程解 应用题的主要类型及其数量关系：1、 行程问题基本关系：路程速度时间基本类型：直线型的相遇问题、追及问题、航行问题，环形问题。常用的相等关系：（1）、相遇问题：同时不同地相向而行：两者路程和两地距离；两者所用时间相等不同时不同地相向而行：两者路程和两地距离两者所用时间之差先行者先行时间（2）、追及问题：同时不同地：快者路程慢者路程两地距离快者时间慢者时间同地不同时：快者路程慢者路程8快者时间慢者时间慢者先行时间（3）、航行问题：顺水速度静水速度水流速度 逆流速度静水速度水流
10、速度（4）、环形问题：同时同地同向而行：第一次相遇：快者路程慢者路程环形周长；第二次相遇：快者路程慢者路程2 个环行路长同时同地背向而行：同时同地同向而行：第一次相遇：快者路程慢者路程环形周长。2、工程问题：基本关系：工作量 工作效率工作时间相等关系：各队工作量的和全部工作量3、利润问题相等关系：利润售价进价；利润利润率进价售价标价打折数4、年龄问题：这类问题应抓住两个关键：（1）两者年龄之差是一个不变量；（2）两者增长的年龄数相同。5、数字问题此类问题多采用间接设元，注意数位上的数字关系和含数位的数字关系的不同。6、比例问题：9比例问题多采用间接设元，例如三角形周长是 60，三边之比是3：4
11、：5，求三 边之长。可设三边长为 3x、4x、5x。列方程为 3x+4x+5x60,使问题得到解决。 7、配套问题:甲工件的数量=乙工件数量的几倍8、单位面积产量、 总面积和总产量的关系。单位面积产量总面积=总产量9、单价、数量和 总价的关系。单价数量=总价10、每份数、份数和总数的关系。每份数份数= 总数11、大数、小数和相差数的关系大数小数= 相差数12、部分和总数的关系。一部分另一部分=总数五、列方程的一般规律：列方程解应用题是初中代数的重点内容之一，其关键是根据题意列出方程，而列方程的关键是寻找题目中的相等关系。应用题中的相等关系看似纷杂无绪，但归结起来不外乎两类：一类是题目中涉及的基
12、本的相等关系，一类是题目中蕴含的特殊的相等关系；它们各有用途，前者一般用于寻找列方程需要的代数式，后者则多运用于设未知数和列出方程。以上是列一元一次方程的办法。（一般地、有几个特殊等量关系，就能列几个方程，组成方程组。）例1、（2006年、南京）某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为610元/辆，小型汽车的停车费为4元/辆，现在停车场有50辆中小型汽车，这些车共缴纳停车费230元，问中小汽车各有多少辆？分析：本题的基本等量关系是：总价单价数量，特殊等量关系是：中型车数+小型车数50辆， 中型车收费 +小型车收费230元。 用特殊等量关系设未知数：设中型汽车有X 辆，则小型汽车有(50-X)
13、辆。用特殊等量关系列方程：中型车收费+小型车收费230，并用基本等量关系表示列方程所需的代数式：中型车收费6X元，小型 车收费4(50-X) 元，则所列方程为6X+4(50-X) 230 例 2、某校举办的珠球比赛中规定：胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分。某班足球队参加了 12 场比赛，共得 22 分。已知这个足球队输了 2 场，那么 这个足球队胜了几场？负了几场？分析：本题的基本等量关系是：应得分数比赛场数每场得分。特殊等量关系是： 胜的场数+平的场数+ 负的场 数12 场；胜场得分数+平场得分数+负场 得分数22 分。用特殊等量关系设未知数：设这个足球队胜 X 场，平(
14、12-X-2)场。用特殊等量关系列方程：胜场得分数+平场得分数+负场得分数22 分，并用基本等量关系表示列方程所需的代数式：胜场得分数3X 分，平 场得分数1(12-X-2)分， 负场 得分数 02 分，则所列方程为：3X+1(12-X-2)+ 0222 例3、同学们到距学校15千米的生产基地去支农，一部分学生骑自行车先去，40分钟后，其余的人乘汽车去， 结果同 时到达。已知汽车得速度是自11行车的3倍，求两车的速度。分析：用 s 表示路程，v 表示速度， t 表示时间 。本题需要的基本等量关系是 svt,用它可以找出列方程所需要的两个代数式：自行车行 15 千米用的时间是(15/v) 小时，
15、汽车行驶 15 千米用的时间是(15/3v)小时，本 题中蕴 含着两个特有的相等关系： 汽 3 自 t 汽 t 自 - (2/3) 用式 设出未知数：自行车速度为 v 千米/时，那么汽车的速度为 3v 千米/ 时；用式可列方程 (15/3v)(15/v)(2/3)。例 4、甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做 6 个，甲做90 个用的时间与乙做 60 个所用的时间相等，求甲、乙每小时个做多少个？分析： 本题的基本等量关系是工作量工作时间工作效率，两个特殊等量关系是：甲的工作效率乙的工作效率+6，甲做 90 零件的时间乙做 60 个零件的时间。 用特殊等量关系设未知数：设甲的工作效率为 X 个/ 小时，则乙的工作效率为
