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1、第 6 组：潘光松，刘博，杜晶习题 10-6问题：某公司想用全行业的销售额作为自变量来预测公司的销售量，表中给出了 19771981年公司的销售额和行业销售额的分季度数据（单位：百万元）（1（ 画出数据的散点图，观察用线性回归模型拟合是否合适。（2（ 建立公司销售额对全行业的回归模型，并用 DW 检验诊断随机误差项的自相关性。（3（ 建立消除了随机误差项自相关性之后的回归模型。分析与假设：表中的数据是以时间为顺序的。由于前期的销售额对后期的投资一般有明显的影响，从而对后期的后期的销售额造成影响。因此在此模型中因考虑到出现自相关型时，建立新的回归模型。记公司公司的销售额为 y，全行业的销售额为
2、x,利用 x 来建立 y 的预测模型。基本回归模型：为了大致分析 y 和 x 的关系，首先利用表中的数据作出 y 对 x 关系作出散点图，如下（见图中的+）：做散点图：x=A(:,2); y=A(:,1); plot(x,y,+)图一从图一中可以看出，随着 x 的增加,y 的值有比较明显的线性增长趋势，图中的直线是用线性模型，因此可建立一元线性回归模型y=0+1x+ (1)拟合的（其中 是随机误差），这里假设 （对 t 相互独立）且服从 N(0, ).根据表中的数据，对模型（1）直接利用 matlab 统计工具箱求解、算法如下：xx=ones(20,1),x;b,bint,r,rint,sta
3、ts=regress(y,xx);hold on;yy=b(1)+b(1)*x;plot(x,yy)hold off;得到的回归系数估计值及其置信区间（=0.05）， 检验统计量 R,F,P 的结果如表 1：参数 参数估计值 参数置信区间0 -1.4548 【-1.9047 -1.0048】1 0.1763 【0.1732 0.1793】R=1.0e+004 *0.0001 F=1.0e+004 *1.4888 P=1.0e+004 *0.0000表 1 模型（1）的计算结果将参数的估计值带入（1）中得到yy=-1.4548+0.1763*x (2)用 matlab 中的 restool 命令
4、得到的交互式画面见图 2，由此可以得出不同水平下的预测值及其置信区间。通过左下方的 Export 下拉式菜单。可以输出模型的统计结果。rstool(x,y) 得出 y1= 24.569+/-0.051307 当 x=147.625 时且通过 Export 下拉菜单可得出 beta 0=-1.4548，beta1=0.1763rmse(剩余标准差)= 0.086056图二自相关性诊断与处理方法从表面上来看得到的基本模型（2）拟合度非常高，接近你 100%，应该很满意了，但是 这个模型并没有考虑到我们的数据是一个时间序列（将原表中的数据打乱不影响，模型（2）的结果）。实际上对于时间序列数据做回归分
5、析时，模型的随机误差 有可能存在相关性，违背模型 关于 （对时间 t）相互独立的基本假设，其他相关因素对公司销售额的影响肯能也有时间上的延续，即误差 会出现自相关性。残差 e=y-yy, yy 为估计值e 可作为随机 误差 的估计值 ，画出 e e 的散点图，能够直观的判断 的自相关性，模型（2）的残差可在计算过程中得到表 2，以及数据 e e 的图见图 3做残差图：plot(x,r,+)t 1 2 3 4 5e -0.0282 -0.0642 0.0198 0.1616 0.0443t 6 7 8 9 10e 0.0441 0.0412 -0.0608 -0.0968 -0.1516t 11
6、 12 13 14 15e -0.1505 -0.0555 -0.0255 0.1033 0.0828t 16 17 18 19 20e 0.1034 0.0263 0.0395 -0.047 -0.0359表 2为了对 的字相关性做定量的诊断，并在确诊后得到新的结果，我 们 考虑如下模型y=0+1x+，=P+u,其中 p 是自相关系数，|p|0，则随机误差 存在正的自相关；若 p0，则随机误差 存在负的自相关。利用 D-W 检验诊断自相关现象如下：e=y-yy;ee=e(2:20,:);eee=e(1:19,:);y0=sum(ee-eee).2);y1=sum(ee.2);DW=y0/y1
7、;p=1-0.5*DW;算出y0 = 0.0980 y1 = 0.1326DW = 0.7388 p = 0.6306因为 DW2（1-p），所以 0DW4,若 p 的估计值在 0 附近，则 DW 的值在 2 附近， 的自相关行很弱，若 p 在正负 1 附近， 则 DW 接近 0 或 4， 的自相关性很强。加入自相关后的模型利用表 2 给出的残差 e,根据以上式子可得出 DW=0.7388，对于显著性水平=0.05，n=20,k=2,查 D-W 分布表，得到 检验的临界 值 dL=1.2 和 dU=1.4.现在 DWdL,因此可以认为随即误差存在正自相关，且 p 可得出=0.6306。以 p
8、的估计值带入（3）和（4）做变换，利用变换后的数据 y4,x4 估计模型(5)的参数，得到的表见表 3，还可以得出剩余标准差 rmse=0.08828.y2=y(2:20,:)y3=y(1:19,:)x2=x(2:20,:);x3=x(1:19,:);y4=y2-y3*p; （3）x4=x2-x3*p （4）yyy= y=0+1x+u, 0=0(1-p) (5)b1,bint1,r1,rint1,stats1=regress(y4,ones(19,1),x4);最后将模型（5）的变量还原为原始变量。得到的结果如下yyy=-0.3951+0.6306*y3+0.1738*x2-0.1096*x3
9、;表 3参数 参数估计值 参数置信区间0 -0.3951 -0.7481 -0.04221 0.1738 【0.1675 0.1800】R=1.0e+003 *0.0010 F=1.0e+003 *3.4621 P=1.0e+003 *0.0000结果极其预测从机理上看，加入自相关的模型（5）更为合理。将原表中的数据和得到的两个新的模型进行比较，可以得到如下表。以及下图e1=yyyy-yyy;t=2:20;subplot(1,2,1);plot(y2,yyy,+)hold on;yyyy=yy(2:20,:);plot(y2,yyyy,o)hold off;subplot(1,2,2);plo
10、t(t,ee,+)hold on;plot(t,e1,o)t y(实际数据) yy(模型 1) yyy（模型 2） ee e12 21.4 21.464 21.464 -0.0642 4.00E-063 21.96 21.94 21.915 0.01979 0.025214 21.52 21.358 21.399 0.16158 -0.040265 22.39 22.346 22.456 0.0443 -0.110476 22.76 22.716 22.756 0.04407 -0.040087 23.48 23.439 23.472 0.04124 -0.0338 23.66 23.721
11、23.755 -0.06084 -0.033679 24.1 24.197 24.162 -0.09685 0.03493410 24.01 24.162 24.109 -0.15159 0.0528911 24.54 24.69 24.595 -0.15049 0.09522412 24.3 24.356 24.27 -0.05552 0.08505613 25 25.025 24.988 -0.02546 0.0376614 25.64 25.537 25.517 0.10327 0.0199715 26.36 26.277 26.332 0.08281 -0.0552716 26.98 26.877 26.917 0.10339 -0.0404917 27.52 27.494 27.544 0.02634 -0.0500718 27.78 27.74 27.744 0.03952 -0.0034919 28.24 28.287 28.293 -0.04701 -0.0062620 28.78 28.816 28.765 -0.03591 0.050926
