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1、典型例题例 1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程（1） （2） 分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出 p，再写出焦点坐标和准线方程（2）先把方程化为标准方程形式，再对 a 进行讨论，确定是哪一种后，求p 及焦点坐标与准线方程解：（1） ，焦点坐标是（0，1），准线方程是： （2）原抛物线方程为： ， 当 时， ，抛物线开口向右，焦点坐标是 ，准线方程是： 当 时， ，抛物线开口向左，焦点坐标是 ，准线方程是： 综合上述，当 时，抛物线 的焦点坐标为 ，准线方程是： 例 2 若直线 与抛物线 交于 A、 B 两点，且 AB 中点的横坐标为 2，求此直线方程分析：由直线与抛物线
2、相交利用韦达定理列出 k 的方程求解另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关，故也可利用“作差法”求 k解法一：设 、 ，则由： 可得：直线与抛物线相交， 且 ，则 AB 中点横坐标为： ，解得： 或 （舍去）故所求直线方程为： 解法二：设 、 ，则有 两式作差解： ，即 ，故 或 （舍去）则所求直线方程为： 例 3 求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切分析：可设抛物线方程为 如图所示，只须证明，则以 AB 为直径的圆，必与抛物线准线相切证明：作 于 于 M 为 AB 中点，作 于 ，则由抛物线的定义可知： 在直角梯形 中： ，故以 AB 为直径的圆，必与抛物线的准线相切说明：类似
3、有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交例 4（1）设抛物线 被直线 截得的弦长为 ，求 k值（2）以（1）中的弦为底边，以 x 轴上的点 P 为顶点作三角形，当三角形的面积为 9 时，求 P 点坐标分析：（1）题可利用弦长公式求 k，（2）题可利用面积求高，再用点到直线距离求 P 点坐标解：（1）由 得： 设直线与抛物线交于 与 两点则有：，即 （2） ，底边长为 ，三角形高 点 P 在 x 轴上，设 P 点坐标是 则点 P 到直线 的距离就等于 h，即 或 ，即所求 P 点坐标是（1，0）或（5，0）例 5 已知定直线 l 及定点 A（ A 不
4、在 l 上）， n 为过 A 且垂直于 l 的直线，设 N 为 l 上任一点， AN 的垂直平分线交 n 于 B，点 B 关于 AN 的对称点为 P，求证 P 的轨迹为抛物线分析：要证 P 的轨迹为抛物线，有两个途径，一个证明 P 点的轨迹符合抛物线的定义，二是证明 P 的轨迹方程为抛物线的方程，可先用第一种方法，由A 为定点， l 为定直线，为我们提供了利用定义的信息，若能证明 且即可证明：如图所示，连结 PA、 PN、 NB由已知条件可知： PB 垂直平分 NA，且 B 关于 AN 的对称点为 P AN 也垂直平分 PB则四边形 PABN 为菱形即有 则 P 点符合抛物线上点的条件：到定点 A 的距离与到定直线的距离相等，所以 P 点的轨迹为抛物线
