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1、循序渐进，培养学生的合情推理能力南平市教师进修学校 余 辉教师应如何培养学生的合情推理能力呢？笔者认为，首先要帮助学生养成合情推理意识，其次要让学生经历完整的合情推理过程：第一步，让学生通过解读问题或情境信息，明确要解决的问题，做到思之有“源” ；第二步，让学生寻找与当下信息有关的已有数学知识、经验，建立两者之间的联系，并确定哪些可以作为合情推理的基础，做到推之有“据” ；第三步，让学生整理思路，利用合情推理知识解决问题，做到言之有“理” ；第四步，让学生反思解决问题的途径和结果的合理性，辩证地看待合情推理，做到用之有“忧” 。教师只有将培养学生的合情推理能力与具体的学习过程相结合，才能真正循
2、序渐进地提高学生的合情推理能力。1让学生思之有“源”得到数学结论前，合情推理帮助我们猜想和发现；得到数学结论时，合情推理为我们提供证明的思路和方向。合情推理主要有归纳推理、类比推理、统计推断、数学直觉等。合情推理的实质是“发现猜想” ，而培养合情推理能力应以观察为基础，以联想为桥梁，以想象为动力，以创新为目的。教师应为学生营造一个可供猜想的情境，让学生借助有利于萌发猜想的素材，有机可“猜” 。（1）提供关系结构或规律相同的同类型材料，让学生归纳推理。归纳是从特殊到一般，从个别事物中概括出一般规律的思维方法，包括不完全归纳和完全归纳，而小学数学中采用的多是不完全归纳。不少数学知识都是通过“观察归
3、纳验证”发现的。针对归纳推理，教师根据需要研究的问题，给学生提供或引导学生搜集材料时，应做到：一是提供一定数量的同类型材料，一般不少于三个；二是提供某些方面结构相同或规律明显的材料；三是提供所蕴涵的关系或呈现出来的规律，学生能够通过自主探索得到，并具有推广价值的材料。通过提供的这些材料，使学生能够从“多”中求“同” ，归纳概括出有效结论。例如教学分数的基本性质时，某教师根据教学内容的特点，不失时机地创设问题情境，让学生利用三张同样大小的长方形纸条，分别折出长方形纸条的 1/2、2/4 和 4/8，借助纸条直观地比较1/2、2/4 和 4/8 的大小，组织学生通过观察分析，比较 1/2 和 2/
4、4、2/4 和 4/8、1/2 和 4/8 各组分数的分子、分母的变化情况，发现这三组分数都具有分子、分母同时乘以或除以同一个不为 0 的数，分数的大小不变的性质，于是猜想所有的分数都可能具有这一性质。（2）提供具有某些相似性的不同类型材料，让学生类比推理。类比推理是从两个不同对象的某些类似属性，猜测这两个对象在其他方面也可能有类似属性的推理。类比推理的基础是比较，关键是迁移。当我们遇到一个新的问题时，首先想到的是有没有一个类似的、已经解决的问题可以与之对比，因此素材选择的合理性是影响学生类比推理的关键因素。选择类比推理的素材时，教师首先要深入分析需要探究问题的特点，以及所蕴涵的数量关系和结构
5、；其次是寻找学生已有知识中具有相似特点的素材，由这种相似性的分析，类比出他们其他性质的可行性和可靠性；再次是要对可供选择的材料进行适当处理，使之能够凸显有待解决问题的主要性质或关系。根据教师提供的这些学习材料，学生就可以通过具有紧密联系的旧材料、旧知识，根据知识间属性的相同或相似，分析，类比、猜测新知识也可能具有此属性，然后举例验证得出结论。例如，教学圆柱的体积时，某教师针对“圆柱体的体积=底面积高”这一公式的推理是这样处理的：首先，他对小学生已经学过的体积公式进行过滤，得出：长方体、正方体与圆柱体都“比较直” ，都是直柱体，外在形式具有相似性；其次，他强调虽然长方体、正方体体积公式的主要表征
6、形式不相同（长方体体积=长宽高，正方体=棱长棱长棱长） ，但长方体、正方体的体积都可以用“底面积高”表示，引导学生猜想：圆柱体的体积公式可能是怎样的，用什么方法可以验证自己的猜想。（3）提供实验情境或统计数据，让学生统计推理。 数学课程标准要求让学生从不同层面体会统计对决策的作用：一是对某事件有一个猜测，为了检验这个猜测，学生要自己设计统计活动，动手收集、整理与分析数据；二是面对统计活动得到的大量数据，学生能够根据已有的知识对这些数据进行分析，作出合理的预测（或推测） 。教学时，教师应为学生提供有现实意义的统计素材和情境，让学生主动地尝试运用所学的统计知识和方法寻求解决问题的策略。例如，教学北
7、师大版一年级下册组织比赛时，某教师通过组织“实验统计分析”的数学活动，让每一名学生都参与数据的处理活动，了解数据的来源与内容，学习加工数据的方法，进而让学生说一说同学们最喜欢什么活动、组织什么比赛好，引导学生分析数据，做出合理的决策。虽然学生根据统计数据决定开展的项目不一定就是比赛的项目，但是进行统计推理的过程有助于学生在纷繁复杂的信息中作出选择、判断、决策，发展合情推理能力。（4）提供结构化、整体化的素材，培养学生的数学直觉能力。所谓数学直觉，是人脑对数学对象、结构、关系以及规律性的某种直接领悟或洞察。它表现为对数学对象事物的一种迅速的识别、直接的理解、综合的判断、整体的把握，是一种不包含普
8、通逻辑推理过程的直接悟性，属于非逻辑的方法论范畴。直觉是一种思维形式，它是在丰富的知识与经验的基础上，在短时间内直观地把握事物的本质、瞬间做出判断的思维形式。一个人的数学思维、判断能力的高低往往取决于直觉思维能力的高低。直觉尽管“突如其来” ，但并不是神秘莫测的东西，而是在长期积累起来的知识和经验的基础上形成的。要培养学生的数学直觉能力，关键在于教师要给学生提供结构化、整体化的教材，引导学生开拓思想，大胆猜测，从复杂的问题中寻找内在的联系，特别是发现隐蔽的联系，从而把各种信息做综合考察并做出直觉判断。2让学生推之有“据”数学课程标准强调，要让学生“经历观察、实验、证明等数学活动全程，发展合情推
9、理能力和初步的演绎推理能力”。虽然合情推理受到了教师们的普遍关注，但由于合情推理带有较强的情境性、个体性，因此部分教师认为合情推理只要有道理、说得通就行。其实，合情推理不是无根之本，无源之水，而是立足于学生已有知识经验和数学思考的，是“有一定根据的” 。 如何让学生在合情推理的过程中，做到推之有“据”呢？教师首先要给学生提供“合情”的情境，让学生经历探索数学的过程后再进行“推理” （或称之为猜测、推测)。其次，要教给学生一定的合情推理方法，让学生猜测或推测出可能的规律、结论。第三，教师要鼓励学生积极寻找猜想的依据，思考猜想的合理性和准确性，而不能满足于已经得出的结论。例如，教学13 亿粒米有多
10、重时，教师如果简单地让学生猜测“13 亿粒米有多重” 。学生根本不需要思考，就可以信口开河报出“15 千克” 、 “100 千克” 、 “200 千克” 、 “1000 千克”等五花八门的答案。而这些猜测是没有根据的，没有“合情”的成分，与答案“13 亿粒米约有 26 吨重”这一较科学的结论相差甚远。如何让学生“有根有据” 、合理科学地猜测呢，教师首先要组织学生思考：“用怎样的方法才能比较可靠地得出 13 亿粒米有多重?”由于不可能数出 13 亿粒米再来称，那该怎么办?这样就“逼”着学生想办法，进而通过讨论得出，要知道 13 亿粒米有多重，必须先称出一部分(若干粒)米的重量，再猜测(推测)出
11、13 亿粒米的重量。这样既有效避免了学生信口开河的猜测，又让学生经历了探索的过程，同时学到了科学合理的方法。3让学生言之有“理”对不同的个体而言，运用逻辑推理解决问题的依据、过程、结论往往是相同的，而运用合情推理解决问题的依据、过程、角度和结论都有可能不同。因此，在引导学生借助合情推理解决问题时，教师要尊重学生原有的生活经验和知识基础，要尊重学生的独特的思维，鼓励他们大胆说出自己的推理过程，把自己的推理依据、过程以及得到的结论表达出来，使其认识更加明确、思维更加完善。数学课程标准指出：“逐步培养学生能够有条理有根据地进行思考，比较完整地叙述思考过程，说明理由” 。如何让学生在合情推理的过程中，
12、做到言之有理呢？教师在训练学生说理的过程中，一方面要注意学生语言的准确性、完整性和规范性，要引导学生在学习知识、运用知识的过程中，把头脑中的逻辑思维过程，用数学语言清晰、简洁、准确地表达出来。另一方面，要教给学生回答问题时的一些常用句式，如“因为所以” 、 “先然后最后” 、 “题目要求必须先” 、 “根据和可以”等，逐步帮助学生形成一种“说话”完整的心向。同时，教师应为每个学生提供“说”的机会，要为学生的“说”创设一个良好的心理环境，使学生的不同意见能够互相交流，在“说”中激发学生学习的需要与兴趣，在“说”中带给学生积极的、深层次的体验，在“说”中给予学生足够自主的空间、足够活动的机会。4让
13、学生用之有“忧”数学课程标准强调“通过猜测或合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明”的教学过程，让学生通过观察、实验、归纳、类比等数学活动获得猜想，再通过论证推理验证猜想，形成结论，做到把合情推理和演绎推理融为一体。教学中，教师还应注意让学生反思解决问题的途径和结果的合理性，辩证地看待合情推理，做到用之有“忧” 。第一，教师不能因为合情推理得到的结论不严密就强调演绎推理，强调严格的逻辑证明，忽视对合情推理的研究，弱化合情推理的教学与应用，导致学生对“模式化”的常规题解答娴熟，对需要合情推理的问题无从下手。第二，不能让学生过分相信合情推理的优势，而忽略其推导出的结论存在似真实假的可能，导致学
14、生将合情推理等同于逻辑推理。要引导学生对运用合情推理解决问题的途径和结论进行反思，产生“忧患”意识。例如对于学生产生的 “乒乓球直径是 60 厘米，一辆玩具汽车重 20 千克”错误，教师要引导学生根据生活经验、生活常识，通过在回顾中迁移，在反思中验证，发现错误；而对于“128203259.84”的错误，教师要引导学生从已有的知识经验为依据，根据因数中小数的位数以及估测 132，来判断积大约是 26，与计算结果进行验证，发现错误，培养学生猜证结合的数学思想。第三，合情推理在小学教材中有着重要的应用，但教材中运用合情推理解决的问题或推出的结论基本上都是正确的，导致部分教师和学生对运用合情推理解决问
15、题的途径和结论缺少“忧患”意识。在引导学生借助合情推理解决问题教学中， ，教师应采取以下措施培养学生的合情推理意识和能力：（1）通过具有前瞻性的课前反思，引导学生回顾旧知，在记忆中搜索、反思以前所学的类似的内容、情境、方法，从而猜想本课内容的探究方法。 （2）通过具有指导性的课中反思，帮助学生梳理反思课堂中学到的数学方法或数学思想。 （3）通过具有延伸性的课后反思，引导他们反思自己解决问题的过程和方法，想办法验证得出结论的正误。必要的时候，教师还可以通过创设一些通过合情推理得出似真实假的命题情景，让学生体会到证明的必要性，掌握一定的方法，逐步养成求证的习惯。总而言之，只有学生在合情推理的同时，通过不断的反思，产生忧患意识、求证意识，才能说学生真正形成了合情推理意识，具备了一定的合情推理能力。也只有这样，学生才能正确认识合情推理与合理推理的关系，使两者相得益彰，共同促进综合思维能力的发展。
