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1、12.3.1 平面向量基本定理墨江二中 李晓婧一、教学目的：（1）了解平面向量基本定理；（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达。二、教学重难点教学重点：平面向量基本定理.教学难点：平面向量基本定理的理解与应用.三、教学过程：（一）复习引入：1实数与向量的积：实数 与向量 的积是一个向量，记作：ar ar（1）| |=| |；（2）0 时 与 方向相同；0 时 与 方向相反；=0ar时 = 02运算定律结合律：( )=() ；分配律： (+) = + ， ( +
2、)= + ar arrarbr3. 向量共线定理 向量 与非零向量 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数 ，使br= .bra（二）讲解新课：思考：（1）给定平面内任意两个向量 e1、e 2 ，请你作出向量 3e1+2e2，e 1-2e2 。（2）平面内的任一向量是否都可以用形如 1e1+ 2e2 的向量表示呢？（1）这个问题要分类讨论，分为两向量共线和两向量不共线两种情况。对于两向量共线的情况，有如下两种情形：2e1e23e1 +2e2e1 -2e2e1e23e1 +2e2e1 -2e2对于两向量不共线的情况：e1e23e1 +2e2 e1 -2e2（2）平面内的任一向量是否都可以用形如
3、1e1+ 2e2 的向量表示呢？如图，设 e1、e 2 是同一平面内两个共线的向量，a 是这一平面内的任一向量从第一个问题的结论我们知道：当向量 e1 和 e2 共线时，平面上的任意向量 a 无法用 a 1e1 + 2 e2 来表示。 对于两向量不共线的情况，如下图所示：对于一般情形，如图设 e1、e 2 是同一平面内两个不共线的向量，a 是这一平面内的任一向量。在平面内任取一点 O，作 OA=e1，OB =e 2，OC =a。过点 C 作直线 OB 的平行线，交直线 OA 于点 M；过点 C 作直线 OA 的平行线，交直线 OB 于点 N。由向量线性运算的性质可知，存在实数 1、 2，使得
4、OM= 1e1，ON= 2e2。由于 OC=OM+ON，所以a= 1e1+ 2 e2。3e1e2 aMOBCAN平面向量基本定理：如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面1e2内的任一向量 ，有且只有一对实数 1， 2 使 = 1 + 2 。在这里，我们引入基底ar are的概念：我们把不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。思考：（1）基底是唯一的吗？一组平面向量的基底有多少对？ 不唯一，无数对（2）基底可以为零吗？不能，因为零向量与任意向量平行。（3）特别地，若 a=0，有什么结论？有且只有 1 = 2 =0 时，a 等于 0。（4）若 a 与 e
5、1 或 e2 共线，有什么结论？ 1=0 或 2 =0。探究：(1) 我们把不共线向量 、 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量 a 在给出基底 、 的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式惟一. 1， 2 是被 ， ， 唯一确定的数量ar1e2注意：（1）实数对 1、2 的存在性和唯一性（2）基底的不唯一性向量的夹角已知两个非零向量 a 和 b，作 OA=a，OB=b，则AOB=（0180） ，叫做向量 a与 b 的夹角。4（1）夹角的范围：0180（2）当 =0时，a 与 b 同向（3）当 =180时，a 与 b 反向（4
6、）当 =90时，a 与 b 垂直，记作 ab求向量夹角时，注意以下三点：（1）要把两向量 a、b 起点平移到一起；（2）夹角的范围：0180；（3）夹角 的大小与 a、b 的位置状态无关。（三）讲解范例：例 1 已知向量 ， 求作向量2.5 +3 .1e21e2（略）例 2 如图 ABCD 的两条对角线交于点 M，且 = ，ABar= ，用 ， 表示 ， ， 和 ADbrarABCD（四）课堂练习：1.设 e1、e 2 是同一平面内的两个向量，则有( )A.e1、e 2 一定平行 B.e1、e 2 的模相等C.同一平面内的任一向量 a 都有 a =e1+e2(、R )D.若 e1、e 2 不共
7、线，则同一平面内的任一向量 a 都有 a =e1+ue2(、uR)2.已知矢量 a = e1-2e2，b =2 e1+e2，其中 e1、e 2 不共线，则 a+b 与 c =6e1-2e2 的关系A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定3.已知向量 e1、e 2 不共线，实数 x、y 满足(3x-4 y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，则 x-y 的值等于( )A.3 B.-3 C.0 D.24.已知 a、b 不共线，且 c =1a+2b(1， 2R)，若 c 与 b 共线，则 1= .5.已知 10， 20，e 1、e 2 是一组基底，且 a =1e1+2e2，则 a 与 e1_，a 与5e2_(填共线或不共线).（五）小结 本节主要讲了平面向量的基本定理及其简单应用。平面向量基本定理是建立在向量加法和数乘运算基础上的向量分解原理；在解题中基底的选择是多样的，灵活的，解题时我们应该选择对我们解题有利的两个不共线向量作为基底，必要时，可采用方程思想解决问题。（六）课后作业1. P101 页练习 B 组第 3、4（选做）题。2.如图，已知向量 e1、e2 ，求作下列向量：（1）3e1 +2e2（2）4e1e2
