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1、- 1 - 1 -三种功率谱估计方法性能研究1.前言:我们已经知道一个随机信号本身的傅里叶变换并不存在,因此无法像确定性信号一样用数字表达式来精确表达它,而只能用各种统计平均量来表征它. 其中,自相关函数最能完整地表它他的统计平均量值.而一个随机信号的功率谱密度正是自相关函数的傅里叶变换,可以用功率谱密度来表征它的统计平均谱密度(PSD). 跟据维纳辛钦定理,广义平稳随机过程的功率谱是自相关函数的傅里叶变换, 它取决于无数多个自相关函数值. 但对于许多实际应用中,可资利用的观测数据往往是有限的,所以要准确计算功率谱通常是不可能的.比较合理的目标是设法得到功率谱的一个好的估值,这就是功率谱估计.
2、 也就是说,功率谱估计是根据平稳随机过程的有限个观测值,来估计该随机过程的功率谱密度.功率谱估计的评价指标包括客观度量和统计度量. 在客观度量中,谱分析特性是一个主要指标. 谱分析是指估计普对真实谱中两个靠的很近的谱峰的分辨能力.统计度量是指估计的偏差, 方差 ,均方误差 ,一致性等评价指标.但需要注意的是,对统计特性的分析方法只适用于长数据记录.所以, 利用统计度量对不同的谱估计方法进行比较是不妥当的,只能用来对某种谱估计方法进行描述,并且一般只用来描述古典谱估计方法,因为现代谱估计方法往往用于短数据情况.功率谱估计可以分为经典谱估计(非参数估计) 和现代谱估计 (参数估计)。通常将傅里叶变
3、换为理论基础的谱估计方法叫做古典谱估计或经典谱估计;把不同于傅里叶分析的新的谱估计方法叫做现代谱估计或近代谱估计.前者主要有周期图法,自相关法及其改进方法. 现代功率谱估计方法主要有基于参数模型的自相关法、Burg 算法、改进的协方差方法等，基于非参数模型的 MUSIC 算法、特征向量方法等。本文选取比较有代表性周期图法, Burg 算法、Yule-Wallker 法（自相关法）算法进行计算机仿真，通过仿真发现了这些算法各自的优缺点，并进行归纳总结。2 三种算法的基本理论2.1 周期图法周期图法又称直接法,其具体步骤如下:第一步: 由获得的 N 点数据构成的有限长序列 直接求傅里叶变换,得频谱
4、xNn,即xiNe(1)-1-=0i iNNnexne 第二步: 取频谱幅度的平方,并除以 N,以此作为对 的真实功率谱 的估计,ixSe即- 2 - 2 -(2)21=i ixNSeXe综上所述，先用 FFT 求出宿疾随机离散信号 N 点的 DFT，再计算幅频特性的平方，然后除以 N，即得出该随机信号得功率谱估计。由于这种估计方法在把 R(r)离散化的同时，使其功率谱周期化，故称之为“周期图法”，也称为经典谱估计方法。周期图法进行谱估计，是有偏估计，由于卷积的运算过程会导致功率谱真实值的尖峰附近产生泄漏，相对地平滑了尖峰值，因此造成谱估计的失真。另外，当一时，功率谱估计的方差不为零，所以不是
5、一致性估计。并且功率谱估计在 等于 2 兀N 整数倍的各数字频率点互不相关。其谱估计的波动比较显著，特别是当 N 越大、2 丌N 越小时，波动越明显。但如果 N 取得太小，又会造成分辨率的下降。周期图法谱估计运算框图如下图所示，图中用 FFT 完成傅里叶变换。NN截 断Rn 2xnX 点 1FTN xNnXk Sk周期图法谱估计运算框图2.2 Burg 算法Burg 于 1976 年提出最大熵谱估计，后来又在另一篇文章中提出直接由时间序列估计模型系数的方法，被人们称为 Burg 算法。这种算法与预测误差格型滤波器有密切的关系。Burg 算法不是直接估计 AR 模型的参数，而是先估计反射系数 ，
6、再利用 Levinson 关mk系式求得 AR 模型参数。估计反射系数所依据的原则是，是前后预测误差的平均值 达到最小。需要指出的是，Burg 算法是将 FPE 功率与 BPE 功率的算术平均作为平均预测误差功率，即(3)-1-122- -=1=+22NNfbf bmmnneen 式中各阶前项预测误差和后项预测误差有下面的递推公式即(4)-1-1- -00e+=f f bmmmbbffnnkenx计算。所得的反射系数的估计公式为- 3 - 3 -(5)-1-1=m-122-1-1=2+Nfbmnmf bnenk上式中预测误差的求和范围表明，Burg 算法采用的数据加窗方法是协方差法，不含对已知
7、数据段之外的数据的人为假设。需要指出的是，Burg 算法的递推仍然受到 Levinson 递推关系的约束，也就是说，当由前后向预测误差求出反射系数 后，m 阶 AR 模型的其他系数均由 Levinson 关系式k(6)-1-1=+maiiai递推求得。其功率谱估计为(7)2-=1+i pARjkkPeae2.3 Yule-Wallker 法（自相关法）Yule-Wallker 法是通过解 Yule-Wallker 方程获得 AR 模型参数。Levinson-Durbin 算法是一种解 Yule-Wallker 方程的高效算法。该算法用信号 p+1 个自相关函数值解出 AR 模型的 p+1 个参
8、数，递推公式为(8)-1- -1=-1-12-=+-/,=,mmx xmimmkRaiRiaiki g其中，m=1,2,3,，而 = 。上式用来计算 m 阶 AR 模型的反射系数 ，它用到0xRmk自相关函数序列 ，是 Levinson-Durbin 算法的一个特点。1,2,xg在实际的应用中，自相关函数值只能根据有限的数据记录去估算。为保证自相关矩阵的非负定性，一般选择下式即- 4 - 4 -(9)-1=0 +,0且 -=Nmx xxnRxnmRmYule-Wallker 法又叫自相关法，这是因为如果用自相关法对数据开窗（人为假定已知数据段之外的数据为 0），所得的结果与使用有偏自相关函数估
9、计的 Yule-Wallker 方程等效。正如课本所介绍的，AR 模型与预测误差滤波器互为逆滤波，预测系数就是 AR 模型的参数 a(1),a（2），a(p)。这些参数可以通过求预测误差功率最小时的预测系数得到。相应的预测误差滤波器是长度为 p+1 的 FIR 滤波器。如果数据点的长度为 N，数据开窗采用自相关法，则数据序列可以表示为。此时预测误差滤波器的输出是长度为 N+p-1,0,1,-,0xx 的序列，有=1*+-,=0,1,+-1pienanxixi Np(10)即 0-1+-1=+0+1p-10+-1=+-21+-1exaxapepxaxaNxNNapM(11)当 nN+p-1 时，
10、 =0.上面各式中的 及其以前的各序列值en-x及其以后的各序列值都假定为 0.x使预测误差最小，就是(12)2min=- =11+-=pnixaixniN 令 ，k=0,1,，p,得0ak2=- =11+-x-=0,12,pnixaixnikpN L(13)- 5 - 5 -即=1=-=-1- ,=1,2,Npi nnai xixnkkp L(14)将 表示成 ，则上式又可以表示成=-1-nx xRk(15)=1i-=,=12,ppxxiaiRkL用矩阵表示，上式为(16) 0-122=- -1-20xx x xxx x xRRapRp p LMOMM其中， =- =-1- +,12,xn
11、nkknkNNL(17)由于在 n=0,1，N-1 之外所有的 都被假定为 0，所以上式中的 与xx同时不为 0 的 n 的取值为 n=0,1,，N-1-k。因此上式可以写为+k(18)-1=0 +NkxnRkxnk这就是自相关函数的有偏估计。接下来讨论最小预测误差功率（或白噪声方差 ）。由式 (11) 有2w22min=-=-=1=1-11=-1+-+-k1+ppwni ipppni kniexaxiaxnNxai iN(19)由式(12)可知，上面求和项中的第二项为 0，因此最小预测误差为min=- =1+-pnixaixnixnN - 6 - 6 -(20)由式 (17)，可以将上式表示
12、为(21)min=10+-pxxiRaiRi从上面的矩阵式可以看出，自相关矩阵是对称阵和拖布列兹阵，并且可以证明是正定的。3 实验仿真本报告选取两个频率分别为 0.2 和 0.213 的正弦信号的叠加信号,再加上高斯白噪声作为仿真信号,用三种方法,即周期图法,AR 模型自相关法及 Burg 算法分别对仿真信号进行功率谱估计,并对结果作对比, 分析三种方法的优劣程度及改进措施.下面是具体的的仿真实验:(注: 仿真程序附在文档最后.)3.1 周期图法- 7 - 7 -Burg 算法采样点数 1024 阶数 200 - 8 - 8 -AR 模型自相关法4 实验总结实验中可看出,随着采样点数的增多,谱
13、估计结果有所好转,但效果仍然不够好,可见周期图法谱估计效果较差.周期图法是功率谱估计的一种基本方法,但该方法不满足一致性估计条件,用获得的 N 个数据对随机过程进行功率谱估计隐含对无限长数据加了一个矩形窗截断,时域中与矩形窗相乘对应于频域相卷积,就这一点来说,估计谱相当于真实谱与矩形窗频谱相卷积的结果.AR 模型自相关法的优点是简单,是 AR 模型的四种方法中最简便易行的,对于长数据记录,因为可以得到较好的自相关值,能得到到较好的谱估计.但是,对于短数据记录,用自相关法解 AR 参数得出的谱估计的分辨率也较差.事实上,在实际中遇到的常常是段数据记录的情况.例如,火山爆发或地震只能持续很短的时间
14、,所得到的数据往往是瞬时的.这就迫使在研究谱估计时应尽可能少的数据点位基础,Burg 算法谱估计就有较好的效果.Burg 算法的优点是求得的 AR 模型保证稳定,另外,由于Burg 算法不需要估算自相关函数,所以性能优于自相关法.尤其在短数据时,Burg 算法明显- 9 - 9 -优越,具有较高的谱分辨率.但由于 Burg 算法的递推关系仍然受 Levinson 递推关系的约束,也就是说,当由前后预测误差求出反射系数后,m 阶 AR 模型的其他参数均由 Levinson 关系式递推得到,而 Levinson 关系式是在方程组的系数矩阵为 Toeplitz 阵的条件下递推得到.实际上,只有无始无
15、终的平稳随机序列所对应的自相关矩阵才具有这种性质.因此 Burg 算法不能完全克服 Levinson 算法中的缺点,仍然存在某些谱线的分裂与谱峰偏移的现象.附仿真 matlab 程序周期图法:clear all;N=128;n=1:N;f0=0.200;f1=0.213;w=2*pi/N;xn=20(1/2)*sin(2*pi*f0*(n-1)+2(1/2)*sin(2*pi*f1*(n-1) +0.5*randn(1,N);plot(n,xn);xlabel(n);k=1:N;X(k)=0;f=(0:N-1)./N;% 求 xn 的傅里叶变换for n=1:NXn=xn(n)*exp(-1i*
