《固体物理考题 第四章 能带理论》由会员分享，可在线阅读，更多相关《固体物理考题 第四章 能带理论（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四章 能带理论1 设电子在一维弱周期势场 V(x)中运动，其中 V(x)= V(x+a)，按微扰论求出 k=/a 处的能隙2 怎样用能带论来理解导体、绝缘体、及半导体之间的区别？（可以画图说明）3 简单推导布洛赫（Bloch）定理4 对于一个二维正方格子，晶格常数为， 在其倒空间画图标出第一、第二和第三布里渊区； 画出第一布里渊区中各种不同能量处的等能面曲线； 画出其态密度随能量变化的示意图。5 在一维周期场近自由电子模型近似下，格点间距为，请画出能带 E(k)示意图，并说明能隙与哪些物理量有关。6 推导 bloch 定理；写出理想情况下表面态的波函数的表达式，并说明各项的特点。7 在紧束缚
2、近似条件下，求解周期势场中的波函数和能量本征值。设晶体中第 m 个原子的位矢为：（5-4-1）123Raa若将该原子看作一个孤立原子，则在其附近运动的电子将处于原子的某束缚态 ，()imrR该波函数满足方程：（5-4-2）2()()()mimimVhrRrrR其中 为上述第 m 个原子的原子势场， 是与束缚态 相对应的原子能级。如果i i晶体为 N 个相同的原子构成的布喇菲格子，则在各原子附近将有 N 个相同能量 的束缚i态波函数 。因此不考虑原子之间相互作用的条件下，晶体中的这些电子构成一个 N 个简i并的系统：能量为 的 N 度简并态 ，m=1，2，N。i()imrR实际晶体中的原子并不是
3、真正孤立、完全不受其它原子影响的。由于晶体中其它诸原子势场的微扰，系统的简并状态将消除，而形成由 N 个能级构成的能带。根据以上的分析和量子力学的微扰理论，我们可以取上述 N 个简并态的线性组合（5-4-3）(,)()mimakrkr作为晶体电子共有化运动的波函数，同时把原子间的相互影响当作周期势场的微扰项，于是晶体中电子的薛定谔方程为：（5-4-4）2()()UEmhrr其中晶体势场 U(r)是由原子势场构成的，即（5-4-5）()()nlnVrR微扰计算（5-4-4）式可以转化为如下形式： 2()()()mmVUVE hrRrRr代入（5-4-2）和（5-4-3 ）后，可得：（5-4-()
4、()()0mi iaErr5）在紧束缚近似作用下，可认为原子间距较 态的轨道大得多，不同原子的 重叠很小，从i i而有：（5-4-6）*inimndrRr现以 左乘方程（5-4-5） ，并对整个晶体积分，可以得：i（5-4-*()()()()nimimmimaEaUVd0rrRr=7）首先讨论（5-4-7）式中的积分。我们引入新的积分变量，令 ，由晶格周期性可rR知： ，则（5-4-7）式中积分可表示为：mUrRr（5-4-* ()in i nmVd J8）上式表明积分值仅取决于原子的相对位置 ，因此引入符号 。式中引入nmR()nmR负号的理由是晶体势场与原子势场的差值 为负值。UV将式（5
5、-4-8）代入（5-4-7 ）式得到方程组：（5-4-9）mnminaEaJR不难证明：1mimaeNgkR为满足方程组（5-4-9）的解，于是得到： mniinmEekRJ亦即 （5-4-n si ii isme kRJ10）式中 为原子的相对位置，与原子标号码 m 或 n 无关。 （5-4-10）式实际上即snmR为晶体中共有化运动的电子的能量本征值。与该本征值相对应的电子共有化波函数为：（5-4-11）1()()miieNkRkrr容易验证，上式所给出的波函数确为布洛赫函数。不妨作下面的变换，（5-4-12 ）()() )miik iekrRkrr进一步可得： （5-4-13）1()()
6、ieuNkrkr显然， 是和晶格周期相同的周期函数。lukkR8 (a)试写出其倒格矢，证明倒格子元胞体积 v= (2)3/V，并画出第一布里渊区示意图。（b）在近自由电子近似下，写出电子在第一布里渊区顶角和各面心上的动能。（c）令 a=b=c,紧束缚近似下电子的色散关系为：E(k)=E 0-2J(coskxa+coskya+coskza)试写出态密度 N(E)的积分表达式，并指出在哪些能量处 N（E）=0，哪些能量处有范霍夫奇点？9 简述 Bloch 定理，解释简约矢 k 的物理意义，并阐述的取值原则。K 为简约波矢，是对应于平移操作本征值的量子数。它的物理意义是表示原胞之间电子波函数位相的
7、变化。它的取值应限制在简约布里渊区。10（a）晶体中的电子能带是怎样形成的？能带的宽度与什么因素有关？(b)若一个一维导体中电子在能带中的填充刚好是半满的，会出现什么现象？(c)对于一个简单立方晶体，紧束缚近似下电子表的色散关系为E(k)=E0-2J(coskxa+coskya+coskza)试写出态密度的积分表达式，并指出在哪些能量处态密度为零？哪些能量处有范霍夫奇点？11 假定将晶体表面看成是理想平面，忽略晶体内周期势的起伏变化，求表面电子态的能量本征值及其波函数。12 简述能带理论；推导布洛赫(Bloch)定理，理想三维情况下表面电子态的波函数有什么特点。13 简述晶体能带与其晶格周期性和对称性的关系，并说明无序材料电子结构和晶体材料电子结构的主要差别。P23014.高压晶体体积变小，能带宽度会 15 费米面 、费米能 、费米速度费米面：在绝对零度下，晶体中电子在 K 空间中占据态与非占据态的分界面，在非零温度下指电子占据几率为 1/2 的状态所构成的面。16写出一维近自由电子近似，第n 个能带(n=1，2，3)中，简约波数K=/2a的零级波函数。黄昆4-217论述能带论的三条基本假设，并分析其成功和不足之处。
