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1、第四章 能带理论1 设电子在一维弱周期势场 V(x)中运动,其中 V(x)= V(x+a),按微扰论求出 k=/a 处的能隙2 怎样用能带论来理解导体、绝缘体、及半导体之间的区别?(可以画图说明)3 简单推导布洛赫(Bloch)定理4 对于一个二维正方格子,晶格常数为, 在其倒空间画图标出第一、第二和第三布里渊区; 画出第一布里渊区中各种不同能量处的等能面曲线; 画出其态密度随能量变化的示意图。5 在一维周期场近自由电子模型近似下,格点间距为,请画出能带 E(k)示意图,并说明能隙与哪些物理量有关。6 推导 bloch 定理;写出理想情况下表面态的波函数的表达式,并说明各项的特点。7 在紧束缚
2、近似条件下,求解周期势场中的波函数和能量本征值。设晶体中第 m 个原子的位矢为:(5-4-1)123Raa若将该原子看作一个孤立原子,则在其附近运动的电子将处于原子的某束缚态 ,()imrR该波函数满足方程:(5-4-2)2()()()mimimVhrRrrR其中 为上述第 m 个原子的原子势场, 是与束缚态 相对应的原子能级。如果i i晶体为 N 个相同的原子构成的布喇菲格子,则在各原子附近将有 N 个相同能量 的束缚i态波函数 。因此不考虑原子之间相互作用的条件下,晶体中的这些电子构成一个 N 个简i并的系统:能量为 的 N 度简并态 ,m=1,2,N。i()imrR实际晶体中的原子并不是
3、真正孤立、完全不受其它原子影响的。由于晶体中其它诸原子势场的微扰,系统的简并状态将消除,而形成由 N 个能级构成的能带。根据以上的分析和量子力学的微扰理论,我们可以取上述 N 个简并态的线性组合(5-4-3)(,)()mimakrkr作为晶体电子共有化运动的波函数,同时把原子间的相互影响当作周期势场的微扰项,于是晶体中电子的薛定谔方程为:(5-4-4)2()()UEmhrr其中晶体势场 U(r)是由原子势场构成的,即(5-4-5)()()nlnVrR微扰计算(5-4-4)式可以转化为如下形式: 2()()()mmVUVE hrRrRr代入(5-4-2)和(5-4-3 )后,可得:(5-4-()
4、()()0mi iaErr5)在紧束缚近似作用下,可认为原子间距较 态的轨道大得多,不同原子的 重叠很小,从i i而有:(5-4-6)*inimndrRr现以 左乘方程(5-4-5) ,并对整个晶体积分,可以得:i(5-4-*()()()()nimimmimaEaUVd0rrRr=7)首先讨论(5-4-7)式中的积分。我们引入新的积分变量,令 ,由晶格周期性可rR知: ,则(5-4-7)式中积分可表示为:mUrRr(5-4-* ()in i nmVd J8)上式表明积分值仅取决于原子的相对位置 ,因此引入符号 。式中引入nmR()nmR负号的理由是晶体势场与原子势场的差值 为负值。UV将式(5
5、-4-8)代入(5-4-7 )式得到方程组:(5-4-9)mnminaEaJR不难证明:1mimaeNgkR为满足方程组(5-4-9)的解,于是得到: mniinmEekRJ亦即 (5-4-n si ii isme kRJ10)式中 为原子的相对位置,与原子标号码 m 或 n 无关。 (5-4-10)式实际上即snmR为晶体中共有化运动的电子的能量本征值。与该本征值相对应的电子共有化波函数为:(5-4-11)1()()miieNkRkrr容易验证,上式所给出的波函数确为布洛赫函数。不妨作下面的变换,(5-4-12 )()() )miik iekrRkrr进一步可得: (5-4-13)1()()
6、ieuNkrkr显然, 是和晶格周期相同的周期函数。lukkR8 (a)试写出其倒格矢,证明倒格子元胞体积 v= (2)3/V,并画出第一布里渊区示意图。(b)在近自由电子近似下,写出电子在第一布里渊区顶角和各面心上的动能。(c)令 a=b=c,紧束缚近似下电子的色散关系为:E(k)=E 0-2J(coskxa+coskya+coskza)试写出态密度 N(E)的积分表达式,并指出在哪些能量处 N(E)=0,哪些能量处有范霍夫奇点?9 简述 Bloch 定理,解释简约矢 k 的物理意义,并阐述的取值原则。K 为简约波矢,是对应于平移操作本征值的量子数。它的物理意义是表示原胞之间电子波函数位相的
7、变化。它的取值应限制在简约布里渊区。10(a)晶体中的电子能带是怎样形成的?能带的宽度与什么因素有关?(b)若一个一维导体中电子在能带中的填充刚好是半满的,会出现什么现象?(c)对于一个简单立方晶体,紧束缚近似下电子表的色散关系为E(k)=E0-2J(coskxa+coskya+coskza)试写出态密度的积分表达式,并指出在哪些能量处态密度为零?哪些能量处有范霍夫奇点?11 假定将晶体表面看成是理想平面,忽略晶体内周期势的起伏变化,求表面电子态的能量本征值及其波函数。12 简述能带理论;推导布洛赫(Bloch)定理,理想三维情况下表面电子态的波函数有什么特点。13 简述晶体能带与其晶格周期性和对称性的关系,并说明无序材料电子结构和晶体材料电子结构的主要差别。P23014.高压晶体体积变小,能带宽度会 15 费米面 、费米能 、费米速度费米面:在绝对零度下,晶体中电子在 K 空间中占据态与非占据态的分界面,在非零温度下指电子占据几率为 1/2 的状态所构成的面。16写出一维近自由电子近似,第n 个能带(n=1,2,3)中,简约波数K=/2a的零级波函数。黄昆4-217论述能带论的三条基本假设,并分析其成功和不足之处。