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1、1(东城)点A、B、C在同一直线上，在直线AC的同侧作和，连接AF，CE取AF、CE的中点M、N，连接BM，BN， MN（1）若和是等腰直角三角形，且(如图1)，则 是 三角形（2）在和中，若BA=BE,BC=BF,且，（如图2），则是 三角形，且 .（3）若将（2）中的绕点B旋转一定角度,(如同3)，其他条件不变，那么（2）中的结论是否成立？ 若成立，给出你的证明；若不成立，写出正确的结论并给出证明.2. 图1是边长分别为4和3的两个等边三角形纸片和叠放在一起（与重合）（1）固定，将绕点顺时针旋转得到，连结（如图2）此时线段与有怎样的数量关系？并证明你的结论；（2）设图2中的延长线交于，并将
2、图2中的在线段上沿着方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的设为（如图3）设移动（点在线段上）的时间为x秒，若与重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）若固定图1中的，将沿方向平移，使顶点C落在的中点处，再以点为中心顺时针旋转一定角度，设，边交于点M，边交于点N（如图4）此时线段的值是否随的变化而变化？如果没有变化，请你求出的值；如果有变化，请你说明理由图1 图2 图3 图43. 以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点探究：AM与DE的位置关系及数量关系（1）如图 当为直角三角形时，AM与DE的位置关系是
3、，线段AM与DE的数量关系是 ；（2）将图中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(090)后，如图所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由图 图4（1）如图1，四边形中，请你 猜想线段、之和与线段的数量关系，并证明你的结论； （2）如图2，四边形中，若点为四边形 内一点，且，请你猜想线段、之和与线段的 数量关系，并证明你的结论图图2第25题5. 如图，将一三角板放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于Q.探究：设A、P两点间的距离为x.(1)当点Q在边CD上时，线段PQ与PB之间有怎样的数量关系？试证明你的猜
4、想；(2)当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数关系，并写出函数自变量x的取值范围； (3)当点P在线段AC上滑动时，PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能,指出所有能使PCQ成为等腰三角形的点Q的位置. 并求出相应的x值，如果不可能，试说明理由.(答题卡上有备用图可供使用) 6 如图1，的边在直线上，且；的边也在直线上，边与边重合，且（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系；（2）将沿直线向左平移到图2的位置时，交 图1于点，连结，猜想并写出与所满足 的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； （3）将沿直线向左平移到图3的位置时，的
5、延长线交的延长线于点，连结，你认为（2）中所 图2猜想的与的数量关系和位置关系还成立吗？若成立， 给出证明；若不成立，请说明理由 图3 7. 已知：三角形ABC中，A90，ABAC，D为BC的中点，（1）如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BEAF，求证：DEF为等腰直角三角形（2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BEAF，其他条件不变，那么，DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论8. (1)已知：如图1，是的内接正三角形，点为弧BC上一动点，求证：(2) 如图2，四边形是的内接正方形，点为弧BC上一动点，求证: (3) 如图3，六边形是的内接正六边形，点为弧BC上一动点，请探
6、究三者之间有何数量关系，并给予证明.图3图2图19. 已知：ABC中，以AC、BC为边分别向形外作等边三角形ACD和BCE， M为CD中点，N为CE中点，P为AB中点（1）如图1，当ACB=120时，MPN的度数为 ；（2）如图2，当ACB=（0180）时, MPN的度数是否变化？给出你的证明 图1 图210. 如图所示，在平面直角坐标系xoy中，四边形OABC是正方形，点A的坐标为（m，0）.将正方形OABC绕点O逆时针旋转角，得到正方形ODEF，DE与边BC交于点M,且点M与B、C不重合.（1）请判断线段CD与OM的位置关系,其位置关系是 ；（2）试用含m和的代数式表示线段CM的长： ；的
7、取值范围是 .11. (1)如图25-1，在四边形ABCD中，ABAD，BD90，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAF=BAD.求证:EFBEFD; (2) 如图25-2在四边形ABCD中，ABAD，B+D180，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAF=BAD, (1)中的结论是否仍然成立？不用证明. (3) 如图25-3在四边形ABCD中，ABAD，B+ADC180，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且EAF=BAD, (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明. 12. 已知：在四边形ABCD中，AD/BC, BAC=D, 点E、F分别
8、在BC、CD上, 且AEF=ACD，试探究AE与EF之间的数量关系.（1）如图1，若AB=BC=AC, 则AE与EF之间的数量关系为 ；（2）如图2，若AB=BC, 你在（1）中得到的结论是否发生变化? 写出你的猜想，并加以证明； （3）如图3，若AB=kBC, 你在（1）中得到的结论是否发生变化? 写出你的猜想，并加以证明. 图1 图2 图313. 在ABC中，点D在AC上，点E在BC上，且DEAB，将CDE绕点C按顺时针方向旋转得到（使180），连接、，设直线与AC交于点O.（1）如图，当AC=BC时，:的值为 ；（2）如图，当AC=5，BC=4时，求:的值； （3）在（2）的条件下，若A
9、CB=60，且E为BC的中点，求OAB面积的最小值. 14ABC是等边三角形，P为平面内的一个动点，BP=BA，若PBC180，且PBC平分线上的一点D满足DB=DA，（1）当BP与BA重合时（如图1），BPD= ；（2）当BP在ABC的内部时（如图2），求BPD的度数；（3）当BP在ABC的外部时，请你直接写出BPD的度数，并画出相应的图形 15. 已知：，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB 的两侧.（1）如图，当APB=45时，求AB及PD的长；（2）当APB变化，且其它条件不变时，求PD 的 最大值，及相应APB的大小.16. 在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题
10、）和小东、小明交流.原问题：如图1，已知ABC, ACB=90 , ABC=45，分别以AB、BC为边向外作ABD与BCE, 且DA=DB, EB=EC，ADB=BEC=90，连接DE交AB于点F. 探究线段DF与EF的数量关系.小慧同学的思路是：过点D作DGAB于G,构造全等三角形，通过推理使问题得解.小东同学说:我做过一道类似的题目,不同的是ABC=30,ADB=BEC=60.小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况.请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：（1）写出原问题中DF与EF的数量关系；（2）如图2，若ABC=30，ADB=BEC=60，原
11、问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；（3）如图3，若ADB=BEC=2ABC, 原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明. 图1 图2 图317. 已知，是的平分线将一个直角的直角顶点在射线上移动，点不与点重合.（1）如图，当直角的两边分别与射线、交于点、时，请判断与的数量关系，并证明你的结论；（2）如图，在（1）的条件下，设与的交点为点，且，求的值；（3）若直角的一边与射线交于点，另一边与直线、直线分别交于点、，且以、为顶点的三角形与相似，请画出示意图；当时，直接写出的长.B CA G D FE 图1
12、18. .如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DFBE（1）求证：CECF；（2）在图1中，若G在AD上，且GCE45，则GEBEGD成立吗？为什么？（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：图2B CA D E 如图2，在直角梯形ABCD中，ADBC（BCAD），B90，ABBC12，E是AB上一点，且DCE45，BE4，求DE的长19. 如图241，正方形ABCD和正方形QMNP， M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E（1）猜想：ME 与MF的数量关系（2）如图242，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，且M =B，其
13、它条件不变，探索线段ME与线段MF的数量关系，并加以证明（3）如图243，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且AB:BC=1:2，其它条件不变，探索线段ME与线段MF的数量关系，并说明理由（4）如图244，若将原题中的“正方形”改为平行四边形，且M =B ，AB:BC = m，其它条件不变，求出ME：MF的值。（直接写出答案）20. （1） 已知：如图，RtABC中，ACB=90，AC=BC，点D、E在斜边AB上，且DCE=45. 求证：线段DE、AD、EB总能构成一个直角三角形； （2）已知：如图，等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且DCE=30，请你找出一个条件，使线段DE、AD、
14、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数；（3）在（1）的条件下，如果AB=10，求BDAE的值21. 在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且,BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系图1 图2 图3（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ； 此时 ； （II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； （III） 如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若
15、AN=，则Q= （用、L表示）22.已知等边三角形ABC中，点D、E、F分别为AB、AC、BC边的中点，M为直线BC上一动点，为等边三角形（点M的位置改变时，也随之整体移动）.(1) 如图1-1,当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？请直接写出结论， 不必证明或说明理由;(2) 如图1-2，当点M在BC边上，其它条件不变时，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否依然 成立？若成立，请利用图1-2证明；若不成立，请说明理由；(3) 若点M在点C右侧时，请你在图1-3中作出相应的图形（不写作法）,(1)结论中EN与MF的数 量关系是否仍然成立？请直接写出结论，不必证明或说明理由.
16、23. 取一副三角板按图拼接，固定三角板，将三角板绕点依顺时针方向旋转一个大小为的角得到，如图所示试问：（1）当为多少度时，能使得图中？（2）连结，当时，探寻值的大小变化情况，并给出你的证明24. 已知：在RtABC中，AB=BC，在RtADE中，AD=DE，连结EC，取EC的中点M，连结DM和BM（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图，探索BM、DM的关系并给予证明； （2）如果将图中的ADE绕点A逆时针旋转小于45的角，如图，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明图图 25. 请阅读下列材料：已知：如图（1）在RtABC中，BAC=90，AB = AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若DAE=45.探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系.小明的思路是：把AEC绕点A顺时针旋转90，得到ABE，连结ED，使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题：（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明； 图（1）（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件 不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明. 图（2）
