《随机振动理论》读书报告

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1、随机振动理论读书报告主讲：教授学生： 学号：专业：防灾减灾工程及防护工程11 引论在工程中，一个具体系统的振动往往是很复杂的。它同时受着许多因素的影响，其中有的因素是确定性的、可以估计的。也有的因素是随机的、无法估计的因此一切实际系统的振动都具有一定的随机性。也就是说严格地讲，一切实际的振动都是随机振动只是当对问题解答的精度要求不高，可以略去次要的随机因素的影响时，就把问题简化为确定性的。在确定性的分析中，如果结构的初始状态、动力特性以及外加荷载都是已知的、确定的，那么由结构的运动方程就可以得到结构的确定性响应。但在实际中，外加荷载、初始条件以及结构本身都具有随机性，因此可采用三类随机微分方程

2、来分析这些问题：(1)第一类随机微分方程只有初始条件是随机的。这一类问题首先起源于统计物理学和动力学理论。近年来在工程力学、化学动力学等领域中起着重要的作用。例如空间弹道分析就含有随机初值问题。 (2)第二类随机微分方程的特点是随机元素只出现在方程的非齐次项或输入项(外荷载项)。单自由度系统在地震地面加速度作用下的运动方程：)()()( tXmtkYtctYmg&(3)第三类随机微分方程是指有随机系数的微分方程。这种方程的研究是近年来才开始。因为在研究实际工程技术和物理问题时。由于系统本身的不确定性和复杂性，不可避免地给数学模式带来不确定性的因素，因此，采用随机系数的微分方程是很自然的，而且亦

3、是合理的。例如这类方程会出现在非均匀介质中波的传播和物理、工程、生物领域中不完全确定系统的动力学问题中。研究随机振动的目的，是研究结构在随机激励下随机响应的概率特性；从工程观点来看，其最终目的分析结构系统在随机激励下，研究结构在其使用期内的功能和可靠度。所以，在随机振动理论分析中，将荷载(外加激励)系统作为随机过程加以模型化，并用概率论来定量评价结构(机械)系统具有何种程度的可靠度(安全度)。 2 概率论的若干基本知识集通常把具有某种特定性质的对象的全体称为集合，简称集。其中每一个属于这种“集”的对象，称为集的一个元素。概率古典定义：设在一个试验，有也只有 N 个可能发生的情况，并且每个情况都

4、是等可能。其中恰恰有 u 个情况具有性质 A，则 A 的概率为 u/A，记作 P(A)=u/A， 0P(A)1。随机变量、概率分布函数和概率密度函数2随机变量：离散型、连续型概率分布函数（2.1）)()xXPxFX概率密度函数当 连续可导时，定义概率密度函数)(xX（2.2）xFXXxX)(lim)(0按定义：；1)()(upFXX xXXdup)()(0P联合分布的随机变量联合概率分布函数概率分布函数和概率密度函数的概念可以推广到两个或两个以上随机变量的情况。在求解实际问题中我们往往需要知道两个或更多个随机变量的联合性质。首先研究两个随机变量的情况。设 X1 及 X2 分别为时刻 t1 及

5、t2 时的随机激振力。X 1 及 X2 的联合性质由联合概率分布函数描述如下：条件分布和统计独立性1)如果两个随机变量 X 及 Y 为离散型，则在条件 Y=y 下 X=x 的概率为：)(/,()|(| yPxyxPYXY2)对于连续型的两个随机变量: )(/,()|(| yxyxYXYYX定义 Py(y)=0 时，P X|Y(x,y)=0。3)独立性的定义对于离散型随机变量 X 及 Y，如果 X 独立于 Y 则有 。)(|(| xPyXYX对于连续型随机变量 X 及 Y，如果 X 独立于 Y 则有 。|得到： )(),(yPxyPYXY期望值设 为一随机变量，若该式有定义 （即积分保持有限）

6、，X)(3则 的期望值定义为 。 （集合平均或统计平均）XXEX)(对于随机变量函数 的期望值定义为 ，fY)()(xfEY该结果可以推广到多维随机变量函数，若多维积分保持有限，即 nnXndxf .(. 2121.21则有： nxn fxfEn .)()( 21.21 21矩一阶矩（即期望）： ；XX(二阶矩： ；X)(2)2(n 阶矩： ；EXnn)(联合（mn）阶矩： ；2121)(21 ),(121 xXnmnm中心矩若取一定值 x0，则概率密度函数相对于 x0 的 n 阶矩为：dpXn)(若取 x0= ： XEn 阶中心矩： xXnnXnx )()( 100dp)(11Xx方差： 2

7、2222 )()(XxExE标准方差： 2)(XxE(m+n)阶联合中心矩： 212121 ),()()()()( 212121 xXE XnmXnm对于两个随机变量 和 的情况，定义协方差 为：1 1212 1212()()XXXXE 协方差的标准形式（随机变量 和 的相关系数）：1 1212X特征函数定义：设 为一连续型实随机变量，取指数函数 ei，其中 为实数，再取X他的数学期望，特征函数为， ()e()ixixXMEpd4是 的 Fourier 变换。考虑到实际上 ，即 满足绝()M()Xpx ()1Xpxd()Xpx对可积条件，则由 Fourier 逆变换，可得 1()e()2ixX

8、pxM因此， 和 是组成一 Fourier 变换对。()()Xx由特征函数 的 Maclaurin 级数展开式，可得 ，1()()!niEX说明一个随机变量概率分布的完整描述需要无穷多个矩。对数特征函数利用对数特征函数的主值 1()ln)!niMKx式中 为 x 的 n 阶累积量（半不变量） 。0()|nndkxim122333()KExFourier 变换正变换 ()()eitXxd逆变换 12itt3 随机过程基本概念随机过程是一个所有可能出现的样本函数 ， 的集合；一个随机()nxt工程 ，对于固定的 是一个随机变量。一簇随机变量 ， ， ，()Xtt 1()Xt2tL， 的总体定义了随

9、机过程 。一个随机过程等价于一个随机变量nT()Xt的无限集。随机变量的数学定义：如果对 的每个有限集 ，有相应的随T12,nttL机变量集合 ， ， ， ，它们有联合概率分布函1()t2()tL()n数，12 12,nXn nFxPXxXxL II(1,2)L则这簇联合分布函数定义了一个随机过程 ， 。这簇联合分布函数()tT必须满足下面 Kolmogorov 相容条件。1）对于 mn，5 12 12121 12,.,.m nXnnmXnFxtxttFxtxtL LL2) 2,.n iinXiixt随机过程可以有三种描述方式：1、幅域：随机过程的概率特征， “矩” ；2、时域：一个随机过程在

10、任意不同时刻取值得相关性， “相关函数” ；3、频域：随机过程的频率结构， “功率谱密度函数” 。随机过程的期望、矩及特征函数设 X(t)、Y(s)为两个随机过程， ，设 f(x(t) 及 f(x(t).y(t) 两个随机,tsT过程函数，可得()(),EfXtfxptd.(),)ysfyxtsdy令 f(x(t)=xn(t)随机过程 在时刻 t 的 n 阶矩：Xt()()(,)n nXtEtxp当 时表示均值函数，11(,)Xtxptd当 时表示均方值函数，2n22)x令 在时刻 t 的 n 阶中心矩：()()txt ()(,nnXxEtptdx随机过程自相关函数、互相关函数1、自相关函数定

11、义一个随机过程 X(t)在两个不同时刻 t1 和 t2 的联合矩 ()1212121212,() ,nmnmnmtEtxptxd 当 n=m=1 时有自相关函数 1212121212(,)(),;XttXt定义自协方差函数 1211221212,()(),;XxxtEtttpxtd自相关系数函数 1212(,)(,)XXtt62、互相关函数3、设 X(t)、Y(t)为两个随机过程，互相关函数为 121212(,)(),;XYtEtYxyptdxy互协方差函数 12112212,()(),;XYxyttttpxytd互相关系数函数 1212(,)(,)XYXYtt基本性质1、对称性；1221(,

12、)(,)XXtt1221(,)(,)XYYXtt； 2、由 Schwarz 不等式可以得到，；2112(,)(,)(,)XXXttt2112(,)(,),)XYXYttt3、设 及 为二个随机过程，有Y1212(,)(,)(,)0XYXYttt 4、一个随机过程加上一个确定性函数之后，并不改变它的协方差函数。设 为随机过程， 为一个确定性函数， 也是个随机()Xt()t过程，则 ，因此，在讨论一个随机过程的自协方差函数时，121,(,)YXt 可以不失一般地假定它有一个零均值。平稳随机过程平稳随机过程的矩：常数；()xxt常数；1221,()()XXXtRt()自相关函数的性质：1、 为 的偶

13、函数，即 ；X()()XXR2、 2()(0)|0X在 处有一个极大值。R200()| ()|x xdd 3、 为一非稳定函数，即 ，其中，X *1()()0mnXkjjkjkRtht7为任意的， 为 的共轭。()jht*()khtkt互相关函数的性质：1、 ， ；XYXR()()XYX2、 ；()0R3、 2Y如果 为零均值的广义平稳随机过程，则得到自相关系数函数()t 2()()()0XXXxR由于 |()|(0)|1XXR二阶随机过程设随机过程 ， ，若对于所有的 ，有 ，则称()tTtT2EX为二阶随机过程，其均值函数和协方差函数肯定存在。()t随机过程的均方微积分由于随机过程是在概率

14、意义下定义的，所以要建立概率意义下的极限概念。我们仅讨论均方意义下的极限概念，并在此基础上讨论随机过程的连续性、可积与可微的充要条件。均方收敛及均方极限设有一随机变量序列 ，如果满足条件 ，则称随机序nX2lim0nnEX列 在均方意义下收敛到随机变量 ， 的均方极限为 ，记为nX， 代表均方极限（limit in the mean square） 。.Lim.Li要满足条件式，必须有 ， ，即 ， 都必须是2nE2n二阶随机变量。均方收敛性质：1、设有 ，则有 ，均方极限运.nLiX.nnLimXELimX算与期望运算可交换；2、设有 ， ，则有 X=Y，在均方意义上等价，均.nim.niY方极限唯一；3、设有 ， ，对任意常数 a 和 b 有.nLiX.nLiX，均方极限运算是线性算子。.()niabY均方连续性，设随机过程 ， ，满足 ， ，则称()XtT.()(LimXtht)hT8是均方连续的。()Xt均方连续性准则：一个二阶随机过程 在 均方连续的充要条件是其相()Xt关函数 在 处连续。(,)Xtst在 处连续。R0随机过程的可微性随机过程 的均方导数定义为()t，0()(.hdXttXLimt&上式成立的充要条件是 ，并在 处连续。2,stts在均方可微的情形下，求导运算与期望