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1、- 1 -月考高二理科数学试卷一、选择题(共 10 小题,每题 5 分,共 50 分)1.设 1,(3,)AB,则 A中点在空间直角坐标系中的位置是( )A. y轴上 B. xoy面内 C. xoz面内 D. yoz面内2. 与直线 240x平行的抛物线 2的切线方程是( )A. 3 B. 230 C. 10y D. 210x3.在空间直角坐标系中, 点 (,5)P关于 oz平面对称的点的坐标为 ( )A. 4,5 B. 4 C. 3,45 D. 3,454. 已知函数 ()fx在 1处的导数为 3,则 ()fx的解析式可能为( )A. 3f B. 21 C. 2()x D. ()fx5.函数
2、 fab在区间 (,0)内是减函数,则 ,ab应满足( )A. 0且 B. 且 R C. 0且 D. a 0且 bR6. 若函数 ()sinxfe,则此函数图像在点 4,()f处的切线的倾斜角为( )A. 2 B. 0 C. 钝角 D.锐角7. 如下图,在正方体 1ABCD中,M为棱 1的中点,则异面直线 M与BD所成角的余弦值是( )A. 015 B. C. 15 D. 158. 已知直线 ,ab和平面 ,下列推论正确的是( )A. B. ba C. ba D. bM1D1BCA- 2 -9. 若函数 ()yfx在 R 上可导且满足不等式 ()xf ()fx恒成立,且常数 ,ab满足a b,
3、则下列不等式一定成立的是( )A. ()ffa B. ()fafb C. ()fafb D. ()ff10.如图,直线 l和圆 c,当 l从 0开始在平面上绕点 O按逆时针方向匀速转动(转动角度不超过 9)时,它扫过的圆内阴影部分的面积 S 是时间 t的函数,这个函数的图像大致是( )A. B. C. D. 二、填空题(共 7 小题,每题 4 分,共 28 分)11. 空间直角坐标系中,点 (0,1)A, (2,6)B, (,01)Px若 ABP,则 x=_12.如图所示,在长方体 OC-中,2OA, 3B, 1. M 是 1与 1的交点,则 M 的坐标是 _13. 已知 2()(1)fxf,
4、则 (0)_f14. 函数 3y 的单调增区间为 ,单调减区间为 _ 15. 过点 (1,)P作曲线 3yx的切线 L,则 L 的方程为16.已知 0a ,函数 ()fa在 1,)上是减函数,则 a的最大值为17.函数 32()(fxxbcR,已知函数 ()fx在区间(0,1)内取得极大值,在区间(1,2 )内取得极小值,则 2(3zb的取值范围为_0lOStOtOStOStOxyz1AB1C1McO- 3 -三、简答题(本大题共和小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18.(14 分) 正方体 1ABCD的棱长为 1,点 F 为 1AD的中点.(1)证明: 1平面 AF
5、C;(2)求二面角 F的余弦值19. (14 分) 如图所示的几何体中,EA平面 ABC,DB平面 ABC,ACBC,且 AC=BC=BD=2AE, M 是 AB 的中点.(1)求证:CM EM(2)求 CM 与平面 CDE 所成的角20. (14 分) 已知定义在正实数集上的函数 221(),()3fxaxg xb,其中0a。设两曲线 (),()yfxg有公共点,且在该点处的切线相同。(1)用 表示 b(2)求证: ()f ( 0 ) 21. (15 分)已知四棱锥 SABCD的底面 ABCD 是正方形, SA底面 ABCD,E 是 SC 上的任意一点。(1)求证:平面 EBD平面 SAC:
6、(2)设 SA=4,AB=2,求点 A 到平面 SBD 的距离:(3)当 SB的值为多少时,二面角 S的大小为 120? 22. (15 分) 已知 ()(0)afxbx,其中 ,abR(1)若曲线 y在点 2,Pf处的切线方程为 31yx,求 ()fx的解析式:(2)讨论 ()fx的单调性:(3)若对任意的 1,2a,总存在一个 0x1,4使得 0()fx成立,求实数 b的取值范围。FAB1D1CD1ECDABMDEABSC- 4 -高二理科数学答题卷一、选择题(共 10 小题,每题 5 分,共 50 分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 C D A A B C D D B
7、 D二、填空题(共 7 小题,每题 4 分,共 28 分)11. 11 12. 13. 14. , 15. 16. 17. 三、简答题(本大题共和小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18.(14 分)解: 如图建立直角坐标系 Axyz,(1) 证: 1(0,), (0)B,则 1ur=(1,0,1)-( 1 分)取 AC 中点 E 则 E( 2, ,0 ) ,F (0 , 2, ) Fur=(,)-(2 分) 1AB= 2r,即 1ABur -(4 分)又 面 AFC, EF 面 AFC 1AB面 AFC- -(5 分)(2)设 1(,)mxyzr, 2(,)nxyzr
8、分别为面 ABF 与面 AFC 的一个法向量-(6 分)ABu=(1,0,0), =( 0, , 1), Cur=(1,1,0),由 r , r AF, , n A .0mur; .nCr即102xyz,20yzx-(9 分)取 =(0,1, 1) , =(1, 1,1)-(11 分)则 cos mr, n= .ur= 63-(13 分)二面角 BAFC为锐二面角,其余弦值为 63。-(14 分)(1,)23(,)3(0)30xy或 31031,42EFAB1D1CDxyz- 5 -19.(14 分)解:作 CZEA,EA平面 ABC,CZ平面 ABC CZAC, CZBC,又 ACBC如图建
9、立直角坐标系 cxyz-(2 分)(1) 设 AE=1,则 AC=BC=BD=2,-(3 分)C(0,0,0) ,M(1,1,0) ,E(2,0,1 )-(4 分)ur=(1,1,0 ) ,ur=( ,1, )- (5 分) E=0-(6 分)CM EM-(7 分)(2) 设 (,)mxyzr为面 CDE 的一个法向量-(8 分)D(0,2,2), CDur=(0,2,2), Er=(2,0,1), 由 mr CDu, r E得.0Er即 20yzx, 取 =(1,2, 2) -(11 分)设 CM 与平面 CDE 所成的角为 sin= cos mr, CMu= .ur= 2, =45-(13
10、 分)CM 与平面 CDE 所成的角为 45-(14 分)20. (14 分)(1)解:设公共点的坐标为( 0x, y) ()fx= 2a, ()g=23-(2 分)22001ln3xbxa-(4 分)由(2)得 0=a 或 0=3a-(5 分)a0 且 x0 =a, -(6 分)代入(1)式得 b= 253lna (a0) -(7 分)(2)令 F(x)=f(x)-g(x)= 21lxxb, -( 8 分)则 ()Fx=x+2a2=-(10 分)ECDABMzxy(1)(2)- 6 -a0 且 x0x (0,a) a (a,)()F0F(x) 递减 极小值 递增min()x=F (x)= F
11、(a)= 2213lnaab -(12 分)b= 253la min()Fx=0,即 F(x)0 fg(x0)-(14 分)21. (15 分) (1) SA底面 ABCD, SABD,ABCD 是正方形,AC BD, 且 SAAC=ABD面 SAC, 又 BD面 EBD平面 EBD平面 SAC-(4 分)(2)如图建立直角坐标系 xyz,AB=2,SA=4A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0), S(0,0,4)SBur=(2,0,-4), Dr=(0,2,-4), SAur=(0,0,-4) -(5 分)设 (,)mxyz为面 SBDE 的一个法向量, 由 mr SBu, r
12、 D得.0Sru即 240, 取 =(2,2, 1) -(7 分)设点 A 到平面 SBD 的距离为 dd= .mr= 43, 即点 A 到平面 SBD 的距离为 43-(9 分)(3)设 AB=a,SA=b,则 B(a,0,0),D(0,a, 0),C(a,a,0),S(0,0,b),BSur=(-a,0,b), Cur=(0,a,0), DSr=(0,-a,b ), Cur=(a,0,0) -(10 分)设 1(,)mxyz, 2(,)nxyz分别为面 BSC 与面 DSC 的一个法向量由 r , r B, r , nr .0SCur; .nDr即 10axbzy, 20aybzx-(12 分)DEABSCxyz极小值- 7 -取 mr=(b,0,a ) , nr=(0,b ,a)-(13 分)二面角 BSCD的大小为 120,则 cos mr, n= .ur=2ab= 1解得 a=b,即 A=1-(15 分)22. (15 分)(1) ()fx=1 2a,- (1 分) (2)f=3,a= 8-(2 分)由切点 ,P在 y=3x+1 上,可得 b=9-(3 分) ()fx的解析式为 ()fx= 89-(4 分)(2) =1 2a当 a0 时,显然 ()fx0(x0),这时 ()fx在( ,0)和(0, )上是增函数。-(6 分)当 a0 时,由 =0,