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1、第 1 页（共 3 页）优化解题思维 避免分类讨论尚月如分类讨论思想是高考考查的重要思想之一，但是，如果仔细深入研究这些问题后，会发现许多用分类讨论方法解决的问题有时是可以避免讨论的。本文通过实例介绍避免分类讨论的一些优化策略，供大家参考。一、直接回避例 1 设等比数列 的公比为 q，前 n 项和为 ，若 成等差数列，则an nS2n1S，q 的值为_。分析：如果利用等比数列前 n 项和公式求解，则需要对公比 q=1 和 q1 两种情况进行讨论。注意到 ，代入已知条件 ，nn1n21n1 a)(aSS ， 1nS成等差数列，即可避免分类讨论，使问题容易得到解决。2n，解：因 成等差数列，又 ，
2、 ，所以2n1， 1n1nS1nn2a)(S，可得 。而 ，则n12nn a)q()a( 0a)q(0。q评析：对于涉及等比数列前 n 项和的问题，若能直接运用已知条件中各个量的关系求解，既可避免讨论又可使问题得到灵活解决。二、等价转换例 2 若方程 有解，求实数 a 的取值范围。axsin2co分析：若原方程化为 ，令 ， ，得01i2txsin1ta1=0 为 t 的一元二次方程，若对此方程恰有一根或恰有两根在区间1，1t上进行讨论，则过程较繁。注意到 ，只要 a 在 的值域范围ixcos xsin2co内原方程即有解，可避免讨论。解：由 ，且 ，89)41x(sin21ini2xsin2
3、coa 1i可得 ，即 时，此方程有解，故实数 a 的取值，的 值 域 为 89ixs ， 89a范围是 。， 89评析：对于已知方程或不等式有解，求参数取值范围的问题，若能转化为函数的值域问题，既可避免讨论又可使问题变得简单易解。三、变更主元例 3 当 时，不等式 恒成立，求实数 x 的取值范围。2|m01mx2分析：若用常规方法，以 x 为主元，则需分类讨论，故可以考虑变更主元，以 m 为主元，可避免讨论。第 2 页（共 3 页）解：原不等式可化为 ，令 。原不等式等01x2m)(21x2m)()f2价于 对 恒成立，故有 ，解得 ，即 （0)m(f，(f) 37） 。2317，四、正难则
4、反例 4 已知函数 ，若在区间 1，1内至少存在1p2x)p(4)x(f2一个实数 c，使 ，求实数 p 的取值范围。0分析：若从正面考虑，则要讨论函数 f(x)在区间1，1内存在一个实数或两个实数，使得 。若从反面考虑，则可避免讨论。)(f解：若在区间1，1内不存在实数 c，使 ，则只需 ，即0)(f0)1(f，解得 。故符合题意的 p 的取值范围是 。0p29323p或 23p|五、数形结合例 5 当 时，关于 x 的不等式 恒成立，求实数 a 的1x 0a43x)1a(2取值范围。分析：如果求二次函数 在（1，1）上的最小值，分三种)()(f2情况进行讨论，解题过程不但比较复杂，而且容易
5、出错。若利用图形的位置关系求解，则一目了解。解：原命题等价于不等式 时恒成立。作x)2x(a3x2 在在1x1 的图象与过定点（2，0）的直线 ，如图，当直线3x2y )2(ay过（1，2）时， ；当直线绕着点（2，0）顺时针旋转时也满足题设条件。综上知1a，即 。3a，（ 3第 3 页（共 3 页）评析：大家在平时的解题中，若能认真仔细地分析题设条件和结论的特点，灵活运用避免分类讨论的优化策略，通过避免烦杂的讨论，就会使所求的问题更加简洁明了。练一练已知 对任意实数 x,y 都成立，且 ，则 ）（）（）（ yfxyf 31f）（ )1(f20_。)206(f7)(f3L参考答案：6021提示：由 ，令 ，y=1，那么 。又)y(fx)(f）（ Nkx )1(fk)(ff(1)=3，可得 。由 ，知 ，故 f(0)，f(1)，31k )0(f1)(ff(2)， 是首项为 1，公比为 3 的等比数列。在上式中依次令 k=0，1，2，2007 可得。
