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1、 中考压轴题之【因动点产生的相似三角形问题 】精品解析1中考压轴题之三角形的存在性问题【因动点产生的相似三角形问题】精品解析【例 1】 （2013 年上海市中考第 24 题）如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，顶点为 M 的抛物线 yax 2bx（a0）经过点 A 和 x 轴正半轴上的点 B，AO BO2，AOB 120（1 ）求这条抛物线的表达式；（2 ）连结 OM，求AOM 的大小；（3 ）如果点 C 在 x 轴上，且ABC 与AOM 相似，求点 C 的坐标图 1 思路点拨1第（2 ）题把求AOM 的大小，转化为求BOM 的大小2因为BOMABO 30，因此点 C 在点 B 的右侧时，
2、恰好有ABCAOM3根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论ABC 与AOM 相似满分解答（1 ）如图 2，过点 A 作 AHy 轴，垂足为 H在 Rt AOH 中，AO2，AOH30，所以 AH1，OH 所以 A 3(1,3)因为抛物线与 x 轴交于 O、B(2,0)两点，设 yax( x2)，代入点 A ，可得 (,)a图 2所以抛物线的表达式为 233()yxx（2 ）由 ，223(1)yx得抛物线的顶点 M 的坐标为 所以 3(,)3tanBOM所以BOM30 所以AOM150 中考压轴题之【因动点产生的相似三角形问题 】精品解析2（3 ）由 A 、B (2,0)、 M ，(1,3)3
3、(1,)得 ， ， tanO22O所以ABO 30， 3因此当点 C 在点 B 右侧时， ABCAOM150ABC 与 AOM 相似，存在两种情况：如图 3，当 时， 此时 C(4,0)3AOM23BAC如图 4，当 时， 此时 C(8,0)B6图 3 图 4考点伸展在本题情境下，如果ABC 与 BOM 相似，求点 C 的坐标如图 5，因为BOM 是 30底角的等腰三角形，ABO 30 ，因此ABC 也是底角为 30的等腰三角形，AB AC，根据对称性，点 C 的坐标为(4,0) 图 5【例 2】 （2012 年苏州市中考第 29 题） 中考压轴题之【因动点产生的相似三角形问题 】精品解析3如
4、图 1，已知抛物线 （b 是实数且 b2）与 x 轴的正半轴分别交于点21()44yxA、 B（点 A 位于点 B 是左侧） ，与 y 轴的正半轴交于点 C（1 ）点 B 的坐标为 _，点 C 的坐标为_（用含 b 的代数式表示） ；（2 ）请你探索在第一象限内是否存在点 P，使得四边形 PCOB 的面积等于 2b，且PBC 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3 ）请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q，使得 QCO 、QOA 和QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在
5、，请说明理由图 1思路点拨1第（2 ）题中，等腰直角三角形 PBC 暗示了点 P 到两坐标轴的距离相等2联结 OP，把四边形 PCOB 重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含 b 的式子表示3第（3 ）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点 Q 最大的可能在经过点 A 与 x 轴垂直的直线上满分解答（1 ） B 的坐标为 (b, 0)，点 C 的坐标为(0, )4b（2 ）如图 2，过点 P 作 PDx 轴，PEy 轴，垂足分别为 D、E，那么PDB PEC 因此 PDPE 设点 P 的坐标为 (x, x)如图 3，联结 OP所以 S 四边形 PCOBS PCO S
6、 PBO 2b15248bx解得 所以点 P 的坐标为( )165x6,5图 2 图 3（3 ）由 ，得 A(1, 0)，OA 1211()()44byxxb如图 4，以 OA、OC 为邻边构造矩形 OAQC，那么OQCQOA当 ，即 时，BQAQOABAQO2BA 中考压轴题之【因动点产生的相似三角形问题 】精品解析4所以 解得 所以符合题意的点 Q 为( )2()14b843b1,23如图 5，以 OC 为直径的圆与直线 x1 交于点 Q，那么OQC90 。因此OCQ QOA当 时，BQA QOA此时OQB90BAQO所以 C、Q、B 三点共线因此 ，即 解得 此时 Q(1,4)BOAC1
7、4b4A图 4 图 5考点伸展第（3）题的思路是，A 、C、O 三点是确定的，B 是 x 轴正半轴上待定的点，而QOA 与QOC 是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况这样，先根据QOA 与QOC 相似把点 Q 的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点 B 的位置如图中，圆与直线 x1 的另一个交点会不会是符合题意的点 Q 呢？如果符合题意的话，那么点 B 的位置距离点 A 很近，这与 OB4OC 矛盾 中考压轴题之【因动点产生的相似三角形问题 】精品解析5【例 3】 （2012 年黄冈市中考模拟第 25 题）如图 1，已知抛物线的方程 C1： (m0)与 x 轴交于点
8、 B、C，与 y 轴交于点 E，(2)yx且点 B 在点 C 的左侧（1 ）若抛物线 C1 过点 M(2, 2)，求实数 m 的值；（2 ）在（1 ）的条件下，求BCE 的面积；（3 ）在（1 ）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点 H，使得 BHEH 最小，求出点 H 的坐标；（4 ）在第四象限内，抛物线 C1 上是否存在点 F，使得以点 B、C、F 为顶点的三角形与BCE 相似？若存在，求 m 的值；若不存在，请说明理由图 1思路点拨1第（3 ）题是典型的“牛喝水”问题，当 H 落在线段 EC 上时，BHEH 最小2第（4 ）题的解题策略是：先分两种情况画直线 BF，作CBFEBC45，或者
9、作 BF/EC再用含 m 的式子表示点 F 的坐标然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于 m 的方程满分解答（1 ）将 M(2, 2)代入 ，得 解得 m4 1(2)yxm124()（2 ）当 m4 时， 所以 C(4, 0)，E(0, 2)4x所以 SBCE 62BCOE 中考压轴题之【因动点产生的相似三角形问题 】精品解析6（3 ）如图 2，抛物线的对称轴是直线 x1，当 H 落在线段 EC 上时，BHEH 最小设对称轴与 x 轴的交点为 P，那么 EOC因此 解得 所以点 H 的坐标为 4HP323(,)2（4 ） 如图 3，过点 B 作 EC 的平行线交抛物线于 F，过点 F 作 FF
10、x 轴于 F由于BCE FBC，所以当 ，即 时，BCEFBCBE设点 F 的坐标为 ，由 ，得 1(,2)(xxmOC1(2)mx解得 xm2所以 F(m2, 0)由 ，得 所以 COBE24B2(4)F由 ，得 2F22()()m整理，得 016 此方程无解图 2 图 3 图 4如图 4，作CBF 45交抛物线于 F，过点 F 作 FFx 轴于 F，由于EBC CBF，所以 ，即 时，BCEBFCBEC2BE在 Rt BFF中，由 FFBF ，得 1()xm解得 x2m所以 F 所以 BF2m2 ， (2,0) 2()F由 ，得 解得 BCE ()综合、，符合题意的 m 为 考点伸展第（4
11、）题也可以这样求 BF 的长：在求得点 F、F 的坐标后，根据两点间的距离公式求 BF 的长 中考压轴题之【因动点产生的相似三角形问题 】精品解析7【例 4】 （2010 年义乌市中考第 24 题）如图 1，已知梯形 OABC，抛物线分别过点 O（0 ，0） 、A（ 2，0） 、B（6，3 ） （1 ）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点 M 的坐标；（2 ）将图 1 中梯形 OABC 的上下底边所在的直线 OA、CB 以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点 O1、A 1、C 1、B 1，得到如图 2 的梯形 O1A1B1C1设梯形 O1A1B1C1 的面积为 S，A 1、 B1 的坐标分
12、别为 (x1， y1)、(x 2，y 2)用含 S 的代数式表示 x2x 1，并求出当 S=36 时点 A1 的坐标；（3 ）在图 1 中，设点 D 的坐标为(1，3)，动点 P 从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿着线段BC 运动，动点 Q 从点 D 出发，以与点 P 相同的速度沿着线段 DM 运动P、Q 两点同时出发，当点 Q 到达点 M 时，P、Q 两点同时停止运动设 P、Q 两点的运动时间为 t，是否存在某一时刻 t，使得直线PQ、直线 AB、x 轴围成的三角形与直线 PQ、直线 AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由 中考压轴题之【因动点产生的相似三角形问题 】精品解析8图 1 图 2思路点拨1第（2 ）题用含 S 的代数式表示 x2x 1，我们反其道而行之，用 x1，x 2 表示 S再注意平移过程中梯形的高保持不变，即 y2y 13 通过代数变形就可以了2第（3 ）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证3第（3 ）题的示意图，不变的关系是：直线 AB 与 x 轴的夹角不变，直线 AB 与抛物线的对称轴的夹角不变
