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1、成 绩中国矿业大学05 级硕士研究生课程考试试卷考试科目 数值分析考试时间 2006 年 01月研究生姓名 所在院系 学号 任课教师 班级序号 中国矿业大学研究生培养管理科印制1一、填空（共 20分，每个空 2分）1设 为某个数四舍五入得到的近似值，则 具有 4 位有效数字，其绝对误差限670.2x x为 ，相对误差限为 。3310.2用计算机求方程 的两个根，当 时，为使结果更精确，)(2acbxa acb应采取计算公式： ， 。1xsign4)22x1c3设 是某函数 以 为节点的三次插值多43231)( axaP)(f320,x项式，则差商 。,20xf14设 是线性方程组 的近似解（向
2、量） ，则在 为非病态矩阵的情况下，残向量xbAA的范数 越小，近似解的精度就越高。br5设 ，则 ， ， 。201228.53)(2)(ACond3二、 （10 分） 确定常数 使得迭代法rqp, ),210(521 Lkxarxkk局部收敛到 ，并有尽可能高的收敛阶，这时阶数是多少？)0(3ax【解】迭代函数为52)(xarqpx首先要 1)(rqp为有尽可能高的收敛阶， 2令 0520)52() *623* rqpxarqpxx再令 )()*724* x解之得： ,95qp1r可直接验证 ，所以最高的收敛阶是 3 阶。0)(*x三、 （15 分） 下面两个题任选一个1设 是对称正定矩阵，
3、试推导下面 Cholesky 分解算法：A Tnnnnnnn Lllllllaa MOLMLM221121121212要求 的元素按行计算出来，即按 的顺序计算。Ll,12设线性方程组 （ ）的解 存在且唯一，对于迭代法fxnR*x，fMxkk)()1( L,20如果 ，证明对任取的初始向量 有 并有如下两个估计式：1qM)0( *)(limxk和)1()(*)( kk xqx )0()1(*)( xqkk【第 1题解】通过比较矩阵两边元素可得如下伪程序 1alni:2forij3jjkjiiij lal/)(1end12iki lal【第 2题解】 *)1(*)1(*)1(*)( )( xq
4、xMfxfMxx kkkk 递推得 ，故 即)0(*)(qk0)( )(limk再由 得)1()(*)(*)1()( kkk xxqxx )1()(*)(1kk类似 代入上式得)0()()2()1()1()( xqxqxkkkk )0()1(*)(k四、 （15 分） 确定下面求积公式中的系数 和 ，使其代数精度尽可能高，并判断其代数AB精度是多少。 )51()()1()(1 ffffdxf 再根据此公式写出计算 的求积公式。baf【解】令 使公式精确成立L,1)(xfxf2BA2)(354解得： ，公式为：65,1BA )51()(65)1(6)(1 ffffdxf 易验上面公式对 精确成立
5、，而 不精确成立，故代数精度为 5543,fxf次。对 作变量代换：badxf)( 2abtx1)2()( dtabtfdfba )251(52)(12 abfaffb五、 （15 分）下面两个题任选一个1对于给定的数据对 ，其中 互不同。),(iyx),210nLix),210(nL（1）写出 Lagrange 插值多项式 ；(xn（2）对于给定的 写出计算函数值 的算法。*x)*2试叙述区间 上三次样条函数的定义，并据此定义确定出未知参数 使,ba CBA,32 90/)4269( 17 /45)32 xxCxBAS为满足边界条件 的三次样条函数。0),1)0(【第 1题解】 （1） 见书
6、（略）xLn（2）算法（参见 P74 流程图）输入： 和),(iy),210n*x05for ni:01tfor j:if itjxit)(*endend)(iytend【第 2题解】 （1）定义见书略（2） 在 连续，)(xS24BA在 连续， 6C由 ，0)3(1解之： ,519BA六、 （15 分）叙述线性最小二乘拟合问题，并证明线性最小二乘拟合问题的解必是法方程组的解。【解】 （1）问题：设 是观测的点列， 是一给定的miiyx1),( )(,)(,21xxnL,baC函数族（一般要求线性无关） ， ，要求在 中找一函数n21span（即求 ）：Tnax),(*1L)()(*2*1*
7、xxnL6使得 。 miiimi ii yxyx1212* )(n)(（2）法方程组的推导（见书）七、 （10 分）下面两个题任选一个1对求解微分方程 初值问题的隐式 RK 公式：),(yxf )(21,11 nnn yhy（1）求该方法的阶；（2）讨论绝对稳定性。2设计下面 Givens 变换的算法，其中 是 Givens 矩阵。0bcaGG【第 1 题解】 （1） )()(21,(1nnnxyhxf2)(, 21hOfyxyf nnn （注意到 ）)()( 21xyxnnn2)(, 2hfyhfxyf nn )(21Ohnn )()(21,)( 11 nnnxyhxfyxT )()(2)() 332 hOhynnn 该方法(至少) 是 2 阶方法。（2）将 代入迭代公式得yxf),(7，即)(2111nnyhynnyh21设 有误差 ，用 计算得 ，则ny1nh1因为无论 取何值都有 （ ） ，故该公式是无条件绝对稳定的。0120h【第 2 题解】，2cosca2sinca, ，其中csG10bG2b
