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1、高三数学不等式的证明教学设计 1664 不等式的证明 II一、明确复习目标1 掌握反证法、数学归纳法和放缩法的一些策略技巧；2 了解换元法、判别式法、数形结合、构造法，了解不等式证明方法的多样性和灵活性提高分析问题,解决问题的能力二建构知识网络1 反证法：正难则反 否定结论，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论正确。2 放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小,利用不等式的传递性证 明不等式常用的放缩手法有：添加或舍去一些项，如： ； ；将分子或分母放大（或缩小）利用基本不等式，绝对值不等式,a20 等;若 a0,则 3 换元法：换元的目的是减少不等式中的变量，或者化繁为简常用的换元有
2、三角换元和代数换元换元法必须注意新变元的取值范围4 构造法：通过构造函数、方程或几何图形,利用相关知识证明不等式；数学归纳法法:证明与正整数有关的不等式6 利用函数的单调性利用单调函数中自变量大小与函数值之间的联系要特别重视这种方法,因为高考中常把不等式综合在函数、数列或其它数学问题之中。三、双基题目练练手1 已知 a、b 是不相等的正数， x= ，= ，则 x、的关系是( )AxBxx D 不能确定2 设=a+ （2a3） ，N=lg （x2+ ） （xR ） ，那么、N 的大小关系是ANB=N ND 不能确定3 （200 春北京）若不等式（1）na2+ 对任意 nN* 恒成立，则实数 a
3、的取值范围是 ( )A2， ）B（2， ）3， ）D（3， ）4 在等差数列an 与等比数列bn中，a1=b10，a2n+1=b2n+10（n=1，2，3，） ，则 an+1 与 bn+1 的大小关系是_若 ab，则 + _ （填“”“=”“”）6 记 S= ，则 S 与 1 的大小关系是_简答:1-3BAA; 3 当 n 为正偶数时，a2 ，2 为增函数，a2 = 当 n 为正奇数时，a2+ ，a2 而2 为增函数，2 2，a2 故 a2， ）答案：A4 an+1= = =bn+1 答案：an+1bn+1ab， （ + ） （a）=（ + ） （ab ）+ （b） 4 + 答案：; 6 S1
4、四、经典例题做一做【例 1】已知 a，b R，且 a+b=1 求证： 证法一：比较法，作差消 b,化为 a 的二次函数。 也可用分析法、综合法，反证法，实质与比较法相同。证法二：（放缩法） 左边 右边证法三：（均值换元法） ，所以可设 ， ，左边 右边当且仅当 t=0 时，等号成立点评：形如 a+b=1 结构式的条，一般可以采用均值换元证法四：（判别式法）设=(a+2)2+(b+2)2，由 a+b=1，有 ，所以 ，因为 ，所以 ，即 故 温馨提示:注意体验不等式证明方法的灵活性和各种证明方法间的内在联系【例 2】 （1）设 ，且 ，求证： ；（2）设 ，且 ，求证： 【证明】 （1）设 则
5、，= 。（2）设 ， ， 。于是 。【例 3】已知 a1， n2，nN*求证： 1 证法一：要证 1 ，即证 a（ +1）n令 a1=t0，则 a=t+1也就是证 t+1（1+ ）n（1+ ） n=1+ + （ ）n1+t，即 1 成立证法二：设 a=xn， x1于是只要证 x1，即证 n 联想到等比数列前 n 项和=1+x+xn-1n n【例 4】已知 (1)求 f(x)的单调区间；(2)求证：x （3）若 求证： 解: （1） 对 已 知 函 数 进 行 降 次 分 项 变 形 , 得 ,（2） 而 另法: 点评：函 数 与 不 等 式 证 明 的 综 合 题 在 高 考 中 常 考 常
6、新 , 是 既 考 知 识 又 考 能 力 的 好 题 型 , 在 高 考 备 考 中 有 较 高 的 训 练 价 值 【研讨欣赏】数列an满足 a1=1 且 an+1= （n1）（1）用数学归纳法证明：an2（n2 ） ；（2）已知不等式 ln（1+x）x 对 x0 成立，证明：ane2（n1） ，其中无理数 e=271828证明:（1）当 n=2 时，a2=22，不等式成立假设当 n=（2）时不等式成立，即 a2（2 ） ，那么 a+1= 2这就是说，当 n=+1 时不等式成立 根据、可知：a2 对所有 n2 成立（2）由递推公式及（1）的结论有an+1= ， （n1）两边取对数并利用已知
7、不等式得lnan+1ln +lnanlnan+ 故 lnan+1lnan ， （n1） 上式从 1 到 n1 求和可得lnanlna1 + + + + + =1 + + =1 +1 2 ，即 lnan 2，故 ane2 （n1） 五提炼总结以为师1高考中一般不出现单一的不等式的证明题，常常与函数、数列、三角、方程综合在一起，所以，除掌握常用的三种方法外，还需了解其他方法，如函数的单调性法、判别式法、换元法（特别是三角换元） 、放缩法以及数学归纳法等2总结所学不等式证明的方法：同步练习 64 不等式的证明 II 【选择题】1 若 0，则下列结论不正确的是 ( )Aa2 b2Babb2+ 2D|a
8、|+|b| |a+b|2 已知 a b0，若 P= ，Q= ，则 ( )APQBPQPQDPQ3（200 天津）已知 ，则 ( )A2b2a2 B 2a2b2 22b2a D 22a2b4 (200 江西）已知实数 a、b 满足等式 下列五个关系式：00 a=b其中不可能成立的关系式有（ ）A1 个 B2 个3 个 D4 个【填空题】设实数 x、满足x20，0a1 则 P=lga（ax a）与Q=lga2 的大小关系是 _（填“”“=”“”）6 已知不等式 对 nN+都成立，则实数的取值范围是_。简答提示：1-4ADAB; axa2 2 xx2 （x ）2 ，0a 1，axa2 2a lga（
9、axa）lga2a lga2 即 P 6 记 ,则 ,最大 1【解答题】7已知 ， 求证： 都属于 。【证明】由已知得： ，代入 中得： ，0，即 解得 ，即 。同理可证 x ，z 。8 设 ，且 ，求证： 因为 ，而 所以 ，所以 a，b 为方程 （1）的二实根而 ，故方程（1）有均大于的二不等实根。记 ，则解得 。法 2: 由已知得0, 否则,由(a+b+)2=1 得A2+b2+2=1-2(ab+b+a)1,与已知矛盾又 a+b=1-代入 2=1-(a2+b2)得 32-2-10，且 =1, 求证：(I) ab4; (II) 对于一切 nN*, (ab)nan bn22n2n1 成立 证明
10、：(I) =1, ab=( )(ab)=1 14, (II) 当 n=1 时, 左式0，右式0，n=1 时成立假设 n=时成立，即(ab)a b2221,则当 n= 1 时，(ab)1a 1b1=(ab) (ab)a1b1(a b)(ab22 21) a1b1=abba(ab)(2221)221=22222, n=1 时命题成立归纳原理知,不等式对一切 nN* 都成立10 已知 a、b 为正数，求证：（1）若 +1 ，则对于任何大于 1 的正数 x，恒有 ax+ b 成立；（2）若对于任何大于 1 的正数 x，恒有 ax+ b 成立，则 +1 分析：对带条的不等式的证明，条的利用常有两种方法：
11、证明过程中代入条；由条变形得出要证的不等式证明：（1）ax+ =a（x1）+ +1+a2 +1+a=（ +1）2 +1 （b0） ，（ +1） 2b 从而 ax+ b（2）ax+ b 对于大于 1 的实数 x 恒成立，即 x1 时， ax+ inb，而 ax+ =a（x1）+ +1+a2 +1+a=（ +1）2，当且仅当 a（x1） = ，即 x=1+ 1 时取等号故ax+ in=（ +1）2则（ +1） 2b，即 +1 评述：条如何利用取决于要证明的不等式两端的差异如何消除【探索题】 （200 湖北）已知不等式 , 其中 n 为大于 2 的整数， 表示不超过 的最大整数 设数列 的各项为正，且满足 （）证明 （）试确定一个正整数 N，使得当 时，对任意 b0，都有 解：（）证法 1：当 即 于是有 所有不等式两边相加可得 由已知不等式知，当 n3 时有， 证法 2：设 ，首先利用数学归纳法证不等式 （i）当 n=3 时， 由 知不等式成立（ii）假设当 n=（3 ）时，不等式成立，即 则 即当 n=+1 时，不等式也成立由（i） 、 （ii）知， 又由已知不等式得 （） 则有 故取 N=1024，可使当 nN 时，都有
