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1、数学竞赛平面几何讲座：三角形的五心第五讲 三角形的五心三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心一、外心三角形外接圆的圆心，简称外心与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理例 1过等腰AB 底边 B 上一点 P 引 PA 交 AB 于；引PNBA 交 A 于 N 作点 P 关于 N 的对称点 P试证：P点在AB 外接圆上分析：由已知可得 P=P=B，NP=NP=N，故点是 PBP 的外心，点N 是PP 的外心有BPP= BP= BA，PP= PN= BABP=BPP+PP=BA从而，P点与 A，B，共圆、即 P在AB 外接圆上由于 PP 平分BP，显然还有 PB:P=BP:P例
2、2在AB 的边 AB，B ，A 上分别取点 P，Q ，S 证明以APS，BQP， SQ 的外心为顶点的三角形与 AB 相似分析：设 1，2，3 是APS， BQP，SQ 的外心，作出六边形1P2Q3S 后再由外心性质可知P1S=2A，Q2P=2B，S3Q=2P1S+Q2P+ S3Q=360从而又知1P2+2Q3+3S1=360将2Q3 绕着 3 点旋转到S3 ，易判断S12P1 ，同时可得12313213= 13= 21= (21S+S1)= (21S+P12)= P1S=A；同理有123= B 故 123AB二、重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心掌握重心将每条中线都分成定比 2:1
3、及中线长度公式，便于解题例 3AD，BE，F 是AB 的三条中线，P 是任意一点证明：在PAD，PBE，PF 中，其中一个面积等于另外两个面积的和分析：设 G 为AB 重心，直线 PG 与 AB，B 相交从 A， ，D，E，F 分别作该直线的垂线，垂足为 A，D，E ，F易证 AA=2DD，=2FF，2EE=AA+，EE=DD+FF有 SPGE=SPGD+SPGF两边各扩大 3 倍，有 SPBE=SPAD+SPF例 4如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似其逆亦真分析：将AB 简记为 ，由三中线 AD，BE ，F 围成的三角形简记为G 为重心，连 DE
4、到 H，使 EH=DE，连 H，HF，则 就是HF(1)a2 ，b2 ，2 成等差数列 若AB 为正三角形，易证 不妨设 ab，有F= ，BE= ，AD= 将 a2+2=2b2，分别代入以上三式，得F= ，BE= ，AD= F:BE:AD = : : =a:b:故有 (2) a2，b2，2 成等差数列当中 ab时，中 FBEAD， ( )2据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的 ”，有 = = 3a2=4F2=2a2+b2-2a2+2=2b2三、垂心三角形三条高的交战，称为三角形的垂心由三角形的垂心造成的四个等(外接) 圆三角形，给我们解题提供了极大的便利例设 A1A2A3A
5、4 为内接四边形，H1，H2，H3，H4 依次为A2A3A4 ， A3A4A1，A4A1A2 ，A1A2A3 的垂心求证：H1，H2，H3，H4 四点共圆，并确定出该圆的圆心位置分析：连接 A2H1， A1H2，H1H2，记圆半径为 R 由A2A3A4 知 =2R A2H1=2RsA3A2A4；由A1A3A4 得A1H2=2RsA3A1A4但A3A2A4= A3A1A4，故 A2H1=A1H2易证 A2H1A1A2，于是，A2H1 A1H2，故得 H1H2 A2A1 设 H1A1 与 H2A2 的交点为，故 H1H2 与A1A2 关于点成中心对称同理，H2H3 与 A2A3，H3H4 与 A3
6、A4，H4H1 与 A4A1 都关于点成中心对称故四边形 H1H2H3H4 与四边形 A1A2A3A4 关于点成中心对称，两者是全等四边形，H1，H2，H3 ，H4 在同一个圆上后者的圆心设为 Q，Q 与也关于成中心对称由，两点，Q 点就不难确定了例 6H 为AB 的垂心，D，E，F 分别是 B，A，AB 的中心一个以 H 为圆心的H 交直线 EF，FD，DE 于 A1，A2，B1，B2 ，1，2求证：AA1=AA2=BB1=BB2=1=2分析：只须证明 AA1=BB1=1 即可设B=a， A=b，AB= ，AB 外接圆半径为 R，H 的半径为 r 连 HA1，AH 交 EF 于A =A2+A
7、12=A2+r2-H2=r2+(A2-H2)， 又 A2-H2=( AH1)2-(AH- AH1)2 =AHAB-AH2=sAb-AH2， 而 =2R AH2=4R2s2A,=2R a2=4R2sin2AAH2+a2=4R2，AH2=4R2-a2 由、有A =r2+ b-(4R2-a2)= (a2+b2+2)-4R2+r2同理， = (a2+b2+2)-4R2+r2，= (a2+b2+2)-4R2+r2故有 AA1=BB1=1四、内心三角形内切圆的圆心，简称为内心对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系：设 I 为AB 的内心，射线 AI 交AB 外接圆于 A，则有 A I
8、=AB=A换言之，点 A必是 IB 之外心( 内心的等量关系之逆同样有用)例 7ABD 为圆内接凸四边形，取DAB ，AB， BD，DA 的内心 1， 2，3，4 求证：1234 为矩形(1986，中国数学奥林匹克集训题)证明见中等数学1992；4例 8已知内接AB，Q 切 AB，A 于 E，F 且与内切试证：EF 中点 P 是AB 之内心分析：在第 20 届 I 中，美国提供的一道题实际上是例 8 的一种特例，但它增加了条 AB=A 当 ABA，怎样证明呢？ 如图，显然 EF 中点 P、圆心 Q，B 中点都在 BA 平分线上易知AQ= QQN，Q= = = 由 RtEPQ 知 PQ= P=P
9、Q+Q= + = P=B 利用内心等量关系之逆定理，即知 P 是 AB 这内心五、旁心三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于一点，是旁切圆的圆心，称为旁心旁心常常与内心联系在一起，旁心还与三角形的半周长关系密切例 9在直角三角形中，求证：r+ra+rb+r=2p式中 r，ra，rb ，r 分别表示内切圆半径及与 a，b，相切的旁切圆半径，p 表示半周分析：设 RtAB 中，为斜边，先证明一个特性：p(p-)=(p-a)(p-b)p(p-)= (a+b+) (a+b-)= (a+b)2-2 = ab；(p-a)(p-b)= (-a+b+) (a-b+)= 2-(a-b)2= abp
10、(p-)=(p-a)(p-b) 观察图形，可得ra=AF-A=p-b，rb=BG-B=p-a，r=p而 r= (a+b-)=p-r+ra+rb+r=(p-)+(p-b)+(p-a)+p=4p-(a+b+)=2p由及图形易证例 10是AB 边 AB 上的任意一点 r1，r2 ，r 分别是A，B ，AB 内切圆的半径，q1，q2，q 分别是上述三角形在AB 内部的旁切圆半径证明： = (I-12)分析：对任意AB，由正弦定理可知D=A =AB =AB ，E= AB 亦即有= = = 六、众心共圆这有两种情况：(1)同一点却是不同三角形的不同的心；(2)同一图形出现了同一三角形的几个心例 11设在圆
11、内接凸六边形 ABDFE 中，AB=B，D=DE，EF=FA试证：(1)AD，BE，F 三条对角线交于一点；(2)AB+B+D+DE+EF+FAA+BE+F分析：连接 A，E，EA，由已知可证 AD，F ，EB 是 AE 的三条内角平分线，I 为AE 的内心从而有 ID=D=DE，IF=EF=FA，IB=AB=B再由BDF，易证 BP，DQ ，FS 是它的三条高， I 是它的垂心，利用 不等式有：BI+DI+FI2(IP+IQ+IS)不难证明 IE=2IP，IA=2IQ，I=2IS BI+DI+FIIA+IE+IAB+B+D+DE+EF+FA=2(BI+DI+FI)(IA+IE+I)+(BI+
12、DI+FI)=AD+BE+FI 就是一点两心例 12AB 的外心为， AB=A，D 是 AB 中点，E 是 AD 的重心证明 E 丄 D分析：设 A 为高亦为中线，取 A 中点F，E 必在 DF 上且 DE:EF=2:1 设D 交 A 于 G，G 必为AB 重心连 GE，F ，F 交 D 于易证：DG:G= D:( )D=2:1DG:G=DE:EF GEFD 丄 AB，FAB，D 丄 F D 丄 GE 但 G 丄 DE G 又是DE 之垂心易证 E 丄 D例 13AB 中=30，是外心，I 是内心，边 A 上的 D 点与边B 上的 E 点使得 AD=BE=AB 求证：I 丄 DE，I=DE 分
13、析：辅助线如图所示，作DA 平分线交 B 于易证AIDAIBEIB，AID=AIB=EIB 利用内心张角公式，有AIB=90+ =10，DIE=360-103=4AB=30+ DA=30+ (BA-BA)=30+ (BA-60)= BA=BAI=BEIAIE由等腰AD 可知 D 丄 A，D 丄 IE，即 DF 是DIE 的一条高同理 E 是DIE 之垂心，I 丄 DE由DIE=ID ，易知 I=DE例 14锐角AB 中， ，G，H 分别是外心、重心、垂心设外心到三边距离和为 d 外，重心到三边距离和为 d 重，垂心到三边距离和为 d 垂 求证：1d 重分析：这里用三角法设AB 外接圆半径为 1
14、，三个内角记为 A，B，易知 d 外=1+2+3=sA+sB+s ，2d 外=2(sA+sB+s) AH1=sinBH33d 重= AB 三条高的和=2sinB) =2，HH1=ss同样可得 HH2，HH3d 垂=HH1+HH2+HH3=2(sBsB) 欲证结论，观察、，须证(sBsB)+( sA+ sB+ s)=sinBsinB 即可练 习 题1I 为 AB 之内心，射线 AI，BI，I 交AB 外接圆于 A，B， 则 AA+BB+AB 周长2T 的三边分别等于 T 的三条中线，且两个三角形有一组角相等求证这两个三角形相似3I 为 AB 的内心取IB， IA， IAB 的外心 1，2，3 求
15、证：123 与AB 有公共的外心 (4AD 为AB 内角平分线取AB，ABD，AD 的外心，1，2 则12 是等腰三角形AB 中 90，从 AB 上点作 A，B 的垂线 P，QH 是PQ 的垂心当是 AB 上动点时，求 H 的轨迹(I-7)6AB 的边 B= (AB+A)，取 AB，A 中点，N ，G 为重心，I 为内心试证：过 A， ，N 三点的圆与直线 GI 相切7 锐角AB 的垂心关于三边的对称点分别是 H1，H2，H3 已知：H1，H2，H3，求作AB8 已知AB 的三个旁心为 I1，I2，I3 求证：I1I2I3 是锐角三角形9AB ，A 切于 B， ，过 A 与 B 的交点任作的弦 EF 求证：(1)AEF 与 AB 有公共的内心； (2)AEF 与 AB 有一个旁心重合
