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1、高考数学（理科）一轮复习空间几何体的表面积与体积学案含答案学案 41空间几何体的表面积与体积导学目标： 1 了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积的计算公式 2了解球、柱、锥、台的体积的计算公式 3 培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力，会利用所学公式进行必要的计算 4 提高认识图、理解图、应用图的能力自主梳理 1多面体的表面积(1)设直棱柱高为 h，底面多边形的周长为，则 S 直棱柱侧_(2)设正 n 棱锥底面边长为 a，底面周长为，斜高为 h，则 S 正棱锥侧_(3)设正 n 棱台下底面边长为 a，周长为，上底面边长为 a，周长为，斜高为 h，则S 正棱台侧 _(4)设球的半径为 R，
2、则 S 球_2几何体的体积公式(1)柱体的体积 V 柱体 _(其中 S 为柱体的底面面积， h 为高)特别地，底面半径是 r，高是 h 的圆柱体的体积 V 圆柱r2h(2)锥体的体积 V 锥体 _(其中 S 为锥体的底面面积，h 为高)特别地，底面半径是 r，高是 h 的圆锥的体积 V 圆锥13r2h(3)台体的体积 V 台体 _(其中 S，S 分别是台体上、下底面的面积，h 为高)特别地，上、下底面的半径分别是 r、r ，高是 h 的圆台的体积 V圆台13h(r2 rrr2) (4)球的体积 V 球 _(其中 R 为球的半径 )自我检测 1已知两平行平面 ， 间的距离为 3，P ，边长为 1
3、 的正三角形 AB 在平面 内，则三棱锥 PAB 的体积为( )A14 B1236 D342(2011唐月考 )从一个正方体中，如图那样截去 4 个三棱锥后，得到一个正三棱锥 ABD，则它的表面积与正方体表面积的比为()A33 B2236 D663设三棱柱 ABA1B11 的体积为 V，P，Q 分别是侧棱AA1，1 上的点，且 PAQ1，则四棱锥 BAPQ 的体积为( )A16V B14V13V D12V4(2011平顶月考 )下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是()A9 B1011 D12(2011陕西 )某几何体的三视图如下，则它的体积是( )A823 B8382
4、 D23 探究点一 多面体的表面积及体积例 1 三棱柱的底面是边长为 4 的正三角形，侧棱长为 3，一条侧棱与底面相邻两边都成 60角，求此棱柱的侧面积与体积 变式迁移 1(2011 烟台月考)已知三棱柱 ABA1B11 的侧棱与底面边长都等于 2，A1 在底面 AB 上的射影为 B 的中点，则三棱柱的侧面面积为_探究点二旋转体的表面积及体积例 2 如图所示，半径为 R 的半圆内的阴影部分以直径 AB 所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积(其中BA 30)及其体积变式迁移 2直三棱柱 ABA1B11 的各顶点都在同一球面上若AB AAA12， BA120，则此球的表面积等于_
5、探究点三侧面展开图中的最值问题例 3 如图所示，长方体ABDA1B11D1 中，ABa，Bb，1，并且 a0 求沿着长方体的表面自 A 到 1 的最短线路的长变式迁移 3(2011 杭州月考)如图所示，在直三棱柱AB A1B11 中，底面为直角三角形，AB90，A 6，B 1 2P 是 B1 上一动点，则 PPA1 的最小值是_1有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素2当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割”、 “补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体
6、(柱、锥、台) ，或化离散为集中，给解题提供便利(1)几何体的“ 分割” ：几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之(2)几何体的“ 补形”：与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法，由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研究体积 (满分：7 分)一、选择题(每小题分，共 2 分)1(2011安徽 )一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A48 B3281748817 D802已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体
7、积是 323，则这个三棱柱的体积是( )A963 B163 243 D4833已知正方体 ABDA1B11D1 的棱长为 a，长为定值的线段 EF在棱 AB 上移动(EFa)，若 P 是 A1D1 上的定点，Q 是 1D1 上的动点，则四面体 PQEF 的体积是()A有最小值的一个变量B 有最大值的一个变量没有最值的一个变量D一个不变量4(2010全国 )设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )Aa2 B73a2113a2 Da2(2011北京 )某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是()A8 B62 10 D82二、填空题(每
8、小题 4 分，共 12 分)6(2011马鞍月考)如图，半径为 2 的半球内有一内接正六棱锥 PABDEF，则此正六棱锥的侧面积是_7(2011淄博模拟 )一块正方形薄铁片的边长为 4 ，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形(如图) ，用这块扇形铁片围成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的容积等于_38(2011四川 )如图，半径为 R 的球中有一内接圆柱当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是_三、解答题(共 38 分)9(12 分)(2011 佛模拟) 如图组合体中，三棱柱 ABA1B11 的侧面 ABB1A1 是圆柱的轴截面，是圆柱底面圆周上不与A、B 重合的一个
9、点当点是弧 AB 的中点时，求四棱锥 A1B1B1与圆柱的体积比10(12 分)(2011抚顺模拟) 如图，四面体ABD 中， AB 与DB 都是边长为 4 的正三角形(1)求证：B AD；(2)试问该四面体的体积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时棱长 AD 的大小；若不存在，说明理由11(14 分)(2011锦州期末 )如图，多面体 ABFED 的直观图及三视图如图所示， ，N 分别为 AF，B 的中点(1)求证：N 平面 DEF；(2)求多面体 ADEF 的体积学案 41 空间几何体的表面积与体积自主梳理1(1)h (2)12nah12h(3)12n(aa)h12( )h(4)4
10、R22(1)Sh(2)13Sh(3)13h(SSSS)(4)43R3自我检测1D由题意，S AB34，三棱锥的高 h3，V 三棱锥 PAB13Sh 342A设正方体棱长为 a，则正四面体棱长 AB2a ，S 正四面体表 434(2a)223a2S 正方体表 6a2，四面体的表面积与正方体表面积的比为3334D据三视图可知该几何体由球和圆柱体组成，如图所示，故该几何体的表面积为 SS 圆柱S 球264 12A由三视图可知该几何体是一个边长为 2 的正方体内部挖去一个底面半径为 1，高为 2 的圆锥，所以V23132823 ，故选 A堂活动区例 1 解题导引对于斜棱柱表面积及体积的求解必须求各个侧
11、面的面积和棱柱的高解决此类斜棱柱侧面积问题的关键：在已知棱柱高的条下，用线面垂直线线垂直的方法作出各个侧面的高，并在相应的直角三角形中求解侧面的高解如图，过点 A1 作 A1面 AB 于点，连接 A过点 A1 作 A1EAB 于点 E，过点 A1 作 A1FA 于点 F，连接E，F，易得 EAB，FA，AA1 和 AB 与 A 都成 60角，A1AEA1AF，A1E A1FA1面 AB，EF点在BA 的角平分线上，延长 A 交 B 于点 D，AB 是正三角形，BAD B AA1AA1BB1，侧面 BB11 是矩形，三棱柱的侧面积为 S234sin 603412123AA13，AA1 与 AB
12、和 A 都成 60角，AE 32BA30，A3，A16三棱柱的体积为 V34166122变式迁移 1274解析如图所示，设 D 为 B 的中点，连接 A1D，ADAB 为等边三角形，ADB，B平面 A1AD，BA1A ，又A1AB1B，BB1B，又侧面与底面边长都等于 2，四边形 BB11 是正方形，其面积为 4作 DEAB 于 E，连接 A1E，则 ABA1E，又AD2212 3，DEADBDAB32，AE AD2 DE2 32，A1E AA21AE272，S 四边形 ABB1A17，S 三棱柱侧 274例 2 解题导引解决这类题的关键是弄清楚旋转后所形成的图形的形状，再将图形进行合理的分割
13、，然后利用有关公式进行计算求全面积时不要忘记“内表面” 解如图所示，过作 1AB 于 1，在半圆中可得BA90，BA 30 ，AB 2R ，A3R，B R，132R ，S 球 4R2，S 圆锥 A1 侧32R3R32R2，S 圆锥 B1 侧32RR32R2，S 几何体表 S 球 S 圆锥 A1 侧S 圆锥 B1 侧112R232R21132R2 ，旋转所得到的几何体的表面积为 1132R2又 V 球43R3，V 圆锥 A1132114R2A1 ，V 圆锥 B113B1B1，V 几何体V 球(V 圆锥 A1V 圆锥 B1)43R312R36R3变式迁移 220解析在AB 中， ABA2，BA 1
14、20，可得 B23，由正弦定理，可得AB 外接圆的半径 r2，设此圆圆心为，球心为，在 RtB中，易得球半径 R，故此球的表面积为 4R220例 3 解题导引本题可将长方体表面展开，利用平面内两点间的线段长是两点间的最短距离解答解将长方体相邻两个面展开有下列三种可能，如图所示三个图形甲、乙、丙中 A1 的长分别为：22a2 b222ab ，a22a2 b222b，2b2a2 b222a ，a0 故最短线路的长为 a2b222b变式迁移 32解析将B1 沿 B1 线折到面 A11B 上，如图所示连接 A1 即为PPA1 的最小值，过点作 D 垂直 A11 延长线交于 D，B1 为等腰直角三角形，D1，1D1，A1D A111D7A1A1D2D2 491 2后练习区1由三视图知该几何体的直观图如图所示，该几何体的下底面是边长为 4 的正方形；上底面是长为 4、宽为 2 的矩形；两个梯形侧面垂直于底面，上底
