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1、数列的递推公式（选学）教案教学设计212数列的递推公式(选学)整体设计教学分析本节作为选学内容，标对递推公式没有明确要求考虑到它在认识数列中的作用，教材把它单列一节作为选学实际上，递推公式作为数列的一种表示方法，有其独特的作用，高考试卷中常常见到它的踪影，因此，教学中还是把它作为必学内容对待为好数列作为刻画自然规律的基本数学模型，教材意图是用函数的观点和递推的观点理解数列同上节一样本节也是通过一些例子及头前言中的事例引入递推公式并通过例题，让学生明确数列的递推公式应包括数列的首项和公式本身没有首项，就没有递推的基础，没有递推公式则无法向后延续让学生体会，给出首项和递推公式，就可唯一确定一个数列
2、数列的递推公式也是数列的一种表示方法，它与数列的通项公式紧密相连，但作为开始认识数列，本节不宜过分拓展，加大难度，仅限于理解递推公式的定义，并能用数列的首项和递推公式写出数列的后续各项即可三维目标1通过本节学习，理解数列递推公式的意义，理解递推公式与通项公式的异同会根据数列的首项和递推公式写出数列的后续各项2通过探究、交流、观察、分析等教学方式，充分发挥学生的主体作用，并通过思考与讨论本头左图中的说明，体会数学于生活3通过对数列递推公式的探究，培养学生动手试验，大胆猜想的优秀品质，培养学生对科学的探究精神和严肃认真的态度重点难点教学重点：理解用递推公式定义数列的方法；能用递推公式和首项写出数列
3、的后续各项教学难点：利用数列的递推公式和首项，猜想该数列的通项公式时安排1 时教学过程导入新思路 1(头图引入) 让学生观察头 图中左图兔子的繁殖情况假设每次生出的小兔子都是一雄一雌，并且排除兔子发生死亡的情况，这样每个月兔子的对数，依次可以排成一个数列，你能把这个数列的每一项(第一项除外)用前一项表示出吗？由此展开新的探究思路 2(直接引入) 我们知道数列 1,2,3,4，可用通项公式 ann 表示容易发现，这个数列从第 2 项起的任一项都可用它的前一项表示出，即 anan 1 1(n2)，这就是数列的另一种表示方法，也就是今天我们探究的主要内容：递推公式由此展开探究推进新新知探究提出问题(
4、1)多媒体演示图 1，是工厂生产的钢管堆放示意图，你能写出它的一个通项公式吗？你能找出它的相邻两层之间的关系 吗？(2)数列 an的通项公式是 an2n 从第 2 项起，它的任一项与它相邻的前一项有什么关系？头数列 3，1 s s s 从第 2 项起，它的任一项与它相邻的前一项有什么关系呢？(3)怎样理解递推公式？若已知数列 an2an 11，你能写出这个数列吗？为什么？活动：教师用多媒体演示工厂生产的钢管堆放示意图引 导学生观察钢管堆放示意图，寻其规律，看看能否建立它的一些数学模型由学生合作探究，必要时教师给予点拨模型一：自上而下第 1 层钢管数为 4，即 1413；第 2 层钢管数为，即
5、223；第 3 层钢管数为 6，即 3633；第 4 层钢管数为 7，即 4743；第层钢管数为 8，即8 3；第 6 层钢管数为 9，即 6963；第 7 层钢管数为 10，即 71073若用 an 表示钢管数，n 表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且 ann3(1n7) 模型二：上下层之间的关系自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多 1， 即 a14 ；a2 4 1a11；a36 1a2 1依此类推：anan 11(2n7) 在教师的引导点拨下，学生最终能得到以上两种数学模型，教师适时给以点评首先表扬学生的这种探究问题的精神，不怕困难敢于钻研，而且推得两个很重要的结论对于推得的
6、ann3，只要将 n 的具体值代入，我们就会很快地求出某一层的钢管数因为这一关系反映了每一层的钢管数与其层数之间的对应规律，这会给我们的统计与计算带很大方便，这是由特殊到一般的数学思想方法的运用，是非常正确和成功的对于推得 anan 11(2n7 且nN*)的同学就更值得表扬，因为这是我们没有见过的，这就是创新，这就是聪明智慧的闪现这个关系式说明：只要知道 a1，则以后的每一项都等于它的前项加 1，这样就可以求出第二项，以此类推即可求出其他项这就是我们今天要探究的一个重点内容，也就是数列的另一种表示法，递推公式法我们把数列中具有这种递推关系的式子叫做递推公式递推公式很重要，显然教材上涉及的内容
7、不多，但在每年的高考卷上都有所体现，应引起注意下一节要学习的等差数列就是最简单的递推数列引导学生给递推公式这样下定义：通过给出数列的第一项(或前若干项)，并给出数列的某一项与它的前一项( 或前若干项)的关系式表示数列，这种表示数列的式子叫做这个数列的递推公式注意：递推公式也是给出数列的一种方法如下列数字排列的一个数列：3,8,13,21,34,89，递推公式为a13，a2，anan1an2(3n8) 掌握递推公式的关键一点是把握其中的递推关系，应特别注意探究和发现递推关系中前项和后项，或前、后几项之间的关系有了以上探究活动，学生很容易探究出问题(2)(3)，至此，学生对数列的表示方法有了全面的
8、理解，为数列的后续内容的学习打下了坚实的基础讨论结果：(1)略(2)a1 2 ，an2an1(n2,3,4，) ；数列 3，a11，an s(an1)(n2,3,4，) (3)递推公式包括已知的第 1 项( 或前几项) 才能写出这个数列的后续各项前者是递推的基础 ，后者是递推的延续因此仅知an2an11 无法写出这个数列的各项应用示例例 1 已知 a12，an12an，写出前项，并猜想 an活动：根据 a12 及 an12an，学生很容易求出前项，分别是2,4,8,16,32 由观察可猜想 an2n，这种解法在选择题或填空题中是非常有效的，但若改为求 an，这种解法则是不完整的由 anan12
9、，可得到以下解法：anan1an1an 2an2an3a2a1ana12n1，an2n解：a12，an 12an，a22a14，a32a28，a42a316，a2a4 32a22222，a322223，a416 24，猜想 an2n 变式训练已知 a12，an 1an4，求 an解：由 an1an 4 依次向下写，一直到第一项，然后将它们加起，anan 1 4an1an24an2an34a2a14 ana14an2 4(n1)例 2(教材本节例 1)活动：本例由学生自己完成，并通过本例边注中的提问，让学生进一步体会数列两种表示方法的特色，用递推公式写出数列的前几项后，引导学生观察、归纳并猜想该
10、数列的通项公式，虽有一定难度，但学生应有这个能力教师可引导学生分析，如果不代入 a1 的值，由依次计算的结果可能更容易看到 an 与 n 的函数关系：a2a11a1；a3 a112a1 ，a4a113a1，a a114a1，ana11a1232n 变式训练已知数列an的递推公式是 an23an12an ，且a11，a23求：(1)a；(2)127 是这个数列中的第几项？解：(1) a11，a23，an23an 12an ，a33a22a17，a43a32a21，a3a42a331(2)由递推公式，可得 a63a2a463，a73a6 2a127，127 是此数列的第 7 项例 3(教材本节例
11、2)活动：本例为数列这一大节的最后一个教材例题，具有一定的综合性，难度较大要求学生有较坚实的数形结合基础和解题能力这种解题的综合能力，要努力去训练，学生才能掌握具体讲解时，可把 P1，P2 ， P3 的坐标都写出让学生观察发现 an 与 an1间的关系变式训练在数列an中，a12，an 1anln(11n) ，则 an 等于( )A2lnn B2(n1)lnn2nlnn D1nlnn答案：A解析：方法一，由 a2a1 ln22ln2，排除、D；由a3a2ln(112) 2ln3，排除 B 故选 A方法二，由已知，an1an lnn1n，a1 2，anan1lnnn1，an1an2lnn1n2，
12、a2a1ln21，将以上 n1 个式子累加得ana1lnnn1lnn1n2ln21ln(nn 121)lnn ，an2 lnn例 4 如图甲是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案是由如图乙所示 的一连串直角三角形演化而成，其中A1A1A2A2A3A7A8 1，记 A1 ，A2，A3，A7，A8 的长度所在的数列为ln(nN*,1n8) 甲乙(1)写出数列的前 4 项；(2)写出数列ln的一个递推关系式；(3)求 ln的通项公式；(4)如果把图中的三角形继续作下去，那么 A9，A2 007 的长度分别是多少？活 动：本例虽然题干看起很繁杂，但难度并不大，可让学生独立探究解决，学生充分理解
13、题意后会很快完成第(1)问，关于递推公式，教师可点拨学生递推公式的关键是递推关系，也就是前项和后项的关系，这是递推公式的核心所在教师可借此进一步向学生点拨：数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的递推公式是给出数列的一种方法，由递推公式可能求出数列的通项公式，也可能求不出通项公式解：(1)l1 A11，l2A22，l3A33，l4 A4 2(2)通过观察图形，可知：An1，An,1 组成直角三角形，而An1ln1，Anln由勾股定理可得 l 2n1l 2n1(nN*,1n8)(3)lnn(4)A9l9 3，A2 0072 0073
14、223点评：递推关系在教材上的要求并不高，仅是明了递推公式是数列的一种表示方法，并能根据给出的数列递推公式写出其中的几项，对繁难复杂的递推公式，如 3 项或 2 项以上的递推公式不作要求知能训练1若数列an前 n 项的值各异，且 an8an 对任意的 nN* 都成立，则下列数列中可取遍an的前 8 项值的数列为()Aa2n1Ba3n 1 a4n1 Da6n12已知 anan 2 an1(n3)，a11，a22，bnanan1，则数列bn 的前 4 项依次是_答案：1B解析：取0,1,2，8 验证，周期为 82前 4 项依次是 12，23，3，8堂小结1先由学生自己总结归纳本节所学到的数学知识， 即数列的简单表示法：通项公式、列表法、图象法、简单的递推公式法探求和发展了数列的各项之间的关系及其规律，并用合适的表示法表示这种规律2教师强调，通过例题进一步明确了数列的图象是一些离散的点，并通过实际例子探究出数列的递推公式由于教材内容对此要求不高，因此我们在例题或习题的难度上作了严格的控制，但要熟悉常用的基本方法作业本本节习题 21 A 组 7、8；习题 21 B 组 4，第题选做设计感想本教案设计遵循生活是，数学是流的规律，对数学概念的探究都是在日常生活实
