极限定义在高等数学中的应用

韩 山 师 范 学 院学 生 毕 业 论 文（2008 届）韩山师范学院教务处制题目（中文） 极限定义在高等数学中的应用 （英文） The Application of Limit Definition in Higher Mathematics 系别： 数学与信息技术系 专业： 数学与应用数学 班级： 20041111 姓名： 林 晓 鹏 学号: 2004111137 指导教师： 林齐平 讲师 诚 信 声 明我声明，所呈交的毕业论文是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，我承诺，论文中的所有内容均真实、可信。

毕业论文作者签名： 签名日期： 年 月 日摘要极限概念是微积分学中最重要，最基本的概念掌握好利用定义证明函数极限是学好高等数学的基础极限有数列极限，函数极限，多元函数极限等几类，本文直接或间接地用极限定义来证明一些我们经常见到高等数学问题关键词：极限；极限定义；数列极限；函数极限AbstractThe definition of the limit is the most important and basic concept in the infinitesimal calculus. Mastering the ways of using the definition to probe the limit of function lays a foundation for studying the higher mathematics well. There are the limit of series, limit of function and functional limit of several variables and so on. In this paper, the definition of the limit is used directly or indirectly to prove some common problems of higher mathematics.Keywords: limit, definition of limit, limit of series, limit of function目 录1.数列极限…………………………………………………………………………………(1)1.1 适当放大法……………………………………………………………………………(1)1.2 分步法…………………………………………………………………………………(2)2.函数极限…………………………………………………………………………………(2)3.一元函数极限……………………………………………………………………………(3)3.1 限制法…………………………………………………………………………………(4)4.左、右函数极限…………………………………………………………………………(4)5.二元函数极限……………………………………………………………………………(5)5.1 放缩法…………………………………………………………………………………(7)参考文献……………………………………………………………………………………(9)致 谢………………………………………………………………………………………(10)1极限定义在高等数学中的应用在高等数学中我们经常见到很多证明问题可以直接或间接用极限定义来证明，极限定义本身很优美，在利用它证明其他问题的时候会起到很好的效果，能使整个证明过程简洁优美起来，参看文献[1，2，3，4，5，6，7，8]．极限有数列极限，函数极限，多元函数极限等几类，我们在每个不同类型的极限中都先列出定义，然后试图把每一类的不同应用整理出来．1、数列极限数列极限定义: 设{ }是一个数列， 是一个确定的数，若对任给的正数 ，总存在正naa整数 ，使得当 时，都有N，n则称数列 收敛于 ， 称为它的极限，并记作naa或 .limn()na数列极限的“ ”定义中含有 和 ，其中 是预先给定的，关键是求出 ，而NNN的取值一般是由 决定的，有时记作 .N定义中的常数 具有二重性．即具有很小正数的固定性，又具有随意小的任意性． [3]当固定时，逼近的程也就确定了；当 不定时，任意小时，逼近的无限性也就刻画出来了． 一般地来说， 越小 就越大．由于 是通过 求得的，因而对应 的 不是NNnaN唯一的，关键是找出存在的 ，一旦合乎定义的 找到了，用比它大的任何自然数 来代替n均可，但要找到存在的 不是那么容易的，下面介绍一些技巧：1.1 适当放大法有时不等式 比较复杂，不便解出 ，于是可将绝对值不等式 适当放nanna大,转化为 的形式,然后在放大化简的不等式的基础上再讨论极限证明12L问题．这样可把问题简化，例 1. 证明2lim35n证明：用适当放大法估计不等式22222113135(5)(5)9nnnn当 时，都有0,[],N.2135n1.2 分步法有时为了解题的方便，要对 n 作某些限制，使 更容易简化，于是先假定na( 是某个常数)，然后放大 ，再解不等式 ，求出 .令1nNa()H()Hn2nN则 时，有 .2max{,}nNn例 2．设 ,证明lina12limnaL证明 [4] :因为　 ，于是 ， 　 , 当 时， ，lin01N12na11112aa nLL11 12Nnn当 固定，取 充分大， ，当 时， < ，1N2211NaanL2于是当 时，1max{,}nN，22naL即 .12linna2、函数极限函数极限定义: 设 为定义在[ ,+∞)上的函数, 是一个定数,若对任给正数 ,存faA0在正数 ,使得适合 时有MaxM3， ()fxA则称函数 当 趋于 以 为极限，记作fxA或 . lim()x())fx函数 趋于 的极限定义与数列{ }的极限定义很相似.因为它们的自变数的变化趋f na势相同( → 与 → )，只不过自变数的变化形态不同.函数 的自变数 取区间xn fxx[ , )的一切实数，续地增大；而数列{ }的自变数 只取一切正整数，离散地无限增a n大．证明数列极限关键是找正整数 ，证明函数极限 关键是找到正数 .N())fxAM例 3. 证明 limarctn2x证明: （限定 ） ，要使不等式0tan()arctn22xx成立.解得 .取 .tan()2xtan()02A于是， ， ，有0ttan()2xA，tan2x即 limarct2x有时，极限不一定存在，这种情况，我们可以用反证法,反证法的根本思想也是利用极限定义，用此类方法从另一个侧面也加深了我们对极限定义的认识和理解，同时可以把复杂的问题简单化.例 4. 证明 不存在. [1]lisnx证明（反证法）:若 ，因 ,知limxAsin(2)-siin1cos()= = ＝0，从而 ，lim2sn1co()x(s2)-i lm 0x.但 ，取极限 ＝0,矛盾.ilco1nnAsicosA3、一元函数极限4一元函数极限定义: 设函数 在点 的某个空心领域内 有定义, 是定数，()fx0 0(;')xoUA若对任给的 ,存在正数 (< ),使得当 时有0' 0x,()fA则称函数 当趋于 时以 A 为极限，记作f0x或 .0lim()xf0())fxx函数极限是数列极限的推广，数列极限是函数极限的特殊情形（自变量取自然数的情形） [5].两者都是关于自变量 的极限，只是数列极限中的因变量 ，在函数极限中用另一 N种表达方式 ，函数极限中的 一般也依赖于 ，一般来说， 愈小， 也相应地要小一些.数列极限是研究 趋于无穷过程中数列值的变化趋势，而函数极限是研究当n过程中函数值的变化趋势.所以数列极限和函数极限000,,,,xxx有相通性，解决函数极限问题关键是找出具有可变性的 ，一旦 找到了，就可以用任意比它小的正数代替.3.1 限制法例 5． 证明 [2]21lim3x证明：当 时有,2 11233xxx若限制 于 （此时 ）则 . 于是，对任给的 ，只要取0100，则当 时便有min{3,}x.213x注：解题时，要注意对 -1 的限制，如果不限制，那么题中就变成了 ，也132x就是 ，但这是不充许的，因为 我们要求所求的 只和 ， 有关.因此需要限321x0制，且要适当.如上例中的限制 ，对 所做的限制是为了简化解题做服务，上例01xx5中是为了使分母 ，便于放大从而有 ，但如果限制 ，21x132x012x由于 不一定 ，所以达不到放大的效果.3x4、左、右函数极限（左、右）极限定义：设函数 在 （ ）内有定义， 为定数.若对f0';Ux0';xA任给的 ，存在正数 ，使得当 （ ）时有0'0000x，fxA则称 为函数 当趋于 时的右（左）极限，记作 Af0（ ）. 0limx0lixf例 6． 设 证明 [6]1xg（1） ； （2）0lix0lim1xg证明： （1） ， （限定 ） ，要使不等式210xgx成立．解得 ，取 。

于是， ， ，1lgxlg01.0lg，有 ，即:00x0limxg（2） ， （限定 ） ，要使不等式121100xxgx6成立.解得 取 .1lgx1lg于是， ， ， 有 ，即00l1:0x1gx0imxg函数 趋近于 的左极限和右极限与函数趋近于 的极限，有着一定的联系.如果函数f0 0x趋近于 左极限等于右极限，则函数趋近于 的极限存在，且等于左右极限.否则函数趋f0x近于 的极限不存在.如上例中 ，则函数在 0 的邻域不存在极限.00lilixxg5、二元函数极限二元函数极限定义： 设 f 为定义在 上的二元函数， 为 的一个聚点， 是一2DR0PDA个确定的实数.若对任给正数 ，总存在某正数 ，使得当 时，都有(;)UA，()-fPA则称 在 上当 时，以 为极限，记作fD0.0lim()PDf当 ， 分别用坐标 ， 表示时也可写作P0,xy0,.0(,),)li(xyfA二重极限 是指点 在函数 的定义域内以任意方式趋0(,),)lixyf,Pxy,zfxy近于点 时， 都趋近于确定的常数 .这里要强调点 的邻域以“任意0P 0,P方式”趋近于点 这一点.这个邻域。