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1、九年级数学竞赛由常量数学到变量数学讲座数学漫长的发展历史大致历经四个时期：以自然数、分数体系形成的萌芽期；以代数符号体系形成的常量数学时期；以函数概念产生的变量数学时期；以集合论为标志的现代数学时期函数是数学中最重要的概念之一，它是变量数学的标志， “函数”是从量的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系，从量的侧面反映了客观世界的动态和它们的相互制约性函数的基本知识有：与平面直角坐标系相关的概念、函数概念、函数的表示法、函数图象概念及画法在坐标平面内，由点的坐标找点和由点求坐标是“数” 与“形”相互转换的最基本形式点的坐标是解决函数问题的基础，函数解析式是解决函数问题的关键，所以，求点的坐标、
2、探求函数解析式是研究函数的两大重要题【例题求解】【例 1】 在平面直角坐标系内，已知点 A(2，2)，B(2，-3)，点 P在轴上，且APB 为直角三角形，则点 P 的个数为 (河南省竞赛题)思路点拨 先在直角坐标平面内描出 A、B 两点，连结 AB，因题设中未指明APB 的哪个角是直角，故应分别就A 、B 、为直角讨论，设点 P (0，x)，运用几何知识建立 x 的方程注： 点的坐标是数与形结合的桥梁，求点的坐标的基本方法有：(1) 利用几何计算求；(2) 通过解析式求；(3)解由解析式联立的方程组求【例 2】 如图，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽水
3、槽中水面上升高度 与注水时间 之间的函数关系，大致是下列图象中的( ) 思路点拨 向烧杯注水需要时间，并且水槽中水面上升高 注： 实际生活中量与量之间的关系可以形象地通过图象直观地表现出，如心电图、 ，股市行情走势 图等，图象中包含着丰富的图象信息，要善于从图象的形状、位置、发展变化 趋势等有关信息中获得启示【例 3】 南方 A 市欲将一批容易变质的水果运往 B 市销售，共有飞机、火车、汽车三种运输方式，现只可选择其中的一种，这三种运输方式的主要参考数据如下表所示：运输工具途中速度(千米时) 途中费用 (元千米) 装卸费用(元)装卸时间(小时)飞机 2001610002火车 100420004
4、汽车 0810002若这批水果在运输(包括装卸)过程中的损耗为 200 元/ 小时，记A、B 两市间的距离为 x 千米(1) 如果用 l、2、3 分别表示使用飞机、火车、汽车运输时的总支出费用(包括损 耗) ，求出 l、2、3 与小 x 间的函数关系式(2) 应采用哪种运输方式，才使运输时的总支出费用最小?(湖北省黄冈市中考题)思路点拨 每种运输工具总支出费用途中所需费用(含装卸费用)+损耗费用；总支出费用随距离变化而变化，由 l20，2 一 3=0，先确定自变量的特定值，通过讨论选择最佳运输方式 【例 4】 已知在菱形 ABD 中，BAD60，把它放在直角坐标系中，使 AD 边在轴上，点的坐
5、标为 (2 ，8) (1) 画出符合题目条的菱形与直角坐标系；(2) 写出 A、B 两点的坐标；(3)设菱形 ABD 的对角线交点为 P问：在轴上是否存在一点 F，使得点 P 与点 F 关于菱形 ABD 的某条边所在的直线对称，如果存在，写出点 F 的坐标；如果不存在，请说明理由 (江苏省常州市中考题)思路点拨 (1)关键是探求点 A 是在轴正半轴上、负半轴上还是坐标原点，只须判断与AD 的大小；(2)利用解直角三角形求A，B 两点坐标；(3) 设轴上存在点 F(0，)，则 P 与 F 只可能关于直线 D 对称注：建立函数关系式，实际上都是根据具体的实际问题和一些特殊的关系、数据而抽象、归纳建
6、立函数的模型 【例】 如图，已知在 RtAB 中，B 90，B 4， AB 8，D、E、F 分别为 AB、A、B 边上的中点，若 P 为AB 边上的一个动点，PQB ，且交 A 于点 Q，以 PQ 为一边，在点A 的右侧作正方形 PQN，记 PQN 与矩形 EDBF 的公共部分的面积为(1) 当 AP3 时，求的值；(2) 设 AP=时，求与 x 的函数关系式；(3) 当=22，试确定点 P 的位置(2001 年天津市中考题)思路点拨 对于(2)，由于点 P 的位置不同，与 x 之间存在不同的函数关系，故需分类讨论；对于(3)，由相应函数解析式求 x 值注：确定几何元素间的函数关系式，首先是借
7、助几何知识与方法把相应线段用自变量表示，再代入相应的等量关系式，需要注意的是：(1) 当图形运动导致图形之间位置发生变化，需要分类讨论；(2) 确定自变量的几何意义，常用到运动变化、考虑极端情形、特殊情形等思想方法学力训练1如图，在直角坐标系中，已知点 A(4，0)、B(4，4) ，AB 90 ，有直角三角形与 RtAB 全等且以 AB 为公共边，请写出这些直角三角形未知顶点的坐标 (贵州省中考题)2在直角坐标系中有两点 A(4，0)，B(0 ，2) ，如果点在 x 轴上(与 A 不重合) ，当点的坐标为 时，使得由点 B、 、组成的三角形与AB 相似 (至少找出两个满足条的点的坐标) (广西
8、桂林市中考题)3根据指令(S0，0180)，机器人在平面上能完成下列动作：先原地逆时针旋转角度 A，再朝其面对的方向沿直线行走距离 S现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对 x 轴的正方向，(1) 若给机器人下了一个指令，则机器人应移动到点 ；(2) 请你给机器人下一个指令 ，使其移动到点(一，)(浙江省杭州市中考题)4如图，在平面直角坐标系中，直线 AB 与 x 轴的夹角为 60，且点 A 的坐标为(一 2，0)，点 B 在 x 轴上方，设 AB ，那么点 B的横坐标为( ) A B D (年南昌市中考题) 一天，小军和爸爸去登，已知脚到顶的路程为 300 米，小军先走了一段路程，爸爸才开始
9、出发图中两条线段分别表示小军和爸爸离开脚登的路程(米)与登所用的时间( 分钟的关系)(从爸爸开始登时计时)，根据图象，下列说法错误的是( ) A爸爸登时，小军已走了 0 米B 爸爸走了分钟，小军仍在爸爸的前面小军比爸爸晚到顶D爸爸前 10 分钟登的速度比小军慢，10 分钟之后登的速度比小军快(江苏省淮安市中考题)6若函数 的自变量 的取值范围为一切实数，则 的取值范围是( )Al D17如图，在直角坐标系中，已知点 A(4，0)、点 B(0，3) ，若有一个直角三角形与 RtAB 全等，且它们有一条公共边，请写出这个直角三角形 未知顶点的坐标(不必写出计算过程) (常州市中考题)8如图，用同样
10、规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题：（1）设铺设地面所用瓷砖的总块数为 ，请写出 与 ( 表示第 个图形)的函数关系式；(2)按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了 06 块瓷砖，求此时 的值；(3)若黑瓷砖每块 4 元，白瓷砖每块 3 元，在问题(2)中，共需花多少元钱购买瓷砖?(4) 是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等情形?请通过计算说明为什么?(吉林省中考题)9 如图，在平面直角坐标系中有一个正方形ABD，它的 4 个顶点为 A(10，0)，B (0，10)，(一 10，0) ，D(0 ，一10)，则该正方形内及边界上共有 个整点(即纵横坐标都是整数的点)
11、 (上海市初中数学竞赛题) 10如图，已知边长为 l 的正方形 AB 在直角坐标系中，A、B 两点在第一象限内，A 与 轴的夹角为 30，那么点 B 的坐标是 11如图，一个粒子在第一象限运动，在第一分钟内它从原点运动到(1，0)，而后它接着按图所示在与 轴、 轴平行的方向上回运动，且每分钟移动 1 个单位长度，那么在 1989 分钟后这个粒子所处位置为 (美国高中数学考试题)12在直角坐标系中，已知 A(1，1)，在 轴上确定点 P，使 AP为等腰三角形，则符合条的点 P 共有( )A1 个 B2 个 3 个 D4 个 (2001 年湖北赛区选拔赛题)13已知点 P 的坐标是 ( l， )，
12、这里 、 是有理数，PA、PB 分别是点 P 到 轴和 轴的垂线段，且矩形 APB 的面积为 ，则 P 点可能出现的象限有（ ） A1 个 B2 个 3 个 D4 个 (江苏省竞赛题)14甲、乙二人同时从 A 地出发，沿同一条道路去 B 地，途中都使用两种不同的速度 Vl 与 V2(ViV2)，甲用一半的路程使用速度Vl、另一半的路程使用速度 V2；关于甲乙二人从 A 地到达 B 地的路程与时间的函数图象及关系，有图中 4 个不同的图示分析其中横轴 表示时间，纵轴 表示路程，其中正确的图示分析为( )A图(1) B 图(1) 或图(2) 图(3) D图(4)(河北省初中数学创新与知识应用竞赛试
13、题) 1依法纳税是每个公民应尽的义务 中华人民共和国个人所得税法规定，公民每月工资、薪金收入不超过 800 元，不需交税；超过 800 元的部分为全月应纳税所得额，都应交税，且根据超过部分的多少按不 同的税率交税，详细的税率如下表：级别全月应纳税所得额税率()1 不超过 00 元部分2 超过 00 元至 2000 元部分 103 超过 2000 元至 000 元部分 1(1)某公民 2002 年 10 月的总收人为 130 元，问他应交税款多少元?(2)设表示每月收入( 单位：元)， 表示应交税款(单位：元)，当1300 x2800时，请写出 关于 的函数关系式；(3)某企业高级职员 2002 年 11 月应交税款元，问该月他的总收入是多少元?(四川省竞赛题)16如图，在AB 中，90，A3，B4，点 D 是 AB 上任意一点(A、B 两点除外)，过 D 作 AB 垂线与 AB 的直角边相交于E，设 AD= ， ADE 的面积为 ，当点 D 在 AB 上移动时，求 关于 之间的函数关系式
