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1、2012 届高考数学备考复习：函数与方程思想专题七：思想方法专题第一讲 函数与方程思想【思想方法诠释】 函数与方程都是中学数学中最为重要的内容。而函数与方程思想更是中学数学的一种基本思想，几乎渗透到中学数学的各个领域，在解题中有着广泛的应用，是历年高考考查的重点。1函数的思想函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函 数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等。2方程的思
2、想方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题，方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。3函数思想与方程思想的联系函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题龙去脉解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程 f(x)=0，就是求函数=f(x)的 零点，解不等式 f(x)0(或 f(x)0)，就是求函数=f(x)的正负区间，再如方程 f(x)=g(x)的交点问题，也可以转化为
3、函数=f(x)-g(x)与 x 轴交点问题，方程 f(x)=a 有解，当且公当 a 属于函数 f(x)的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要。4函数与方程思想解决的相关问题（1）函数 思想在解题中的应用主要表现在两个方面：借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；在问题研究中通过建立函数关系式或构造中间函数；把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。（2）方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面：解方程或解不等式；带参变数的方程 或不等式的讨论，常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识应用
4、；需要转化为方程的讨论，如曲线的位置关系；构造方程或不等式求解问题。【核心要点突破】要点考向 1：运用函数与方程的思想解决字母或式子的求值或取值范围问题例 1：若 a、b 是正数，且满足 ab=a+b+3，求 ab 的取值范围。思路精析：用 a 表示 b根据 b0，求 a 的范围把 ab 看作 a 的函数求此函数的值域。解析：方法一：（看成函数的值域）即 a1 或 a-3 又a0,a1,故 a-10。当且仅当 a-1= ，即 a=3 时取等号又 a3 时 , a-1+ +是关于 a 的单调增函数,ab 的取值范围是9,+)方法二(看成不等式的解集)a,b 为正数 , a+b2 ,又 ab= a
5、+b+3, ab2 +3即 解得 方法三:若设 ab=t,则 a+b=t-3, a,b 可看成方程 的两个 正根从而有 ,即 解得 t9,即 ab9注(1) 求字母 (或式子)的值问题往往要根据题设条构建以待求字母(式子) 为元的方程 (组),然后由方程 (组)求得(2)求参数的取值范围是函数、方程、不等式、数列、解析几何等知识中的重要问题。解决这类问题一般有两条途径，其一，充分挖掘题设条中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式（组）求解；其二，充分应用题设是的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后，应用函数知识求值域(3)当问题中出现两数积与这两数和时，是构建一元二次方程的明显信号，
6、构造方程后再利用方程知识可使问题巧妙解决(4)当问题中出现多个变量时,往往要利用等量关系去减少变量的个数,如最后能把其中一个变量表示成关于另一个变量的表达式,那么就可用研究函数的方法将问题解决要点考向 2：运用函数与方程思想解决方程问题例 2：已知函数 或 与 的图象在 内至少有一个公共点，试求 的取值范围。思路精析：化简 的解析式令 = 分离 求函数的值域确定 的范围解析： 与 的图象在 内至少有一个公共点，即 有解，即令 = ，当且仅当 ，即 sx=0 时“=”成立。当 a2 时， 与 所组成的方程组在 内有解，即 与 的图象至少有一个公共点。注：（1）本例中把两函数图象至少有一个公共点问
7、题转化为方程有解问题即把函数问题用方程的思想去解决（2）与本例相反的一类问题是已知方程的解的情问题，求参数的取值范围研究此类含参数的三角、指数、对数等复杂方程解的问题的，通常有两种处理思路：一是分离参数构建函数，将方程有解转化为求函数的值域；二是换元，将复杂方程问题转化为熟悉的二次方程；进而利用二次方程解的分布情况构建不等式（组）或构造函数加以解决要点考向 3：运用函数与方程思想解决不等式问题例 3： （1）已知 且 那么（） （2）设不等式 对满足-2 ，2 的一切实数 都成立，求 x 的取值范围思路精析：（1）先把它变成等价形式 再构造辅助函数 利用函数单调性比较（2）此问题常因为思维定势
8、，易把它看成关于 x 的不等式讨论，若变换一个角度，以为变量，使 f()= ，则问题转化为求一次函数（或常函数）f()的值在-2，2内恒负时，参数 x 应满足的条解析：（1）选 B设 因为 均为 R 上的增函数，所以 是 R 上的增函数又由 ，即 ，即 x+0(2)设 f()= ，则不等式 2x-1 恒成立 恒成立 在 时， 即 解得 ， 故 x 的取值范围是 注：1在解决值的大小比较问题时，通过构造适当的函数，利用函数的单调性或图象解决是一种重要思想方法；2在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数利用函数的图象和性质解决问题同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要
9、确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化，一般地，已知存在范围的量为变量而待求范围的量为参数要点考向 3：运用函数与方程思想解决最优化问题例 4：图 1 是某种称为“凹槽” 的机械部的示意图，图 2 是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形 ABD 是矩形，弧 D 是半圆，凹槽的横截面的周长为 4 已知凹槽的强度与横截面的面积成正比，比例系数为 ,设 AB=2x,B=（）写出关于 x 函数表达式，并指出 x 的取值范围；（）求当 x 取何值时，凹槽的强度最大 解析：（）易知半圆D 的半径为 x，故半圆 D 的弧长为 所以 ，得 -4 分依题意知： 得 所以， （ ） -6 分
10、（）依题意，设凹槽的强度为 T，横截面的面积为 S，则有-8 分-11 分因为 ,所以，当 时，凹槽的强度最大 答: 当 时，凹槽的强度最大 - -13 分注：解析几何、立体几何及实际应用问题中的最优化问题，一般是利用函数的思想解决，思路是先选择恰当的变量建立目标函数，然后再利用有关知识，求函数的最值。【跟踪模拟训练】一、选择题（每小题 6 分，共 36 分）1 已知正数 x,满足 x=x+9+7，则 x 的最小值为( )(A)32(B)43()49(D)602方程 有解，则的最大值为（ ）(A)1(B)0()-1(D)-23 一个高为 h0，满缸水量为 V0 的鱼缸的轴截面如图所示，其底部有
11、一个小洞，满缸水从洞中流出，当鱼缸口高出水面的高度为 h 时，鱼缸内剩余水的体积为 V,则函数 V=f(h)的大致图象可能是（ ）4 对任意 a-1,1 ，函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a 的值总大于零，则 x 的取值范围是( )(A)13(B)x3()12(D)x2若正实数 a,b 满足 ab=ba，且 a1,则有 ( )(A)ab()a=b(D)不能确定 a,b 的大小6已知圆 上任意一点 P(x,)都使不等式 恒成立，则的取值范围是（ ）二、填空题（每小题 6 分，共 18 分）7 的定义域和值域都是1，则= 8已知数列 中， ，若数列的前 30 项中最大项是 ，最小项是 ，则
12、= ,n= 9 设 f(x)，g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x0 时，f(x)0 的解集是_ 三、解答题(10、11 题每题 1 分，12 题 16 分，共 46 分)10 已知二次函数 f(x)=ax2+bx(a,b 为常数，且 a0)满足条:f(x-1)=f(3-x)且方程 f(x)=2x 有相等实根(1)求函数 f( x)的解析式;(2)是否存在实数,n(n)，使 f(x)的定义域和值域分别为,n和4,4n ，如果存在，求出,n 的值，如果不存在，说明理由11 某地区要在如图所示的一块不规则用地规划建成一个矩形商业楼区，余下的作为休闲区，已知 ABB,AB，且 AB=
13、B=2A=4 ，曲线段是以为顶点且开口向上的抛物线的一段，如果矩形的两边分别落在 AB、B 上，且一个顶点在曲线段上，应当如何规划才能使矩形商业楼区的用地面积最大？并求出最大的用地面积 12设 的极小值为-8，其导数 的图象经过（-2，0） ， 两点，如图所示（1）求 f(x)的解析式；（2）若对 x-3，3 ，都有 恒成立，求实数的取值范围参考答案123 【解析】选 A 设鱼缸底面积为 S,则 V=f(h)=Sh0-Sh，故V=f(h)是一次函数且是减函数4 【解析】选 B 由 f(x)=x2+(a-4)x+4-2a0 得a(x-2)+x2-4x+40 ，令 g(a)=a(x-2)+x2-4
14、x+4，由不等式 f(x)0 恒成立,即 g(a)0 在-1,1上恒成立67 89 【解析】令 F(x)=f(x)g(x)，由 f(x)，g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，得F(x)是奇函数又当 x0，x0 时，F(x)为增函数又 F(x)为奇函数，故 F(x)在0，+ ）也是增函数F(-3)=f(-3)g(-3)=0=-F(3)，F(x)0 的解集是(-,-3)(0,3) ，如图答案：（-,-3）（0，3）10 【解析】(1)方程 ax2+bx-2x=0 有相等实根,=(b-2)2=0,得 b=2,由 f(x-1)=f(3-x)知此函数图象的对称轴方程为 x= =1,得 a=-1
15、 故 f(x)=-x2+2x11 【解析】以点为原点，A 所在的直线为 x 轴，建立直角坐标系，设抛物线的方程为 x2=2p，由(2,4) 代入得 :p= ，所以曲线段的方程为:=x2(x 0,2)A(-2,0)，B(-2,4), 设 P(x,x2)(x0,2)，过 P 作 PQAB 于 Q，PNB 于 N,故 PQ=2+x,PN=4-x2，则矩形商业楼区的面积 S=(2+x)(4-x2)(x0,2)S=-x3-2x2+4x+8，12 【备资】1 已知抛物线 2=4x 上一点 A(x0,0)，F 是其焦点，若 01,2 ，则|AF|的范围是( )(A) ,1(B) ,2()1,2(D)2，3 【解析】选 B 抛物线准线方程为 x=-1,则|AF|=x0+1,4 已知命题 p：“对 xR， R，使 4x+2x+1=0”，若命题 p 是假命题，则实数的取值范围是( )(A)-22(B)2()-2(D)-2 或2【解析】选 由已知：命题 p 为真命题,即方程 4x+2x+1=0 有解,-=2x+2-x2，即-26 已知函数 f(x)=ln(2x)和 g(x)=2ln(
