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1、2011 届高考数学直线与圆锥曲线的位置 5第四节：直线与圆锥曲线的位置关系一、基本知识概要：1 直线与圆锥曲线的位置关系：相交、相切、相离。从代数的角度看是直线方程和圆锥曲线的方程组成的方程组，无解时必相离；有两组解必相交；一组解时，若化为 x 或的方程二次项系数非零，判别式=0 时必相切，若二次项系数为零，有一组解仍是相交。2弦：直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。焦点弦：若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦；通径：若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴，此时焦点弦也叫通径。3当直线的斜率存在时，弦长公式：= 或当 存在且不为零时， （其中（ ） ， （ ）是交点坐标） 。抛物线 的焦点弦
2、长公式|AB|= ，其中 为过焦点的直线的倾斜角。4 重点难点:直线与圆锥曲线相交、相切条下某些关系的确立及其一些字母范围的确定。思维方式: 方程思想、数形结合的思想、设而不求与整体代入的技巧。6 特别注意:直线与圆锥曲线当只有一个交点时要除去两种情况，些直线才是曲线的切线。一是直线与抛物线的对称轴平行；二是直线与双曲线的渐近线平行。二、例题：【例 1】直线=x+3 与曲线 （ ）A。没有交点 B。只有一个交点 。有两个交点 D。有三个交点解：当 x0 时，双曲线 的渐近线为： ，而直线=x+3 的斜率为 1，13/2，因此直线与双曲线的下支有一交点，又=x+3 过椭圆 的顶点，=10 因此直
3、线与椭圆左半部分有一交点，共计 3个交点，选 D思维点拔 注意先确定曲线再判断。【例 2】已知直线 交椭圆 于 A、B 两点，若 为 的倾斜角，且 的长不小于短轴的长，求 的取值范围。解：将 的方程与椭圆方程联立，消去 ，得 由 ， 的取值范围是 思维点拔 对于弦长公式一定要能熟练掌握、灵活运用民。本题由于 的方程由 给出，所以可以认定 ，否则涉及弦长计算时，还要讨论 时的情况。【例 3】已知抛物线 与直线 相交于 A、B 两点（1）求证： （2）当 的面积等于 时，求 的值。（1）证明：图见教材 P127 页，由方程组 消去 后，整理得 。设 ，由韦达定理得 在抛物线 上， （2）解：设直线
4、与 轴交于 N，又显然 令 思维点拔本题考查了两直线垂直的充要条，三角形的面积公式，函数与方程的思想，以及分析问题、解决问题的能力。【例 4】在抛物线 2=4x 上恒有两点关于直线=x+3 对称，求的取值范围。解设 B、关于直线=x+3 对称，直线 B 方程为 x=-+代入 2=4x得：2+4-4=0， 设 B（x1，1） 、 （x2，2） ，B 中点（x0，0） ，则0=（1+2）/2=-2。x0=22+，点（x0，0）在直线上。-2（22+）+3，=- 又 B 与抛物线交于不同两点，=162+160 把代入化简得 即 ，解得-10思维点拔 对称问题要充分利用对称的性质特点。【例】已知椭圆的
5、一个焦点 F1（0，-2 ） ，对应的准线方程为=- ，且离心率 e 满足：2/3，e ，4/3 成等比数列。（1）求椭圆方程；（2）是否存在直线 ，使 与椭圆交于不同的两点、 N，且线段 N恰被直线 x=- 平分。若存在，求 的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由。解依题意 e= （1） -= -2 = ，又 e= =3，=2 ，b=1 ，又 F1（0，-2 ） ，对应的准线方程为=- 。椭圆中心在原点，所求方程为：=1（2）假设存在直线 ，依题意 交椭圆所得弦 N 被 x=- 平分，直线 的斜率存在。设直线 ： 由 =1 消去，整理得=0直线 与椭圆交于不同的两点、N=422-4(2+9)(2-9)0即 2-2-90 设 （x1，1） 、N（x2，2） ， 把代入可解得： 直线 倾斜角 思维点拔 倾斜角的范围，实际上是求斜率的范围。三、堂小结：1、解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时，对消元后的一元二次方程，必须讨论二次项的系数和判别式，有时借助于图形的几何性质更为方便。2、涉及弦的中点问题，除利用韦达定理外，也可以运用点差法，但必须是有交点为前提，否则不宜用此法。3、求圆锥曲线的弦长，可利用弦长公式 = 或当 存在且不为零时， （其中（ ） ， （ ）是交点坐标。再结合韦达定理解决，焦点弦长也可利用焦半径公式处理，可以使运算简化。四、作业布置：教材 P127 闯关训练。
