江丽华反证法及其教学思考

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1、反证法及其教学思考江丽华韩城一小 福建福安 355000摘要:本文先简要介绍反证法,概述了反证法的含义、原理、理论依据等相应问题接着, 探讨了在中学数学如何进行反证法的教学;最后,分析了反证法教学中常见的问题并提出了相应对策关键词:反证法 命题 逆否命题 数学教学 证明方法1 引言我们在解决数学问题时,一般总是从正面入手,按照常规的思维途径去进行思考,这就是所谓的正向思维如果这种思维方式对于特定的数学问题形成了一种较为强烈的意识，转变成思维定势人们常常借助于一些具体的模式和方法先加强这种思维定势，而使许多问题得到解决但往往也会遇到从正面入手较繁较难，或出现一些逻辑上的困境，这时就要从辩证思维的

2、观点出发，运用逆向思维，克服思维定势的消极面，从已有的习惯思路的反方向去思考分析问题，运用反证法解决问题反证法是间接证法中的一种,是一种特殊的、重要的证明方法,它是“数学家的最精良的武器之一”,反证法不仅可以用来证明几何命题,还可以用来证明代数命题有些代数命题用直接证法无从下手,但是用反证法证明就会得心应手这种证明方法的理论根据和叙述方式都很特殊,是中学数学教材中的难点内容之一不用反证法,像“ 是无理数”这样的命题就无法获证,特别是立体几何中一些概念就难以揭示中学2数学教师在进行反证法的教学时应该着重解决“为什么、根据什么、怎样用”等问题下面简要介绍反证法的含义、根据等相关问题2 反证法的相关

3、问题概述2.1反证法的含义反证法就是通过证明与原论题矛盾的判断为假,然后根据排中律,由假推真,证明原论题真的方法,简言之就是从反方面入手,否定命题的结论出发,进行正确推理,得出明显的矛盾从而间接地证明了原命题,解决了正面证明不易解决的问题2.2反证法的原理反证法不是直接证明命题“ ”,而是证明它的反命题“ ,即 ”是假的出于“pq()pq”与“ ”是两个具有矛盾关系的命题,根据排中律,若“ ”为假,则“ ”必定pqpq pq为真为了证明反命题“ ”是假的,只要从“ ”出发,通过正确的逻辑推理得到与已知条件、定义、pq公理、定理,或与所作假设，或与显然成立的事实等相矛盾的结果 ,这就证明了“ ”

4、不成立,R从而证明了 成立 pq反证法的反证在于推出矛盾，把不明显的矛盾推至明显的矛盾大体上可以从如下几个方 面去发现较明显的矛盾：(1)与已知公理、定义、定理矛盾；(2)与已知条件矛盾；(3)与某种事实矛盾；(4)与假设矛盾；(5)自相矛盾2.3反证法的理论依据我们知道:命题与其等价的命题是:原命题 逆否命题反证法就是利用证明与所要论证的命题的等价命题的真实性来说明所要论证的命题的真实性一句话,反证法实质上是由证明命题的逆否命题成立来说明原命题的正确性即当命题由题设 结论,不易思考时,可改证它的逆否命题即要证明“ ”,可由ABBAB2.4反证法证明问题的一般步骤应用反证法证明命题“ ”时,一

5、般分为三个步骤:反设、归谬、结论pq反设:就是作原命题的反命题“ ”,即否定结论这是反证法的关键因此必须周密考察原题结论,如果原题结论“ ”的相反情况有多种,必须一一予以否定,切不能有所遗漏,否则原题仍难得证q归缪:就是以“ ”为出发点,通过正确的逻辑推理导出矛盾 ,这是反证法的核心,也是一个难R点因此,推理过程必须完全正确,否则即使推出矛盾的结果,也不足以证明所作的假设“ ”是错误pq的同时,在推理过程中一定要使用已知条件,否则要么推不出矛盾结果,要么不能断定所推出的结论是错误的结论:就是给所证命题下结论,即断言“ ”pq2.5宜用反证法证明的命题在中学数学里,人们归纳出,适用于反证法证明的

6、题目通常有以下四种：(1)有些命题、基本命题、特殊命题，由于可以用到的定理、公式很少或不易找出直接排证的关系，用反证法有时会取得较好的效果(2)否定性命题，也就是结论以否定形式出现的命题，如“ 没有 ”、 “ 不是 ”、 “LL不能 ”等，直接证法一般不易人手，而运用反证法能使你见到“柳暗花明又一村”的景象L(3)有关“唯一性”的题目，结论以“一只有一个”或者“唯一存在”等形式出现的命题，用反证法证明之，常能使证明过程简洁清楚(4)对于结论分支较多而其反面分支较少的命题多用反证法，这类命题的结论中常出现“至多” 、 “至少” 、“不都” 、 “不少于”等字眼，对这类命题使用反证法，不仅可以避免

7、对多种情况的繁琐讨论，并可防止因分类不全而一偏概全2.6运用反证法的过程中应注意的问题我们运用反证法去证明问题时，一定要注意以下三点：(1)一定要将结论的反面，也就是第一步中的“反设” ，要当成新的已知条件，参加推理过程(2)在第二步推理过程中，引用根据要正确，推理前后合乎逻辑，这样推出的矛盾不是出于别的原因，只因为反设不成立所致(3)当结论的反面有无穷多情形时，利用反证法来证明命题，不能“挂一漏万” ，需要把结论否定的无穷多种情形都驳倒才算完成证明反证法是数学解题证明最常用的数学方法之一,对解决中学数学证明问题具有很大的意义 33 关于反证法的教学思考3.1反证法在中学数学中的教学探讨反证法

8、是一种重要的证明方法，它不仅在初等数学里是必需的，而且在高等数学里也是常用的，是中学生必须掌握和灵活应用的一种重要的证明方法根据以往的学习经验和教初一的实习经历,我认为，反证法思想要从初一年级开始渗透、贯彻，初三年级重点讲授，高中阶段熟练巩固发展在初一就引入“反证法”的思想， ，使得学生及早地获得这方面的数学知识、思想和方法使学生既学会全方位多角度地观察问题，从正反两方面来思考问题，养成严谨的治学态度，改善学习方法，提高学习能力，又为他们以后正式学“反证法”铺平了道路此外，在初三还必须选配适当数量的练习题，以培养学生正确地运用反证法的能力证明的步骤的书写格式应该严格要求在高中阶段，要求学生熟练

9、巩固反证法，加深理解反证法由于初中阶段的渗透和重点讲授反证法，就为高中学习立体几何减少了困难而在立体几何的教学中可以提高论证的要求例如在讲授直线与平面的关系中要求用反证法证明惟一性；在讲授异面直线时，可以要求学生掌握两条直线是异面直线时使用反证法等下面我们从几何及代数方面举一些例子来说明反证法在数学解题证明中的应用例 1试说明经过同一直线上的三点不能作圆分析：“不能作圆”,用常规的思路和方法,怎么解决呢?显然无从下手这就引导或激励我们要去思考:“能作圆”情况如何?这里我们能否从“能作圆”这个问题入手呢?“能作圆”是“不能作圆”的反面,现在,我们就从这个问题的反面“能作圆”入手,看看会出现什么结

10、果证明：假设过同一直线上的三点能作圆,不妨设圆心为 ,由此进行推o理如图， 、 、 为同一条直线 l 上的三点,由假设可知点 、 、ABCAB均在 上则 点到 、 、 三点的距离都相等,所以点 必在线段Coe的中垂线 上,又在线段 的中垂线 上因为线段 与线段 不1l 2l C重合,所以说明过点 有两条直线 与 都垂直于已知直线 显然,这与过一1l l点有且仅有一条直线与已知直线垂直相矛盾为什么会产生这样矛盾的结果呢?问题到底出现在哪里呢?回过头看看,我们的每一步推理步步是有据的,没有错问题出现在假设过这三点能作圆是错误的,因而假设不成立,说明,过同一直线上三点不能作圆是正确的例 2用反证法证

11、明：三角形三外角和等于 360o证明：假设命题不成立如图，设 的外角分别为 ，ABC123、 、那么 ，12BC， ，于是 ，3（ ） o即 ，与三角形内角和等于 矛盾180Ao180例证明命题“ 中，若 ，则 ”BCABC6Ao错误：假设 6o分析：由于 的反面存在两种情形： ， ，故假设时应包含两种情况再0A0o0o进行推理证明证明：假设 ， ， 6oQBC6oCo180ABCo这与三角形内角和定理矛盾 原假设不成立 0A例若 100 个实数 ，满足1210,aL，12341020aL证明： 1aa分析：若直接解不等式很难得到满意的结果;若将已知条件中的 100 个不等式相加,可得等式成立

12、,从而这 100 个不等式成为一个有 100 个等式的方程组从解方程的角度考虑,过于复杂,不宜使用若用反证法,则可使问题顺利获解证明：若 不全相等,设 是其中最大的一个,且假设 中有比 小的1210,aLka1210aaLkB1C32A项设 是满足 的最大的数,其中 则mka1mk12mmkaaL若 ,则 ;1212ma若 ,则 kk定义 10iia由 ， ，m12ma得 矛盾3121()()0mma例求证质数的个数是无限的分析：本题的求证质数的个数是无限个，不容易由算式表示，而有限的却能表示下面采用反证法来证明证明：假定质数的个数是有限的，它们由小到大表示成 、 、 、 共 个1p2Lnp我

13、们作出一个新数 ，按照上面的假定 应是合数否则，质数就不只几个了121nppL很明显， 、 、 、 都不是 的因数，否则 能整除( =1,2, , )12n ii可见 有异于 、 、 、 等 个的假定相矛盾所以，质数的个数是无限的例已知 ，求证0,sin()2sin2分析：关于不等式的定理较多，本题有三角函数的单调性可用，但用反证法比正面论证方便证明：假设结论不成立，则有 若 ，则由已知得1(0,)2sin2i2sinco2sincos1这与 矛盾若 ，则 ，2sii0又 cos0由得： 即： 与已知条件矛盾in(2cs)incosin()2sin由 可知， 不成立，故命题成立1例有一张 的方

14、格纸,先允许从中任意选择 个方格染为黑色,然后再逐步地将那些至少与两1个已染黑的方格相邻的方格也染为黑色证明:不论怎样选择最初的 个方格,都不能按这样的法则染黑n所有的方格分析:任意选择 个方格染为黑色,选择哪些格作为 个方格,染黑后根据条件的要求又遵循什么规1n律,最后的结果又是什么,并不是很明了若用反证法,就有了比较,在变化中与都能染黑的情况比较,从变化中寻找规律,假设成立的结论就成为一个很好的“参照物” 证明:假设能够染黑所有的方格,那么,对于黑色区域来说,方格纸的边界就是区域的边界如果将每个小方格的边长记作 1,那么,黑色区域的边界总长为 4n但在一开始时,黑色区域仅包括 个小方格,即

15、使它们都互不相邻,其区域的边界长度也仅1为 而在以后逐步扩大黑色区域的面积的过程中,由于只能染黑那些至少与已染黑的区域有两条公共4(1)n边的方格,所以,面积的扩大并未带来边界总长度的增加从而,边界总长度将始终不会超过 ,矛4(1)n盾因此,我们不能按照法则染黑所有的方格从上述所举例可看出反证法有一个共同的特征，不必直接去证明命题的结论；只要由否定结论而导致矛盾即可要使学生学会作出与结论相反的假设来导出矛盾；如果一个命题“结论的反面”比它“结论的正面”较为简单明确的话，则采用反证法较为简便；如果结论的反面有不止一种情形，要会正确地把各种情况列举出来，并一一导致矛盾反证法的教学，越早开始越好它可以提前让学生掌握逻辑推理思想及间接证明的数学方法，提高观察能力、思维能力、辨别能力，以及养成严谨治学的习惯 23.2 反证法的教学中常见的问题及对策在反证法的学习的应用中，学生往往由于对反证法的认识不够、理解不深、缺乏证明命题必要的逻辑推理能力，以致于常出现不少问题为此,应对反证法的教学加以改进下面就试着列举教学中常见是三个问题并加以分析3.2.1 “反证法”与“举反例