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1、数列通项公式的十种求法一、公式法例 1 已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式。na123nna12na解： 两边除以 ，得 ，则 ，故数列123n13na132n是以 为首项，以 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得a23，所以数列 的通项公式为 。()22nna()nna评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，说明数132n132na列 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出 ，进而求出数2na ()n列 的通项公式。n二、累加法例 2 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na112na， na解：由 得 则12n1n23212()()()()211()()aaaan
2、nnL所以数列 的通项公式为 。a2na评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，进而12na12na求出 ，即得数列 的通项公式。1231()()()()nnaaLn例 3 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na1123nnaa， na解：由 得 则123n1nn123211211()()()()333()(3nnnnaaaan L所以 1.na评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，1231nna1231nna进而求出 ，即得数列 的122()()()()nnaLna通项公式。例 4 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。n1133nnaa， na解： 两边除以 ，得 ，13
3、2na1n112nn则 ，故11nn2232111221()()()()3332() 1)333nnnnnnaaaaL因此 ，()2()2nn na则 13.nnn评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，1321nna11233nna进而求出 ，即得数列11222()()()()33nnaL的通项公式，最后再求数列 的通项公式。nna三、累乘法例 5 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na112()53nna， na解：因为 ，所以 ，则 ，故112()53nn， 0n12()5n132122211(1)1(1)2(55()5()333!nnnnnaa LL所以数列 的通项公式为na
4、(1)235!.nna评注：本题解题的关键是把递推关系 转化为 ，进而1()nna 12()5nn求出 ，即得数列 的通项公式。13212naaLn例 6 （2004 年全国 I 第 15 题，原题是填空题）已知数列 满足na，求 的通项公式。11231()(2)n naaaL，解：因为 1231n n所以 1231()n naaa L用式式得 1.nn则 1()2)nna故 1(2)na所以 13222 !(1)43.nannaaLL由 ， ，则 ，又1231()()n n212a取 得 1知 ，则 ，代入得 。a !345naL所以， 的通项公式为n!.2n评注：本题解题的关键是把递推关系
5、式 转化为 ，1()2)nna1(2)na进而求出 ，从而可得当 的表达式，最后再求出数列1322naaLna时 ，的通项公式。n四、待定系数法例 7 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na112356nna， na解：设 115()nnxx将 代入式，得 ，等式两边消去123nna 123525n nnaxax，得 ，两边除以 ，得 代入式得155nx ,1,则1()nn由 及式得 ，则 ，则数列 是以1560a50na152na5na为首项，以 2 为公比的等比数列，则 ，故 。1 1n1n评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，1235nna152()nnaa从而可知数列 是等
6、比数列，进而求出数列 的通项公式，最后再求出数列5nan的通项公式。na例 8 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na113524nnaa， na解：设 112()nnnxyxy将 代入式，得1354nna123(2)nnn nxyaxy整理得 。(5)4n令 ，则 ，代入式得234xy52xy115()nnnaa由 及式，1230得 ，则 ，5na11523nna故数列 是以 为首项，以 3 为公比的等比数列，2n1因此 ，则 。153nna1352nnna评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为14nn，从而可知数列 是等比数列，进而11523(52)nnnaa52na求出数列 的通
7、项公式，最后再求数列 的通项公式。n例 9 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na21 1345nana， na解：设 2 21()()()n nxyzxyz将 代入式，得21345nan，则22 2345(1)()()n naxnyzaxyz2 2()45n nx等式两边消去 ，得 ，na2 2(3)(4)(5)yxyzxnyz解方程组 ，则 ，代入式，得2452xyz3108xz2 213()0(1)(3)n nana 由 及式，得218023108na则 ，故数列 为以213()0(1)2nan 2n为首项，以 2 为公比的等比数列，因此2183，则 。1302nna43108na评
8、注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为2145nn，从而可知数列2 213()0(1)8(308)nana是等比数列，进而求出数列 的通项公式，最后23108na再求出数列 的通项公式。n五、对数变换法例 10 已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式。na5123nna17na解：因为 ，所以 。在 式两边取511237nn， 10nn， 5123nna常用对数得 lgllg2a设 1l()5(l)n nxyaxy11将式代入 式，得 ，两边消去11 5lgl3g2(1)5(lg)n naxnyaxy并整理，得 ，则5lgna()xy，故l3g25xylg34216y代入 式，得 11 1
9、lg3lglg3lg2l()5()444164n naa 12由 及 式，1g3l2ll2l 71046612得 ，lgl 04na则 ，1l3l2lg()165g44na所以数列 是以 为首项，以 5 为公比的等l3l216n lg3l27416比数列，则 ，因此1ggl (l)44na 1111 16 6444411 6614444553l23lg2lg(l7)5glglll(32)l(32)7lg(nnnn nn1641)32nnn则 。11545647nna评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式 转化为5123nnaa，从而可知数列1lg3lg2lg3lg2l()5()4164
10、4164n naa是等比数列，进而求出数列 的通l3lg2164na项公式，最后再求出数列 的通项公式。n六、迭代法例 11 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na3(1)25nna， na解：因为 ，所以3(1)2nn121323(1)3nn2(2)13(2)13()()112(3)2(1)()12(1(2)3()!nnnn nnnnaaLL又 ，所以数列 的通项公式为 。15ana(1)23!5nna评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式两边取常用对数得 ，即 ，再3(1)2nn 1lg()2lgnna1l3()2nn由累乘法可推知 ，从而(1)23!13
11、212lllgl5nnna L。1()3!25na七、数学归纳法例 12 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na1 1228()8139nnaa， na解：由 及 ，得1228()13nan189a212234228(1)82439538()()981480391aa由此可猜测 ，往下用数学归纳法证明这个结论。2()1n（1）当 时， ，所以等式成立。21()89a（2）假设当 时等式成立，即 ，则当 时，nk2(1)ka1nk1228(1)3kak222222222()()138()1()(1)()3()1()kkkkkk由此可知，当 时等式也成立。1nk根据（1） ， （2）可知，等式
12、对任何 都成立。*nN评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前 n 项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。八、换元法例 13 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na1 1(42)6nnnaa， na解：令 ，则124nnb2()nb故 ，代入 得11()nna1412)6nnnaa2214()46nnnbb即 221(3)n因为 ，故40nnba11240nnba则 ，即 ，123n13nn可化为 ，1()2nnb所以 是以 为首项，以 为公比的等比数3n11432413a21列，因此 ，则 ，即 ，得2()nnb()nb4()3na。2()343nna评
13、注：本题解题的关键是通过将 的换元为 ，使得所给递推关系式转化124nanb形式，从而可知数列 为等比数列，进而求出数列 的通项公12nnb3b3nb式，最后再求出数列 的通项公式。na九、不动点法例 14 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na1124nna， na解：令 ，得 ，则 是函数214x20x123x，的两个不动点。因为()f。所以数列124124(1)3261339733nn nnnnnaaa是以 为首项，以 为公比的等比数列，故 ，2na12491 12()9nna则 。13()9nn评注：本题解题的关键是先求出函数 的不动点，即方程 的214()xf214x两个根 ，进而可推出 ，从而可知数列 为等比123x， 139nnaa 3na数列，再求出数列 的通项公式，最后求出数列 的通项公式。nan例 15 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。n11723na， na解：令 ，得 ，则 是函数 的不动点。723x240xx31()47xf因为 ，所以1513nnna。2()343nna评注：本题解题的关键是通过将 的换元为 ，使得所给递推关系式转化124nanb形式，从而可知数列 为等比数列，进而求出数列 的通项公12nnb3b3nb式，最后再求出数列
