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1、4.6 正弦定理和余弦定理一、选择题1在ABC 中，若 A60，b1，S ABC ，则 的值为() 3a b csin A sin B sin CA. B. C. D.2633 2393 393 1333解析：S ABC ，即 bcsin A ，c4.由余弦定理 a2b 2c 22bccos 312 3A13，a ，13 .a b csin A sin B sin C asin A 2133 2393答案：B2在ABC 中，已知 B45，c 2 ，b ，则 A 等于( )2433A15 B75 C105 D75或 15解析：根据正弦定理 ，sin C .csin C bsin B csin B
2、b2222433 32C60或 C120，因此 A75 或 A15.答案：D3在ABC 中，设命题 p： ，命题 q：ABC 是等边三角形，那么命asin B bsin C csin A题 p 是命题 q 的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：若ABC 是等边三角形，则 ；若 ，asin B bsin C csin A asin B bsin C csin A又 ，则Error!即 abc .p 是 q 的充要条件asin A bsin B csin C答案：C4若钝角三角形三内角成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为 m，则 m 的范围是( )A(
3、1,2) B(2，) C3 ，) D(3 ，)解析：设ABC 三内角为 A、B、C，其 对边为 a、b、c，且 A2.32 12答案：B二、填空题5在ABC 中， sin Acos A ，则 _.713 5sin A 4cos A15sin A 7cos A解析：由已知 2sin Acos A ，cos A0，即 A 为钝 角，(sin Acos A) 2 ，120169 289169sin Acos A ，则 sin A ，cos A .原式 .1713 1213 513 843答案：8436在ABC 中， C60，a，b，c 分别为A、B、C 的对边，则 _.ab c bc a解析：因为C
4、60 ，所以 a2b 2c 2ab，所以 (a2ac)(b 2bc )(bc)( ca)，所以 1，故填 1.ab c bc a答案：17在ABC 中， a、b、c 分别为A、B 、C 的对边长，已知 a，b，c 成等比数列，且 a2c 2ac bc ，则A _，ABC 为_ 解析：a，b，c 成等比数列， b 2ac.又 a2c 2acbc，b 2c 2a 2bc.在ABC 中，由余弦定理得 cos A ，A60.b2 c2 a22bc bc2bc 12由 b2ac，即 a ，代入 a2c 2ac bc 整理得(bc)(b 3c 3cb 2)0，b2cbc.则ABC 为正三角形答案：60正三
5、角形三、解答题8(2009湖南)在ABC 中，已知，求角 A、B、C 的大小解答：设ABC 三内角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，由 ，得Error!由cos A ，又 0A 180，则 A30，32根据余弦定理 cos A ，即 ， b2 c2 a22bc b2 c2 a22bc 32代入整理得 b24bc c20，3 3则 b ，解得 b c，或 c b.4c 16c2 12c22 3 3 3当 b c 时， ca，则 CA 30，B180 ( AC)120；3当 c b 时， ba，则 BA30 ，C180 ( AB )120.3综上可知：AC30 ，B 120或者 AB 30，
6、C120.9已知圆内接四边形 ABCD 的边长分别为 AB2，BC 6，CDDA4，求四边形ABCD 的面积解答：如图，连结 BD， 则有四边形 ABCD 的面积SS ABD S BCD ABADsin A BCCDsin C.12 12AC180，sin Asin CS (ABADBCCD)sin A12 (2464)sin A16sin A.12由余弦定理，在ABD 中，BD 2AB 2AD 22ABADcos A2 24 2224cos A2016cos A.在CDB 中，BD 2CB 2CD 22CBCDcos C6 24 2264cos C5248cos C.2016cos A524
7、8cos C，cos Ccos A，64cos A32，cos A ，12A120，S16sin 120 8 .310在ABC 中，已知B60，最大边与最小边的比为 ，求ABC 的最大角3 12解答：解法一：设最大边为 a，最小边为 c，边 a、c 所对角为 A、C，则 ，由正弦定理 ，即 sin A sin C.ac 3 12 sin Asin C 3 12 3 12又 sin Asin180(BC)sin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C cos C sin C，32 12 sin C cos C sin C，3 12 32 12即 sin Ccos C又 0C180 ，C4
8、5，A 180(BC)75.解法二：设最大边长为 a，最小边长为 c，则 ，由 ，则ac 3 12 a2 c2 b22ac 12b2a 2c 2ac.cos C .a2 b2 c22ab 2a2 ac2aa2 c2 ac2a2c2 ac2aca2c2 ac 1 22又 0 C180，C45，则 A180 ( BC)75.1在ABC 中，角 A、B、 C 所对应的边分别为a、b、c，a2 ，tan tan 4,2sin B cos Csin A，求 A，B 及 b，c .3A B2 C2解答：由 tan tan 4 得 cot tan 4， 4， 4.A B2 C2 C2 C2cosC2sinC
9、2sinC2cosC21sinC2cosC2sin C ，又 C(0，)，C ，或 C ，12 6 56由 2sin Bcos Csin A 得 2sin Bcos Csin( BC)，即 sin(BC )0，BC，BC ，A(BC) ，6 23由正弦定理 得 bca 2 2.asin A bsin B csin C sin Bsin A 312322如下图，D 是直角ABC 斜边 BC 上一点，AB AD，记CAD ，ABC .(1)证明 sin cos 20；(2)若 AC DC，求 的值3解答：(1)证明：ABAD，则ADB，C .又BC90，即 290，则 290，cos 2sin ，即 cos 2 sin 0.(2)在ADC 中， ，即 sin sin .DCsin ACsin 3代入整理得：2 sin2sin 0.3 3解得 sin ，或 sin 舍去，又 为锐角，则 60.32 33
