计算力学复习题答案

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1、计算力学试题答案1. 有限单元法和经典 Ritz 法的主要区别是什么？答：经典 Ritz法是在整个区域内假设未知函数，适用于边界几何形状简单的情形；有限单元法是将整个区域离散，分散成若干个单元，在单元上假设未知函数。有限单元法是单元一级的 Ritz法。2、单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有什么特征？刚度矩阵K奇异有何物理意义？在求解问题时如何消除奇异性？答：单元刚度矩阵的特征：对称性奇异性主元恒正平面图形相似、弹性矩阵 D、厚度 t相同的单元， 相同 的分块子矩阵按结点号排列，每一子矩阵代表一个结点，占两行两列，eeK其位置与结点位置对应。整体刚度矩阵的特征：对称性奇异性主元恒正稀疏性非零元素呈带

2、状分布。的物理意义是任意给定结构的结点位移所得到的结构结点力总体上满足力和力矩的平衡。K为消除 的奇异性，需要引入边界条件，至少需给出能限制刚体位移的约束条件。4. 何为等参数单元？为什么要引入等参数单元？答：等参变换是对单元的几何形状和单元内的场函数采用相同数目的结点参数及相同的插值函数进行变换，采用等参变换的单元称之为等参数单元。 借助于等参数单元可以对于一般的任意几何形状的工程问题和物理问题方便地进行有限元离散，其优点有：对单元形状的适应性强；单元特性矩阵的积分求解方便（积分限标准化） ；便于编制通用化程序。5、对于平面4节点（线性）和8节点（二次）矩形单元，为了得到精确的刚度矩阵，需要

3、多少个Gauss 积分点？说明理由。答：对于平面 4节点（线性）矩形单元： (,)iN1,BD21,所以J常 数 2m因而积分点数为： 矩阵对于平面 8节点（二次）矩形单元：(,)iN221,BD21341,L所以J常 数 4因而积分点数为： 矩阵3矩形、正方形、平行四边形 J常 数2、总刚度矩阵K的任一元素kij 的物理意义是什么？如何解释总刚度矩阵的奇异性和带状稀疏性？答：K 中元素的 物理意义：当结构的第 个结点位移方向上发生单位位移，而其它结点位ij j移方向上位移为零时，需在第 个结点位移方向上施加的结点力大小。奇异性： =0,力学意义是对任意给定结点位移所得到结构结点力总体上是满足

4、力和力矩的平衡。反之，给定任意满足力和力矩平衡结点载荷 P，由于 K的奇异性却不能解得结构的位移 ,因而结a构仍可能发生任意的刚体位移。为消除 的奇异性，结构至少需给出能限制刚体位移的约束条件。带状稀疏性：由于连续体离散为有限个单元体时，每个结点的相关单元只是围绕在该结点周围为数.5n.5n甚少的几个，一个结点通过相关单元与之发生关系的相关结点也只是它周围的少数几个，因此虽然总体单元数和结点数很多，结构刚度矩阵的阶数很高，但刚度系数中非零系数却很少，即为总刚度矩阵的稀疏性。另外，只要结点编号是合理的，这些稀疏的非零元素将集中在以主对角线为中心的一条带状区域内，即为总刚度矩阵的带状分布特性。3、

5、以3节点三角形单元为例证明插值函数特性 ，n 为节点数。1iniN答： 图形见课本 P105图 3.6由面积坐标： 插值函数： iiNLijmPL， ，所以4、什么是等参单元？等参单元的收敛性如何？答：等参变换是对单元的几何形状和单元内的场函数采用相同数目的结点参数及相同的插值函数进行变换，采用等参变换的单元称之为等参元。等参单元满足收敛性需满足两个条件：即单元必须是协调的和完备的。完备性条件：要求插值函数中包含完全的线性项（包含常数项和一次项） 。协调性条件：单元边界上位移连续，相邻单元边界具有相同的结点，每一单元沿边界的坐标和未知函数采用相同的插值函数。5、对于空间8节点（线性）和20节点

6、（二次）六面体单元，为了得到精确的刚度矩阵，需要多少个Gauss 积分点？说明理由。答：对于空间 8节点（线性）六面体单元： (,)iN1,xyzxyz所以BD21,xyzxLJ常 数 2m因而积分点数为： 矩阵对于空间 20节点（二次）六面体单元：(,)iN23222,zyzxyxzyzx所以41xyxLJ常 数 4因而积分点数为： 矩阵1、为什么说 3 节点三角形单元是常应变单元？答：常应变单元指的是在一个单元内的应变为常数，有限元中的常应变单元指的是线性三角形单元，线性三角形单元的位移场为线性的，应变为位移的一阶导数，故为常数，因此称为常应变单元。3、何为等参变换？等参元有那些优点？答：

7、等参变换是对单元的几何形状和单元内的场函数采用相同数目的结点参数及相同的插值函数进行变换，采用等参变换的单元称之为等参元。借助于等参元可以对于一般的任意几何形状的工程问题和物理问题方便地进行有限元离散，其优点有：对单元形状的适应性强；单元特性矩阵的积分求解方便（积分限标准化） ；便于编制通用化程序。结构离散化 将连续体划分为若干小 “单元” 的集合。在相邻单 元的边界上应满足一定的连续条件。 单元内部的物理量可以用单元 “节点” 处的相关物 理量来表示。节点处的这些物理量统称为 自由度，其所 代表的实际物理量如：节点位移、转角、温度、热流、电 压、电流、磁通量、流速、流量等。单元节点的设置、自

8、 由度性质、数目等应视问题的性质，所描述物理量的变化 形iiA(,)njijmii1 +1A(,) 1.5n1.5n态的需要和计算精度而定。 然后，将各单元的节点物理量按一定方式组合到一起 以代表整个结构。这样处理后，整个结构上的微分方程可 以用以有限个节点上的物理量为未知数的代数方程来表示。用有限元分析计算所获得的结果只是近似的。如果划 分单元数目非常多而又合理，则所获得的结果就与实际情 况相符合。单元特性分析 单元特性包括：单元中节点的个数及位置， 相关物理量在单元中的分布函数等。 根据单元的材料性质、形状、尺寸、节点 数目、位置及其含义等，找出单元节点自由度 和单元内部物理量变化的关系式

9、，这是单元分 析中的关键一步。 此时需要应用相关的力学理论的几何和物理方程来建立相应的方程式，从而导出所需的 单元矩阵，这是有限元法的基本步骤之一。对于结构分析，主要是应变-位移关系、应力-应变关系、应变能方程等。计算等效节点力 单元特性分析的另一个重要内容是建立单元的外部 载荷 (包括单元之间的内部 载荷) 与单元节点物理 量之间的关系。 物体离散化后，假定力是通过节点从一个单元传递 到另一个单元。但是，对于实际的连续体，力可以作用 在单元的任意区域或位置 (体积力、分布面力、集中力 等)，也可以在一个单元与相邻单元的公共边 (线、面) 之间进行传递。因而，这种作用在单元上的表面力、体 积力

10、和集中力都需要等效的移到节点上去，也就是用等 效的节点力来代替所有作用在单元上的力。(3) 单元组集 即由单元的有限元特性组装整个结构的相关方程。 包括施加载荷和各种约束条件等。以结构位移法为例，即是利用节点处力的平衡条件 和边界条件把各个单元按原来的结构重新连接起来，形 成以整个结构的节点物理量为未知数的有限元代数方程 (4) 求解未知节点位移 可以根据方程组的具体特点来选择合适的计算方法。 (5) 计算其它物理量 在求得整个结构的位移之后，可以根据相应单元所 依据的的力学理论计算其它物理量，例如，一般弹性体 的应力和应变、梁的截面内力 (剪力、轴力、弯矩和扭 矩)、约束反力等。1 加权残值

11、法根据权函数的选取不同，一般有以下几种基本方法：1）最小二乘法，选取权函数为 R/C偏导 ；2）配点法，选取狄拉克 函数作为权函数；3）子域法，将待求问题的整个区域V按任意方式划分为 N个子域 Vi并定义此时的权函数为 W=1（=0）为在 Vi内（部在 Vi内） ；4）伽辽金法，权函数选取为试函数中的基函数；5）矩量法，权函数选取为)X i（i=1,2,3.。 。 。 ）2 有限元法中整体刚度矩阵主要有以下特征：1）K中任一元素 Kij的物理意义。当 Kij为非零元素时，若弹性体第 j序号的自由度发生单位位移，而其他自由度的位移均为零，则第 i自由度必须有节点力 Kij=Fi 。对于主对角元素

12、 Kii其均为正值。2）K为对称奇异矩阵。由于总刚度矩阵K 是由各单元刚度矩阵的贡献矩阵叠加生成，而单元刚度矩阵是对称的奇异矩阵，因而叠加后的K 也是对称的和奇异的。3）K 为带状稀疏矩阵。在K 中只有相关节点的行和列上才有非零的元素，对于大量的互不相关节点，在K 中所对应的元素均为零。相对而言，K 中非零的元素是稀疏的。非零元素将聚集在K 的主对角线附近，并呈带状分布。 3 在采用计算机进行梁的有限差分法数值计算中，程序设计中一般应有 1）基本参数数据输入模块，输入诸如梁的长度、厚度、弹性模量、泊松比等，2）离散化，将梁划分为若干个节点并编号；3）利用差分格式在节点处建立相应的差分方程，并考虑所有节点上的差分方程，建立包含所有节点未知量的代数方程组；4）考虑梁的端部的边界条件，求解差分方程组，获得节点处的挠度值；5）绘图、列表等方式给出结果讨论. 对于所求结果的可靠性与正确性可将数值结果与解析的精确解（如果可求得）进行比较， 或者与试验结果进行对比，分析误差，也可以通过数值计算中的稳定性与收敛性分析来说明 等。