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1、多项式理论及其应用许洋巢湖学院 数学系 安徽 巢湖 238000摘 要多项式是代数学中最基本的对象之一。它不但与高次方程的 讨论有关，而且在 进一步学习代数以及其他数学分支时也会碰到。本文将介 绍一些有关多项式的基本理 论以及多项式在矩阵问题，行列式问题和初等数学中的运用。关键词：多项式；矩阵；行列式AbstractAbstract:polymial is the most basic object of algebra one.It does not but with high times equation,and discussion about the further study alg
2、ebra and other branches of mathematic may encounter.This paper will intraduce the basic theory of some relevant polynomial in matrix,determinants and polynomial in the application,elementary algebraKeywords:polynomial;matrix;determinants引言：多项式理论是古典代数的主要内容。多项式的研究源于“代数方程求解” ，是最古老的数学问题之一。16 世纪以前，人们对一般的
3、一元二次方程已经有了公式解法，但对于一般的一元二次方程，数学家却束手无策。16 世纪的欧洲数学家们都致力于寻求一般的一元三次方程的求根公式。1799 年，高斯（Garss,1777-1855）在他的博士论文中第一次严格证明了代数基本定理：在复数域中，任何 n(n1)次多项式至少有一个根。经过多年，数学家仍找不到用根式求解五次多项式的一般解法。终于在1824 年阿贝尔（Galois,1811-1832）引入了群的概念，证明不存在用根式求解五次或以上的多项式的一般方法，这理论被引申为伽罗华理论。以下本文将介绍多项式的有关理论及其应用。一,多项式的有关理论（一）多项式的有关概念 定义 1：f(x)=
4、 （ ，n ）称为关于 x 的一元 n 次110.nnxx-aaN多项式，n 称为 f(x)的次数，记作：deg f(x)=n。 定义 2：如果在多项式 f(x)与 g(x)中，除去系数为零的项外，同次项的系数全相等，那么 f(x)与 g(x)就称为相等，记为 f(x)=g（x）.系数全为零的多项式称为零多项式。性质：设 f(x) 0 与 g(x) 0 是两个多项式，且 f(x) g(x) 0，则 degf(x) g(x)maxdeg f（x）,deg g(x);degf(x)g(x)=deg f(x)+ deg g(x) .（二）多项式的整除法定理 1（带余除法定理）：设 f(x)与 g(x
5、)是两个多项式，且 g(x) 0，那么存在唯一的一对多项式 q(x)与 r(x)，使得 f(x)= g(x)q(x)+ r(x)；其中 r(x)=0 或 deg r(x)0,k+2m=n 。ibxi推论 3：实系数 n(n1)次多项式的虚根成对出现。推论 4：任何奇次数实系数多项式至少有一个实根。（五）多项式的根定理 7（代数基本定理）在复数域中，任何 n(n1)次多项式至少有一个根。定理 8：在复数域中，任何 n(n1) 次多项式恰有 n 个根。定理 9：若 f(x)= （ ，n ）是一个整系数多项式，110.nnxx-aaN而既约分数 q/p 是它的一个根，则 p 丨 ，q 丨 。n定理
6、10：如果整系数多项式的首项是 1，那么他的有理根只能是整数，且是常数项的约数。定理 11（爱森斯坦因判别法）：设 f(x)= （ ，n ）是一个整系数多项式，如果110.nnxx-aaN有一个系数为 p，且满足：1. p 不整除 ；n2. p 整除 ；120,.,a3. 不整除 ；20那么 f(x)在有理数集上是不可约的。（六）本原多项式定义 4：如果一个非零整系数多项式的系数是互素的，则称这个多项式是本原多项式。定理 12（高斯引理）：两个本原多项式的乘积还是本原多项式。二多项式理论的应用（一）多项式理论在初等代数中的应用1.多项式理论在因式分解中的应用在高等代数里已经证明任意一个多项式分
7、解成若干个不可约多项式的积的形式。这种分解除各因式的次序和非零数值因式外是唯一确定的。并且,我们只能对于给定的数域来谈论多项式的可约或不可约。例如： -4 在有理数范围内分解为（ -2） （ +2） ，在4x2x2实数范围内可分解为（x+ ）(x- )( +2),在复数范围内分解为（x+ ） （x- ） （x+ i）22（x- i） 。2例 1，能否将有理系数多项式 +4kx+1(k 为整数) 进行分解？4x解：（1）.待定系数法就是按已知条件把原式假设为若干个因式的乘积使这些因式的乘积与原式组成恒等式然后利用多项式恒等关系求各待定系数值观察所求值是否是有理数令 f(x)= +4kx+1 (k
8、 为 整数) ，显然 f ( 1) 0,所以 f(x)无一次因式。若 f(x)可约，只4x能是 2 个二次有理因式的积，由于 f(x)是整系数多项式，因此 f(x)可化为两个整系数多项式的积。即 f(x)=（ +ax+1）( +bx+1),其中 a,b 是整数，则2x2x+4kx+1= +（a+b） +(2+ab) +(a+b)x+1,得 a+b=0,2+ab=4k,得 =2 使 a 为整数是不可4x43 2约的。因此 f(x)不可约。即有理系数多项式 +4kx+1 (k 为整数) 不可因式分解。4（2）爱森斯坦因判别法设 f（x）= + x+ 是整系数多项式，若能找到一个系数 p，使得 p
9、丨 （i=0,1,.,n-0a1nx ia1）,p 不能整除 且 不能整除 ，则 f(x)在有理数域不可约。把 f(x)变形，令 x=y+1.这样得n2p0ag(y)=f(y+1)= +4 +6 +(4k+4)y+4k+2 由爱森斯坦因判别法，取 p=2 即可证 g(y)不可约。4y3即 +4kx+1 (k 为整数) 在有理数域上不可因式分解。4x以上，用两种方法解决了初等代数中判断某一多项式能否因式分解的问题！2.用多项式理论分解因式初中代数已经介绍了提取公因式法，公式法，分组分解法和十字相乘法等基本方法。这里根据多项式的理论再讨论两种因式分解的方法以便解决高次方程的因式分解问题。例 2 在
10、 有理数域上分解因式 -10 -20 -15x-45x32解： 分离重因式法因为 （x）=5 -30 -40x-15 用辗转相除法，得 d(x)=f(x), (x)= +3 +3x+1 。1f42 1f3x2h(x)= = -3x-4=(x+1)(x-4), 因此，f(x)的所有不可约因式为 x-4,x+1，其中 x-4 在 f(x)中是单()d2因式，x+1 是 f(x)的四重因式，于是，f(x)=(x-4) .即4(1)x-10 -20 -15x-4=(x-4)5x324(1)x（二）多项式理论在解高次方程中的运用对于某些特殊的一元高次方程,在中学代数教材中仅介绍了因式分解法和换元法，但在
11、许多实际问题中仅掌握这两种方法是远远不够的,这里,利用多项式理论中的韦达定理和实系数多项式的非实复根两两成对的理论,通过例子求一些高次方程的解.例 3 已知方程 2 -7 +8 -2 +6x+5=0 有两个根是 2-i，i 。解此方程。5x432x解：由于实系数方程的虚根成对出现，故 2+i ,-i 也是方程所给的根，由代数基本定理可知此方程有 5 个根。设此方程第五个根是 ，由韦达定理得（2+i）+（2-i）+i-i+ =7/2; 得 =-1/2故此方程的根是 2 i, i，-1/2 。例 4 已知实系数方程 +2 +qx+r 有一个根是-1+ i ，试求 q,r；并解此方程。3x2 2解：
12、设方程的三个根是-1 i， 。则由韦达定理，可知（-1+ i）+(-1- i)+ =-2 得 =0 由韦达定理可进一步推知： q=3;r=02例 5 解方程 3 +5 + +5x+2=04x32解：易知，-2.1/3 是 f(x)= 3 +5 + +5x+2=0 的两个根。令 g(x)=(x+2)(x-1/3)= 4x32+5x/3+2/3,由带余除法，得 f(x)=g(x)(3 +3),求 3 +3=0 的解， i 是它的根。2x x2x经验算原方程的根是-2， i，1/3.二多项式理论在矩阵问题中的应用（一）.利用多项式互素理论求抽象矩阵的逆矩阵命题 1 设 f()是复系数多项式，n 阶方
13、阵 A 的特征值不是 f()的零点，则 f(A)可逆，且 f(A)的逆矩阵可表示为 A 的多项式。命题 2 设 f(x)和 g(x)为互素的两个复系数多项式，A 为 n 阶方阵，且 g(A)=0,则 f(A)可逆，且 f(A)的逆矩阵可表示为 A 的多项式。例 1 设 =2E , B= -2A+2E,证明 B 可逆，并且求 B 的逆矩阵。22证明：设 f(x)= -2,g(x)= -2x+2, 则（f(x),g(x)）=1 于是有3x2x- (x+1)f(x)+( + x+2/5)g(x)=110102因为 f(A)= -2E=0 故 （- + x+ ）g(A)=E3A102325E因此 B=
14、g(A)可逆，且 = + A+BA例 2 设 -2A+3E=0，证明 A+2E 可逆，并把 A+2E 的逆矩阵表示成 A 的多项式。证明：设 f(x)= -2x+3, g(x)=x+2, 则（f(x),g(x)）=12x于是 f(x)=(x-4)g(x)+11，因为 f(A)= -2A+3E=02故（A-4E）g(x)+11E=0即 （A-4E） （A+2E）=-11E, 故 141()AEE例 3 设方阵 A 的特征多项式为 f()= -3 -1，用 A 的多项式表示 .32 1()AE解：由条件可知 f(A)= -3 -A-E=032因为 1 不是 A 的特征值，故 A-E 可逆，由（ -
15、3 -1，-1）=1，得32-3 -1=（ -2-3） （-1）-4322因此 （ -2A-3E） （A-E）-4E=0 即 （ -2A-3E） （A-E）=4E2A故 = /4-A/2-3E/41()E2（二）利用多项式 整除理论求矩阵的秩例 4 已知矩阵 A 的特征多项式为 f()= -10 +28-24，求 和 A-6E 的秩。32 2()AE解：设 g()= . 由综合除法知 f()= （-6）2() 2)令 h()= -6,则 f()= g() h( )，且（g() ，h( )）=1 又g(A)= ,h(A)=A-6E, 根据题意 知道 2()E秩（ ）=deg h()=1 秩（A-6E）=deg g( )=2 .A命题 3 设 f()为矩阵 A 的特征多项式 ，若 f()= g() h() ，且（h() ，g( )）=1，则秩（g(A)）= h() 的次数，秩（h(A) ）= g()的次数例 5，已知矩阵 A= ，其中 = =1，求 A 的特征多项212121 nnnnaa LMOM1nia2i式，并判断矩阵 是否可逆。2()AE解：因为 A= - = B- , 其中 B= ，1221nnaaLME2nAnE12naaL为 n 阶单位矩阵。 则E= = = = ATnnEB(1)nTEB2(1)()nTnEB
