《《最高考系列》2015届高考数学总复习课时训练（基础过关+能力训练）：第七章 推理与证明第1课时 合情推理与演绎推理（含答案）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《最高考系列》2015届高考数学总复习课时训练（基础过关+能力训练）：第七章 推理与证明第1课时 合情推理与演绎推理（含答案）（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数学大师 推理与证明第 1 课时合情推理与演绎推理1. 一个同学在电脑中打出如下图形(表示空心圆，表示实心圆 )：，若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前 2014 个圆中实心圆的个数为_答案：61解析：将这些圆分段处理，第一段两个 圆，第二段三个 圆，第三段四个圆，可以看出每一段的最后一个圆都是实心圆，由于本 题要求前 2014 个 圆中实心圆的个数，因此，找到第 2014 个圆所在的段数很重要，由 2362 6119522014，因此，共有 61 个实心圆2 6322. 已知 f1(x)f n1 (x)是 fn(x)的导函数，即 f2(x)f 1(x)，f 3(x)f 2(
2、x)，f n 1(x)f n(x)，nN *，则 14(x)_答案：f 2(x)f 1(x)f 3(x)f 2(x)f 4(x)f 3(x)f 5(x)f 4(x)则其周期为 4，即 fn(x)f n4 (x)x)f 2(x)下列推理正确的是_(填序号) 把 a(bc) 与 xy)类比，则有 xy) ax 把 a(bc) 与 xy) 类比，则有 xy) 把(n 与(xy) n 类比，则有 (xy) nx ny n； 把(a b)c 与(xy)z 类比，则有(xy)z x(答案：解析：逐个验算可知只有正确. 4. 若等差数列a n的公差为 d，前 n 项和为 数列 为等差数列，公差为 各项都为正
3、数的等比数列b n的公比为 q，前 n 项积为 数列 为等比数比为_. 答案： a 1(n1) ，类似地， a 1q a 1( )n1 即可得到数列d2 n 1）（1 n 1）2n q为 等比数列，公比为 已知命题：在平面直角坐标系 ，顶点 A(p，0)和 C(p，0) ，顶点B 在椭圆 1(mn0 ， p )上，椭圆的离心率是 e，则 n2 出一个真命题是_答案：在平面直角坐标系中， 顶点 A(p， 0)和 C(p，0)，顶点 B 在双曲线 (m0，n0 ，p )上，双曲 线的离心率是 e，则 正弦定理和椭圆定义 ，类比双曲线应有 |2 .| |已知命题：若数列a n为等差数列，且 ama
4、，a nb(mn，m、nN *)，则 amn 数学大师 ；现已知等比数列b n(，nN *)，b ma，b nb(mn，m 、nN *)，若类比上可得到 bmn _答案：n 差数列中 以 类比等比数列中的 差数列中 bn以类比等比数列中的 ，等差数列中 可以类比等比数列中的 m n 设函数 f(x) (x0)，观察：2f1(x)f(x) ，f 2(x)f(f 1(x) ，f 3(x)f(f 2(x) ，2 4 8f4(x)f(f 3(x) ，16根据以上事实，由归纳推理可得：当 nN 且 n2 时，f n(x)f(f n1 (x)_答案：x（2n 1）x 2察知四个等式等号右边的分母为 x2，
5、3x4， 7x8，15x16，即(21)x2， (41)x 4，(81)x8 ，(161)x16，所以归纳出 fn(x)f(f n1 (x)的分母为(2 n1)x2 n，故当 nN 且 n2 时， fn(x)f(f n1 (x) n 1）x 2观察： 40 ； 36634 能否提出一个猜想？并证明你的猜想解：猜想：(30) 30) 边30)30) (3212 3212 右边34 14 34所以，猜想是正确的9. 在 ，两直角边的长分别为 a、b，直角顶点 C 到斜边的距离为 h，则易证 ，侧棱 B、两垂直，1a，b ，c ，点 S 到平面 距离为 h，类比上述结论，写出 h 与 a、b、学大师
6、 ：类比得到： S 作在平面的垂线，垂足 为 O，连结 延长交 D，连结面 B.A，B，面B，D，面 t，有 ， 在1，有 老师布置了一道作业题“已知圆 C 的方程是 x2y 2r 2，求证：经过圆 C 上一点M(x0，y 0)的切线方程为 y 0yr 2”，聪明的小明很快就完成了，完成后觉得该题很有意思，经过认真思考后大胆猜想出如下结论：若圆 C 的方程是 (xa) 2(y b) 2r 2，则经过圆 C 上一点 M(x0，y 0)的切线方程为 (x0a)(x a) (y 0b)(y b) r 正确，请给出证明；若不正确，请说明理由解：小明的猜想正确(证法 1)若 x0a，y0b，则因圆 C
7、的方程是(x a) 2(yb) 2r 2，M(x0，圆 C 上一点，所以直线 斜率为 ，设过 M(x0，切线斜率为 k，因直线 切线 l 垂以 k ，所以过 M(x0，切线 l 方程 为 yy 0 (xx 0)，整理1k1 b b得(x 0 a)(xa)(y 0b)(y b)(x 0a) 2(y 0b) (x0，圆 C 上，所以有(x 0a)2(y 0 b)2r 2，故此时过 M(x0，圆 C 的切线方程为(x 0a)(xa)(y 0b)(y b)r 2.若 x0a 或 b(同时成立不合题意) ，则切线的斜率不存在或为 0，可直观看出：|y 0b|r或|x 0a|r ，此时切线方程分别为 yy
8、 0 或 xx 0，适合(x 0a)(x a) (y 0b)(yb) r M(x0，圆 C 的切 线方程为(x 0a)(xa) (y 0b)(y b)r 2.(证法 2)设 P(x，y)为切线上任一点， 则 (x 0x，y 0y) ， (x 0a ，y0b) 又 ， 0，即(x 0x)(x 0a) (y 0y)(y 0b) 0.又(x 0a) 2(y 0b) 2r 2，化简 得(x 0 a)(xa)(y 0b)(y b)r 2为所求切线11. 某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图(1)、(2)、(3)、(4) 为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮现按
9、同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同 )，设第 n 个图形包含 f(n)个小正方形数学大师 (1) 求出 f(5)的值；(2) 利用合情推理的“归纳推理思想” ，归纳出 f(n1)与 f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出 f(n)的表达式；(3) 求 的值1f（1） 1f（2） 1 1f（3） 1 1f（n） 1解：(1) f(5)41.(2) 因为 f(2)f(1) 44 1，f(3)f(2) 842，f(4)f(3)1243， f(5)f(4)1644，由上式规律，所以得出 f(n1)f(n)4n. 因为 f(n1)f(n)4n f(n1)f(n) 4nf(n)f(n1)4(n1)f(n2) 4(n1) 4(n2)f(n 3)4(n1) 4(n2)4(n 3) f(1)4(n1) 4(n 2)4(n3) 42n 22n1.(3) 当 n2 时， ，1f（n） 1 12n（n 1） 12( 1n 1 1n)所以 1f（1） 1f（2） 1 1f（3） 1 1f（n） 11 (1 )12 12 12 13 13 14 1n 1 1n1 1n) 32 12n
