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1、“浅探二次函数中的三角形问题”教学实录及教学反思教学内容：初三中考 “函数”复习课。教学目标：1.知识与技能目标：会根据二次函数提供的信息，较快求出解析式、顶点坐标与坐标轴的交点坐标；掌握在二次函数图象中求出特殊三角形面积的方法；能根据图象中提供的信息正确地“读解”图象中更多的有效信息；利用二次函数图象中的三角形相似，或直线平移求出符合条件的直线与抛物线的交点坐标。2.过程与方法目标：通过对二次函数图象的分析探讨，体会到图象中几个特殊点的坐标在解决三角形问题中的重要性；通过对二次函数图象中三角形问题的探讨，体会到数形结合的数学思想在解决函数问题中的重要性和优越性。3.情感态度和价值观目标：通过
2、对二次函数中三角形问题的探讨学习，渗透数形结合的教学思想，构建“数想形” “形思数”的数学思维方式和意识；通过对具体数学问题的解法的探究，让学生学会学习，学会合作，从而形成团队合作的精神。教学重点：根据二次函数的图象或解析式求出特殊三角形的面积；或利用三角形相似、全等，或通过平移等知识求出符合条件的直线与函数图象的点的坐标。教学难点：在二次函数图象中，利用三角形相似或通过直线的平移，求出符合条件的直线与抛物线的公共点的坐标。教学过程：一、 创设情境，导入课题师：同学们，请观察图 1，你认为在这个图象中，哪几个点较为特殊？生 1：点 A、点 B、点 C、点 O、点 D。师：为什么这些点较特殊呢？
3、生 1：这些点分别是坐标原点、二次函数图象的顶点、以及图象与坐标轴的交点。师：将这些点作为三角形的顶点，可构成哪些三角形？生 2：可构成ABC、BCD 、ABD、AOD、BOD（见图2）师：我们知道，三角形是最基本的几何图形，三角形问题也是最常见的数学问题，今天，我们就来探讨二次函数中的三角形问题（多媒体出示课题） 。二、 问题精析，初步引探师：首先，我想就刚才出示的这个二次函数的图象提几个问题，不知同学们有没有信心来解决？（学生齐声回答：有！） 。师：请根据图象中所提供的信息，说出 A、B、C、D 四点的坐标。生 2：这四点的坐标分别是：A（-1，0） 、B （4，0） 、C（3/2，-25
4、/4） 、D（0，-4） 。师：很不错！完全正确。那现在请同学们求出ABC 的面积，并说出你是怎么进行计算的。生 3：ABC 的面积为： 1/2ABCE =125/8。师：答得非常好！师：如果将问题改成求BCD 的面积，可以怎么进行求解？（学生思考） 。师：（良久没有学生回答）同学们可否由求ABC 的面积有所启示？生：生 4：可将 CD 延长，与 X 轴交于 G，然后用GCB 的面积减去GDB的面积，就可得到BCD 的面积。生 5：我还有一种方法，设二次函数图象的对称轴与 BD 相交于 F，分别求出DFC 与BFC 的面积，它们之和就是 BCD 的面积。生 6：还可将 BC 延长，使之与 Y
5、轴交于点 M，然后用BDM 的面积减去DCM 的面积即可。（教师根据学生的讲述在图象上添加了相应的字母。见图 3）师：太棒了，能谈谈你这样设想的原因吗？生 6：构造新的三角形，使其中一边落在坐标轴上，这样便于求出三角形的底边和高，进而求出三角形的面积。师：李于同学真棒，我相信很多同学都和他一样，找到了在坐标系中求三角形面积的捷径。师：同学们，学习数学就要这样，要能积极思考，善于发现问题中题设与结论之间的联系；在变化中发现规律。比如，这个问题到这里可以进行变式：就利用这个二次函数的图象（此函数的解析式已求得为-3x2-4） ，在图象上是否存在点，使ABP 的面积为 15，如若存在，求出点的坐标；
6、如不存在，则说明理由。（教师将学生推向探究问题的边缘）（学生或自主探索，或交流讨论不久便有部分学生举手）生 7：根据题意，已知 ABP 的面积为 15，底边 AB=6，则边上的高为6，而这个值实际上就是点的纵坐标，再将它代入此二次函数的解析式中即可求出点的坐标。（老师微笑地点了点头，没有发表意见）生 8：我认为底边上的高等于 6，但这个值只是点到底边的距离，也就是说，点 P 的纵坐标可以为6。师：你们认为他的分析是否有道理？（不一会，很多同学对刚才这位同学的分析表示赞成，并有部分学生通过计算求出了 P 点的坐标。 ）师：周明同学考虑得很全面，请同学们仔细观察点可能存在的几个位置。（教师利用几何
7、画板制成的动画演示点 P 的运动轨迹，ABP 的形状也随之发生变化。见图 4）师：请同学们根据刚才的分析尝试求出符合条件的点 P 坐标。（教师利用多媒体展示了几位学生完成的计算，并进行点评。 ）三、问题变式 深入导探师：刚才，我们研究的的问题实际上是二次函数中常见的三角形问题。大家对于二次函数图象中的特殊三角形面积的计算有了初步认识，现在老师想就刚才的问题和大家进行更加深入的探讨，同学们是否有兴趣？（多媒体出示问题二次函数 y=ax2 +bx+c 的图象如图 5 所示：1.求此函数的解析式；2.过点 A 作 APBD，交此抛物线于点 P，求出点 P 的坐标。）学生纷纷进行探索，寻求解决问题的方
8、案，或独立思考，或相互交流。生 9：这个函数图象与坐标轴的交点坐标都可直接看出来，分别为：A（-1，0） 、B（4，0） 、D（0，-4） ，和前面的问题一样，可求得解析式也为x2-3 -4 。师：不错，此问题的第一问可用待定系数法求得，也为x2-3-4 ，那点 P 的坐标有没有求出？生：还没有。师：请大家注意第二问中提供给我们的已知条件：APBD，再结合前面我们已探讨过的问题，会有什么启示？（学生进入思考状态，并开始了短时间的讨论）（过了几分钟，部分同学似乎有了解决的方法，教师请同学发表看法。 ）生 10：由 APBD 可得到DBA= BAP，设 AP 与 y 轴交于点 M，又有AMO= B
9、DO，可得到BODAOM。 （图 6）生 11：因为点 B 和点 D 的坐标分别为（4，0）和（0，-4） ，所以BO=DO=4，又BODAOM ，所以 AO=MO=1，这样就可以求出直线 AP的解析式。（老师让这些同学分别发表自己的看法，用赞赏的眼光看着他们，微笑着点点头，期待其他同学能有更多的更具体的解决问题的方案。 ）生 12：点 P 是直线 AP 与抛物线x2-3-4 的交点，那么通过求出直线 AP 的解析式与x2-3-4 组成的方程组的解便可得出点 P 的坐标。师：不错，刘强同学能结合前面同学的想法，并联系前面学习过的知识，这种方法能较快地求出点 P 的坐标。还有没有不同方法？（学生
10、又进入短时间的探讨、交流）生 13：我认为，不需要证明BOD AOM，因为 APBD，所以直线AP 可由直线 BD 平移得到，只要求出直线 BD 的解析式和 MD 的长度，能较容易求出直线 AP 的解析式。师：很好，这种方法很新颖。又有一位同学举手，并直接站了起来：“我还有一种方法。 ”教师示意他讲出他的方法。生 14：可以过点 P 向 X 轴作垂线，与 x 轴交于点 N， （教师按学生所讲作出垂线。见图 6）则有 PN=AN 师：（教师示意这名学生停一下）你能说说为什么会有 PN=AN？生 14：我也是由刚才这种方法联想到的，因为 PNMO，会有AOMANP ，由 OA=OM=1，所以有 A
11、N=PN，又 PN 是点 P 的纵坐标，ON 是点 P 的横坐标，则 PN=ON+1，设点 P 的坐标为（x,y） ，有 y=x+1，又点 P 在抛物线 x2-3-4 上，利用这两个关系式可求出点 P 坐标。教师带头鼓掌，这位同学很高兴地坐了下去。师：根据刚才这些同学的分析，请大家选用适当的方法，尝试求出点 P的坐标。四、延伸拓展 导练提高师：接下来，我想让大家冲刺一下往年的中考压轴题,看看今天所学的知识能否用得上。同学们有没有信心?生:有(多媒体出示由 2005 年长沙市中考压轴题改编的试题）已知：抛物线y=1/3x2-2/3x-1 与 X 轴交于 A、B 两点,A(x1 ,0)、B(x2
12、,0)，且 x1x2 ，与 Y轴交于点 C（图 7） 。1.若M 为ABC 的外接圆，则MBC 是三角形；A.等边三角形 B.等腰直角三角形2.由可求得M 的半径为 ；3.过点 A 作直线 AP 平行于 BC，与抛物线交于点 P，可得点 P 的坐标为，以 A、B、P 为顶点的三角形与 ABC 是否相似，请说明理由。学生尝试解答最后,师生合作探讨,完成解答五：学习导结，认识提升师：通过以上探究活动，你认为这节课有哪些收获？有什么体会？对今后的学习有什么帮助？教师针对学生的发言进行点评并适当鼓励。归纳总结。六、作业根据最后一个问题，自行改编，提出一个新问题，并解答出来。教学反思“二次函数”和“三角
13、形”都是初中数学的重要知识，将两者结合在一起进行探讨，则是学生学习数学知识的一个质的提升。将多个知识点融合在一起，让学生从中发现问题、提出问题、解决问题，这是对学生数学创新能力的培养，也成了中考综合解答题的出题方向。本节课，我对教学内容进行了创造性增补和整理，也意在培养学生这方面的能力。下面就这节课的某些特点作如下评析：创设平台，诱导学生自主探究与合作交流数学课程标准中明确指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。 ”因此，在本节课中，我对教材进行创造性安排，创设了一组变式题，为学生创造了充分的数学活动机会和平台，但这些“果实”并
14、不是让学生垂手而得，而是需要思考，需积极参与，在自主探索与合作交流中，去理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想与方法。本节课的每个环节都体现了互动性特点，给学生自由学习的时间和空间，从而使学生形成对数学知识的理解和有效的学习策略，也培养了学生良好的数学学习习惯。精选例题，变式深入，注重数学方法的归纳在本节课的教学中，由一个简单问题入手，通过一步步的变式，层层深入， 让学生经历了知识的归纳、综合、发展的过程，让学生体会观察、猜想、验证的思想和数形结合的思想。让学生快速地“读解”函数图象中的有效信息，更好地理解函数解析式与其图象之间的内在联系，掌握在函数图象中如何求解三角形的面积，利用平移的方法
15、求函数解析式以及运用三角形相似等方法求得特殊点的坐标，以发展学生应用数学的意识与能力，增强学生学好数学的愿望和信心。到问题变式的最后，引出了经过改编的往届中考题，让学生再一次体会到：其实“难题”也是由一些简单知识点积淀而成,并不是那么高不可攀。这对学生良好的数学思维品质的形成有着重要的促进作用，对学生的终身发展也有积极影响。充分发挥多媒体的辅助功能，激发学习兴趣和创造性思维为突出重点、突破难点，使学生真正达到本节课设定的教学目标，在例题变式探究过程中，我巧妙运用多媒体进行动画演示，让学生从几何画板的动画演示中，体会知识的产生、发展变化的过程，为学生创设了提出问题、解决问题的探究情境。诱导学生进
16、行自主探索、大胆猜测、合作交流等数学活动，鼓励他们发表自己的见解，同时，为学生探究、发现其中的数学规律营造了良好的氛围，并激发他们的创新思维。依托变式，启迪思维数学教学应该注重培养学生自主学习的意识和习惯，注重学生的个体差异，灵活运用多种教学策略，引导学生在实践中学会学习，让学生在探求中运用已发现的规律试一试，让学生在问题探讨中各抒已见、开展讨论，对学生中出现的一些有创见的解法及时加以肯定，整个过程，让学生充当“演员” ，这样的过程，是思想自由的过程。本节课中，我通过一系列的变式题组的设计，给学生创造了学习数学、解决数学问题的“阶梯” ，为学生创设了一个动眼、动手、动脑的空间和交流探讨的平台。让他们始终以探索者、研究者的身份出现，学生通过自己的感知
