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1、1高等数学 1(下)公式集锦空间解析几何和向量代数： 22212111:()()cos, =, :,arcos0xyzbdMzabbakk urv v距 离 公 式数 量 积夹 角 公 式 ，多元函数微分法及应用 (),)zuudxdydxydzzzvzfutvtuttxyxx全 微 分 ： 多 元 复 合 函 数 的 求 导 法 则 ： (全 导 数 公 式 ) (,)0yxzzFFxyz隐 函 数 的 求 导 公 式 ：隐 函 数 ， ， 多元微分在几何上的应用： 00000 00()(,)()()()xt xyzyMxyzttztt 空 间 曲 线 在 点 处 的 切 线 方 程 ：在
2、点 处 的 法 平 面 方 程 ： 000000(,)(,) ,)()(,(,),xyzMxyzxyzFyz nFFzxxyv曲 面 在 点 处 切 平 面 的 法 向 量 ：切 平 面 方 程 ：法 线 方 程 ：方向导数与梯度：二元函数 在点 处沿方向 的(,)zf0(,)M(cos,)lr方向导数： ，梯度：0cosszxylr0,Mzgradfyu二元函数的无条件极值及其求法：设 00(,)(,)xyffx00,(,)yABfxC当 时, 为极小点, 为极大点；2CB,A当 时， 不是极值点；200(,)xy当 时， 是否极值点无法确定。A二重积分的计算与应用：当区域 D 为 型： ，
3、则X12,()()abxyx21()(,)bfxydfd当区域 D 为 型： ，则Y2,()cy21()(,) ,df fxy当区域 D 为 型： ，则2()r21()(,) cos,infxyfrd,xyDzyzAx曲 面 的 面 积三重积分的柱面坐标和球面坐标计算： cosin,(,)(cs,in,)xydvzzfxdfdz柱 面 坐 标 ： 22sincosin(,)(,)i xrydvrdzfxdF球 面 坐 标 ： ，曲线积分： 222(),),(,)(),(,)1()L bLaxttyfxydsfttdxdsfxx 第 一 类 曲 线 积 分 ： 设 L： 则 ： 特 别 有 ：(
4、,)(,),)(,)(LPxydQyPtQtd第 二 类 曲 线 积 分 ： 0(,)(1(2),03(,),CxyDDdxyxyPduuQ平 面 上 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 等 价 条 件 ：设 是 一 个 单 连 通 区 域 ,、 在 内 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ， 则 ：) 对 内 任 一 闭 曲 线 是 某 二 元 函 数 的 全 微 分 其 中 ：1( ,:2DL LQdyDAxdyx 格 林 公 式 ： 面 积曲面积分： 2(,),(),)(,),()xyxy xyDDfzSfzzPdQdRdRxyzRz第 一 类 曲 面 积 分 ：第 二 类 曲 面
5、积 分 ： ，其 中 ： ， 上 正 下 负 ； (,),),yzzxDPdQxyzQzdx， 前 正 后 负， 右 正 左 负高斯公式： (RvPyQzdxRyy无穷级数：常数项级数审敛法：1、比较判别法（包括极限形式）：大收小收，小发大发2、比值与根值判别法： 1limlinnUu当 时收敛，当 时发散，当 敛散性不定l0000201()(),231(,),AxByCzMnADabcxyzzdtmnprv平 面 的 方 程 ：、 点 法 式 ： ，其 中 平 面 过 点 ， 法 向 量、 一 般 方 程 ：、 截 距 式 方 程 ：点 到 平 面 的 距 离 ：空 间 直 线 的 方 程
6、：对 称 式 点 向 式 方 程 ：参 数 方 程 ： 0tsrv， 方 向 向 量 1: ,sin,2/00Sxyzyxzxyzijcabbabaabbvvvrv向 量 积非 零 向 量 、 ： 23、莱布尼兹判别法：如交错级数 满足：1()nu收敛且其和11,lim0nnnnu 1s绝对收敛与条件收敛： n=1n=1(),2),( (1)()()u对 级 数如 果 收 敛 ， 则 肯 定 收 敛 ， 且 称 为 级 数 绝 对 收 敛 ；如 果 发 散 ， 收 敛 ， 则 称 级 数 为 条 件 收 敛 。几个常用级数： 11()pnppaaqq=n=1-级 数 当 时 收 敛 ,当 时
7、发 散几 何 级 数 当 时 收 敛 于 当 时 发 散交 错 级 数 0条 件 收 敛幂级数：的收敛半径 R：一般情形 ，特殊情形用定义，0nax 1limna当 时，收敛域为 中的收敛点(,)(R函数展开成幂级数： ()000(1)10 ()20() )()!),(lim0!):(!nnnnnn nfxfxfx xRf Rffxfxxx LLL余 项 ： 展 成 泰 勒 级 数时 为 麦 氏 级 数常用函数的幂级数展开式：201()!Lnnxe R10sin()nx20cos1()!nnxxR231l1 ( LL0(1)nx01)nx样卷一 、选择题与填空题（每空 3 分，共 30 分）
8、1直线 与平面 的夹角 为 21xyz24xyzA B C D24032设 ，则0zexyzxA B C Dz yez xyezzey3交换积分次序： xdfdln 0 1),(A B 1 0(,)yedf ln 01(,)xefdxC D ex l ye4若函数 在点 可微，则 在该点处 (,)zf0(,)y(,)fA连续 B偏导数连续 C二阶偏导数存在 D二阶偏导数连续5下列级数中条件收敛的是（ ）A B C D1)(n12)(n12)(nn12)(n6向量 与 垂直，则 =_,baijk7设 ，则 yuxdu8函数 在点 处沿方向 的方向导数为 2ze(1,0)(1,)lv9 为球面 ，
9、则曲面积分2z_2xydS10设 是周期为 的周期函数，它在 上的表达式为)(f,(，则其傅里叶级数在 处收敛于_1, 0sinx 0x二、解答题（每题 8 分，共 48 分）1求与两平面 与 都垂直且0132zyx1zyx过点 的平面方程 (,)A2设 ，且 ， ，求 zuvlnv,3求 的极值2296xyxy4判别级数 的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛 1!n还是条件收敛5试求幂级数 的收敛半径21nnx6计算二重积分 ，其中 为直线 与曲线DdyDyx围成的平面区域在第一象限内的部分3yx三、计算题（每题 11 分，共 22 分）1计算积分 , 式中 L 是摆线LIxyxyd上对应 从
10、到 的sincotyt0一段弧2利用高斯公式计算 ，2xzdyxzdzdxy其中 是抛物面 与平面 所围立体整个边界曲面外21侧样卷参考答案 一、选择题与填空题（每空 3 分，共 30 分）1 2 . 3 4 5. 6 CAA1.57 8 9 10 1()()ydxy20二、解答题（每题 8 分，共 48 分）1解： 12506nijkL平面方程为 78xyz2解： 1l4zuv 248xuvyyL3驻点 ，极小值为(4,1)L(,)19f4. 解：令 1(2)!limli 4()!nnueL收敛 绝对收敛1()!n61n 85解：收敛半径 21(1)li2limnnaR LL6 3:0Dxyx310 7()()4860xddyL三、计算题（每题 11 分，共 22 分）1.解： 由 ，所以曲线积分与路径无关2PQyx原式 003()421dydL2.解： 2()xzyxzzxy= (1)v2106xyDzdL1013zdL
