《矩阵与变换同步导学》由会员分享，可在线阅读，更多相关《矩阵与变换同步导学（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、选修 4.2矩阵与变换第 1 页 共 14 页第一课二阶矩阵与平面向量【考点扫描】1 了解矩阵的相关知识在数学中，把形如 ， ， 这样的矩形数字（或字母）阵列称做矩阵，一般314 2m85690地，我们用大写黑体拉丁字母，或者（a ij）来表示矩阵，其中 i,j 分别表示元素所在的行和列。同一横排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一列数（或字母）叫做矩阵的列，组成矩阵的每一个数（或字母）称为矩阵和元素，所有元素都为 0 的矩阵称为零矩阵.平面上向量 的坐标和平面上的点 P（x,y）都可以看做是行矩阵 ，也可以看做是列),(yx yx矩阵 .因此我们又称
2、为行向量，称 为列向量，在本书中，我们把平面向量（x,y）的坐标写yxyx成 的形式.当两个矩阵、，只有当它们的行数与列数分别相等，并且对应位置的元素也分别相等时，才有.2 掌握二阶矩阵与平面列向量在乘法规则行矩阵 与列矩阵 的乘法规则： =12a21b12ab211ba二阶矩阵 与列向量 的乘法规则： =210yx210yx020211y一般地两个矩阵只有当前一个列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算3 理解二阶矩阵与平面列向量乘法的几何意义一个列向量 左乘一个 22 矩阵 M 后得到一个新的列向量，如果列向量 表示一个点yx yxP（x,y）,那么列向量 左乘矩阵 M 后的列向量就对
3、应平面上的一个新的点.对于平面上的任意一个点（向量） （x,y）,若按照对应法则 T，总能对应惟一的一个点（向量），则称 T 为一个变换，简记为：T： 或 T：),(yx ),()(yxxy一般地，对于平面向量变换 T，如果变换规则为 T： = ，那么根据二阶矩阵dcxba与平面列向量在乘法规则可以改写为 T： = 的矩阵形式，反之亦然yxdcbay选修 4.2矩阵与变换第 2 页 共 14 页（a、b、c、d）由矩阵确定的变换，通常记为 TM,根据变换的定义，它是平面内点集到自身的一个映射，平面内的一个图形它在 TM,的作用下得到一个新的图形.【基础训练】1、 写出方程组 变量 x,y 的系
4、数矩阵.231myx2、已知 , ，若 A=B，求 a，b，c，d.cbdaAdacbB453、某公司负责从两个矿区向三个城市送煤：从甲矿区向城市 A、B、C 送煤的量分别是 100 万吨、140 万吨、160 万吨；从乙矿区向城市 A、B、C 送煤的量分别是 300 万吨、260 万吨、540 万吨；把上述结果分别用 23 矩阵和 32 矩阵表示.4、分别计算下列乘法运算的结果（1） （2） （3） （4）441020110425、求点 A（3，6）在矩阵 对应的变换作用下得到的点.26、已知变换 = ，试将它写成坐标变换的形式.yx13yx【解题指导】例 1、计算：（1） （2）0120解
5、：（1）原式= （2）原式=1321)(2点评：掌握二阶矩阵与平面列向量在乘法规则是解题的关键例 2、已知平面上一个正方形 ABCD（顺时针）的四个顶点用矩阵表示为 ，求dcba40a，b，c，d 的值及正方形 ABCD 的面积.解：正方形 ABCD 的四个顶点的坐标依次为 A（0，0） 、B（a,c） 、C(0,4) 、D(b,d), 从而可求得 a=-2,b=2,c=d=2,|AB|=2 ，正方形 ABCD 的面积为 8.2点评: 根据顶点矩阵写出正方形的顶点的坐标,再利用正方形中的边长相等,对角线相等互相垂直平分等有关数量关系求出 a,b,c,d 的值和正方形的面积.例 3、已知 ，若
6、A=B，求 x，y.00,22xyxABy解：由矩阵相等的定义得： 且 解之得：x=y=-1,点评：两个矩阵相等的充要条件是它们的行数与列数分别相等，并且对应位置的元素也分别相等.选修 4.2矩阵与变换第 3 页 共 14 页例 4、已知变换 ，试将它写成矩阵的乘法形式.yxyx25解：根据二阶矩阵与平面列向量在乘法规则得 yxyx215点评：一般地，对于平面向量变换 T，如果变换规则为 T： = ，那么根据二阶矩阵dcxba与平面列向量在乘法规则可以改写为 T： = 的矩阵形式. yxdcbay例 5、已知矩阵 ， ， ，若 A=BC，求函数 在1,2 上的最小值.)(xfAB1a2C)x(
7、f解: BC= = , 又 A=BC1a2)x()(fA，x1,2 22)( axxf 当 x时，函数 在1,2上的最小值为 . )(f a4)(f当 1x2 时，函数 在1,2上的最小值为 .2当 x1 时，函数 在1,2上的最小值为)x(f 1)(f )1( 122 4)(xaf点评：（1）本题运用了行矩阵与列矩阵的乘法规则及两个矩阵相等的充要条件；（2）求含参数的二次函数在闭区间上的最值问题，通常需要分类讨论. 【本课小结】1. 基础知识：掌握矩阵的相关知识与二阶矩阵与平面列向量乘法的几何意义2. 基本技能：正确地进行二阶矩阵与平面列向量的乘法运算3. 基本思想：灵活运用等价转化、分类讨
8、论、函数与方程的思想解决矩阵问题【能力测试】1、 “两个矩阵的行数和列数相等”是“两个矩阵相等”的（ ）A、充分不必要条件 B、必要不充分条件是 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件2、用矩阵与向量的乘法的形式表示方程组 其中正确的是（ ）1y2x3A、 B、1213yx 选修 4.2矩阵与变换第 4 页 共 14 页C、 D、12132yx 1223yx3、计算: =_304、点 A（1，2）在矩阵 对应的变换作用下得到的点的坐标是_1025、已知 是一个正三角形的三个顶点坐标所组成的矩阵，求 a，b.ba06、已知 ， 若 A=B，求 ，.1sincosinco1A 12B7、设矩阵 A
9、 为二阶矩阵，且规定其元素， i=1，2，j=1，2，且 ，试求 A.0ajiij 2a128、若点 A 在矩阵 对应的变换作用下得到的点为（1，0） ，求 .)2,( cossin9、若点 A 在矩阵 对应的变换作用下下得到的点为（2，4） ，求点 A 的坐标.110、已知ABO 的顶点坐标分别是 A（4，2） ，B（2，4） ，O（0，0）,计算在变换 TM= 之下三个1顶点 ABO 的对应点的坐标.11、已知矩阵 ， ， ，若 A=BC，求函数 在)(xfAxxBsincosinxCsinco)x(f上的最小值.3,0第二课几种常见的平面变换【考点扫描】1理解可以用矩阵来表示平面中常见的
10、几何变换，掌握恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换的矩阵表示及其几何意义（）一般地，对于平面向量变换 T，如果变换规则为 T： = ，那么根据二阶yxdycxba矩阵与平面列向量在乘法规则可以改写为 T： = 的矩阵形式，反之亦然yxdcba（a、b、c、d）由矩阵确定的变换，通常记为 TM,根据变换的定义，它是平面内点集到自身的一个映射，平面内的一个图形它在 TM,的作用下得到一个新的图形.在本节中研究的变换包括恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换等六个变换选修 4.2矩阵与变换第 5 页 共 14 页（）由矩阵 M= 确定的变换 TM 称为恒等变换，这时称矩阵 M
11、为恒等变换矩阵或单位矩阵，10二阶单位矩阵一般记为 E.平面是任何一点（向量）或图形，在恒等变换之下都把自己变为自己.（）由矩阵 M= 或 M= 确定的变换 TM 称为（垂直）伸压变换，这时称矩kk0)(阵 M= 或 M= 伸压变换矩阵10kk0当 M= 时确定的变换将平面图形作沿 x 轴方向伸长或压缩,当 时伸长,当 时压1k1k0缩.变换 TM 确定的变换不是简单地把平面上的点(向量) 沿 x 轴方向“向下压”或“向外伸”,它是 x 轴方向伸长或压缩,以 为例，对于 x 轴上方的点向下压缩，对于 x 轴下方的点向上压缩，对于 x 轴上1k0的点变换前后原地不动当 M= 时确定的变换将平面图
12、形作沿 y 轴方向伸长或压缩,当 时伸长,当 时压 1k1k0缩在伸压变换之下，直线仍然变为直线，线段仍然变为线段恒等变换是伸压变换的特例，伸压变换多与三角函数图象的变换联系起来研究（）将一个平面图形变为关于定直线或定点对称的平面图形的变换矩阵称为反射变换矩阵，对应的变换称为反射变换，关于定直线或定点对称的反射又分别称为轴反射和中心反射，定直线称为反射轴，定点称为反射点反射变换是轴对称变换、中心对称变换的总称.在中学里常研究的反射变换有：由矩阵 M = 确定的变换是关于 x 轴的轴反射变换，由矩阵 M = 确定的变换是关10 10于 y 轴的轴反射变换,由矩阵 M = 确定的变换是关于原点的中
13、心反射变换由矩阵 M =10确定的变换是关于直线 y=x 的轴反射变换01学习反射变换要与函数图象的变换、解几中二次曲线变换的知识联系起来考虑.其实质是变换对纵横坐标产生的影响.（）将一个平面图形绕一个定点旋转角 得到另一个平面图形的变换称为旋转变换，其中的角叫做旋转角，定点称为旋转中心当旋转中心为原点且逆时针旋转角 时旋转变换的变换矩阵为 旋转变换只会改变几何图形的位置，不会改变几何图形的形状和大小，旋转中心在cossini旋转过程中保持不变，图形的旋转由旋转中心和旋转角所确定绕定点旋转 的变换相当于关于定点o180作中心反射变换（）将一个平面图投影到某条直线（或某个点）的变换称为投影变换，
14、变换对应的矩阵称为投影选修 4.2矩阵与变换第 6 页 共 14 页A BCD1-1 O xy1-1变换矩阵，本节中主要研究的是由矩阵 M = ，M = ，M = 确定的投影变换需010110要注意的是投影变换是映射，但不是一一映射（）由矩阵 M= 或 确定的变换称为切变变换，对应的矩阵称为切变变换矩阵以10k为例，矩阵 把平面上的点 沿 x 轴方向平移ky|个单位，当 ky时沿 x 轴正方向10k )y,(移动，当 ky时沿 x 轴负方向移动，当 ky时原地不动，切变变换有如下性质：（）x 轴上的点是不动点；（）保持图形面积大小不变,点间的距离和夹角大小可以改变且点的运动是沿坐标轴方向进行的切变变换的实质是横（纵坐标）成比例地运动.2理解二阶矩阵对应的几何变换是线性变换，了解单位矩阵
